基于蒙特卡洛梯度逼近方法的油藏開發(fā)生產(chǎn)優(yōu)化

曹 琳，趙 輝，喻高明（長(zhǎng)江大學(xué)石油工程學(xué)院，湖北 荊州434023）

基于蒙特卡洛梯度逼近方法的油藏開發(fā)生產(chǎn)優(yōu)化

曹 琳，趙 輝，喻高明（長(zhǎng)江大學(xué)石油工程學(xué)院，湖北 荊州434023）

油藏動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)生產(chǎn)優(yōu)化常采用伴隨法求解梯度，但計(jì)算過程異常復(fù)雜，很難得到廣泛應(yīng)用。首次將蒙特卡洛梯度逼近（MCGA）方法引入到油藏生產(chǎn)優(yōu)化中，該方法計(jì)算簡(jiǎn)單、求解過程不受模擬器的限制，且所得梯度的期望值為目標(biāo)函數(shù)的真實(shí)梯度。結(jié)合油藏?cái)?shù)值模擬技術(shù)，在歷史擬合基礎(chǔ)上應(yīng)用該方法對(duì)某油田單元進(jìn)行了油水井生產(chǎn)參數(shù)（產(chǎn)液速度和注入速度）的優(yōu)化，結(jié)果顯示：優(yōu)化后的生產(chǎn)調(diào)控制度有效地改善了水驅(qū)開發(fā)效果，相比優(yōu)化前累產(chǎn)油增幅達(dá)60%以上，達(dá)到了降水增油的目的。

蒙特卡洛法；梯度逼近法；生產(chǎn)優(yōu)化；最優(yōu)控制；數(shù)值模擬

油藏動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)生產(chǎn)優(yōu)化（Real－time production optimization）［1～3］是目前油氣田開發(fā)工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，它也是智能油田研究的核心內(nèi)容之一。開展該技術(shù)的研究對(duì)于降低油藏開發(fā)的不確定性和風(fēng)險(xiǎn)性因素，提高油藏經(jīng)營(yíng)管理水平和減小油氣開采成本都具有重要理論和應(yīng)用價(jià)值。目前，求解油藏生產(chǎn)優(yōu)化的核心問題是如何計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度。由于油藏的動(dòng)態(tài)體系是非常復(fù)雜的，要計(jì)算解析梯度極為困難。最常用的方法就是采用伴隨方法（Adjoint Method）［4，5］進(jìn)行梯度求解，但是該方法需要編寫伴隨矩陣嵌入油藏?cái)?shù)值模擬計(jì)算中，求解過程異常復(fù)雜；由于受到模擬器的限制，該方法難以在實(shí)際油田開發(fā)中得到廣泛應(yīng)用。

Patelli等［6］于2009年提出了一種蒙特卡洛梯度逼近方法（MCGA法），該方法通過生成并計(jì)算多個(gè)隨機(jī)控制向量實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)函數(shù)值來估計(jì)原問題的梯度。由于該方法僅需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)，因此，易于和各種商業(yè)模擬器相結(jié)合進(jìn)行實(shí)際生產(chǎn)優(yōu)化問題的求解，且該方法計(jì)算所得梯度的期望值為真實(shí)梯度，因而保證了算法的收斂性。筆者在充分分析MCGA方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合油藏?cái)?shù)值模擬技術(shù)對(duì)某油田單元開展了油藏生產(chǎn)參數(shù)優(yōu)化，取得了較好的應(yīng)用效果。

1 油藏生產(chǎn)性能指標(biāo)函數(shù)

研究油藏開發(fā)生產(chǎn)優(yōu)化問題，需要針對(duì)實(shí)際情況提出最優(yōu)控制的性能指標(biāo)。根據(jù)國(guó)內(nèi)外研究，這里采用如下性能指標(biāo)函數(shù)來評(píng)價(jià)油田開發(fā)效果，其表達(dá)式為：

式中，F(xiàn)為性能指標(biāo)函數(shù)，主要通過油藏模擬器計(jì)算獲得，表征了開發(fā)期內(nèi)經(jīng)濟(jì)凈現(xiàn)值（NPV），元；y為狀態(tài)變量，表征了流體的狀態(tài)分布；u為Nu維控制變量，主要包含了油水井在各個(gè)控制時(shí)間上的注采參數(shù)（如注水量、井底壓力等）；N為總生產(chǎn)控制時(shí)間步；Co為原油銷售價(jià)格，元/m3；Cw為產(chǎn)水成本價(jià)格，元/m3；Cwi為注水成本價(jià)格，元/m3為n時(shí)刻區(qū)塊產(chǎn)油速度，m3/d；為n時(shí)刻區(qū)塊產(chǎn)水速度，m3/d；為n時(shí)刻區(qū)塊注水速度，m3/d；a為平均年利率，%；Δtn為n時(shí)刻模擬計(jì)算時(shí)間步，d；tn為n時(shí)刻累積計(jì)算時(shí)間，d。

油藏生產(chǎn)優(yōu)化就是以當(dāng)前地下流體的狀態(tài)分布y為基礎(chǔ)，求取性能指標(biāo)F的最大值及相應(yīng)的最優(yōu)控制參數(shù)u。根據(jù)實(shí)際條件，油水井的生產(chǎn)要受到工作能力及設(shè)備的限制，即控制變量要滿足一定的約束，文中僅考慮最簡(jiǎn)單的上下邊界約束來對(duì)指標(biāo)函數(shù)F進(jìn)行優(yōu)化。根據(jù)最優(yōu)化原理［7］，求解油藏生產(chǎn)優(yōu)化的關(guān)鍵是如何計(jì)算性能指標(biāo)F對(duì)于控制變量u的梯度。鑒于伴隨方法求解梯度過于復(fù)雜的局限性，下面將采取MCGA法對(duì)梯度進(jìn)行估計(jì)，并通過迭代的方法來優(yōu)化F。

2 MCGA優(yōu)化方法

MCGA方法的基本思想是：首先利用蒙特卡洛法在當(dāng)前最優(yōu)變量周圍生成若干個(gè)隨機(jī)變量的實(shí)現(xiàn)，然后分別求取各變量實(shí)現(xiàn)所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，最后利用各實(shí)現(xiàn)及其目標(biāo)函數(shù)值來估計(jì)目標(biāo)函數(shù)的梯度。

對(duì)于油藏生產(chǎn)優(yōu)化，設(shè)第k個(gè)迭代步獲得的最優(yōu)控制變量為uk，其對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)函數(shù)為F（uk，y）。根據(jù)MCGA方法原理，首先在uk周圍生成Nr個(gè)控制變量，其表達(dá)式為：

式中，uk，j表示第j個(gè)控制變量實(shí)現(xiàn)；γ為擾動(dòng)常數(shù)；rj為第j個(gè)擾動(dòng)向量，其中的分量一般為符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量，即。

將各實(shí)現(xiàn)uk，j代入油藏模擬器中，經(jīng)過計(jì)算可求得各自對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)F（uk，j，y）。設(shè)bj為F（uk，j，y）與當(dāng)前最優(yōu)性能指標(biāo)F（uk，y）的差值，即：

對(duì)于指標(biāo)函數(shù)F（uk，y）在uk處的梯度估計(jì)，其第i個(gè)分量應(yīng)用MCGA法進(jìn)行計(jì)算為：

考慮對(duì)F（uk，j，y）在uk進(jìn)行一階泰勒展開，由于γ的值通常比較小，則有：

式中，g（uk）為F（uk，y）在uk處的真實(shí)梯度。將該式代入式（3）中，則bj變?yōu)椋?/p>

式中，gl（uk）表示真實(shí)梯度第l個(gè)分量（l＝1，2，…，Nu）。將式（6）代入式（4）所示的表達(dá)式中，有：

對(duì)式（7）兩邊取期望值可得：

由于rj中的分量為符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，則其滿足以下條件：

式中，uk＋1為迭代更新后的控制變量；表示的無窮范數(shù)；α為搜索步長(zhǎng)。在優(yōu)化過程中，步長(zhǎng)α采取簡(jiǎn)單的不精確線搜索方法來確定，如果當(dāng)前步的目標(biāo)函數(shù)沒有嚴(yán)格增加時(shí)，α將減半，直至使目標(biāo)函數(shù)增大為止。

3 計(jì)算實(shí)例

基于前述MCGA方法，這里對(duì)某油田單元進(jìn)行了油藏生產(chǎn)優(yōu)化計(jì)算。該單元含油面積0.64km2，地質(zhì)儲(chǔ)量85.0×104t，油藏中部深度3750m，油層平均有效厚度22.2m，地下原油粘度60.5mPa·s，油層平均滲透率725.5×10－3μm2，原始地層壓力21.6MPa，平均孔隙度34.2%。單元內(nèi)共投產(chǎn)油井6口、水井2口，目前正常生產(chǎn)油井4口，水井2口。單元累計(jì)產(chǎn)油28.3×104m3、累計(jì)注水8.242×104m3，含水率88.6%。所建該單元的油藏?cái)?shù)值模型如圖1所示。模型共劃分23×14×16＝5152個(gè)網(wǎng)格，X方向步長(zhǎng)30m，Y方向步長(zhǎng)30m，縱向上共劃分2個(gè)砂層組，細(xì)分為16個(gè)小層。

在進(jìn)行油藏生產(chǎn)優(yōu)化前，首先對(duì)該單元進(jìn)行了油藏模擬歷史擬合，圖2顯示了該單元含水率和累積產(chǎn)油的擬合結(jié)果。通過擬合修正該單元各項(xiàng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)，整體擬合效果理想，更新后的油藏?cái)?shù)值模型能較好地反映地下的實(shí)際情況。

根據(jù)目前油藏流體的分布情況和油藏井網(wǎng)，對(duì)該單元生產(chǎn)井的產(chǎn)液量和注水井的注入量進(jìn)行了生產(chǎn)優(yōu)化。優(yōu)化前每口油井的初始產(chǎn)液量和注水井的注入量均按照當(dāng)前工作制度生產(chǎn)，該次優(yōu)化僅考慮邊界約束，油井產(chǎn)液量和水井注入量下邊界均為0m3/d，上邊界均為120m3/d。原油的價(jià)格為3000元/m3，處理產(chǎn)出水的費(fèi)用為110元/m3，注入水的費(fèi)用為0元/m3，年利率為0.1。每60d為一個(gè)控制時(shí)間步，總計(jì)60個(gè)時(shí)間步，因此總優(yōu)化時(shí)間為3600d，共有360個(gè)控制變量。

利用MCGA方法進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，相應(yīng)的計(jì)算參數(shù)設(shè)置為：Nr＝15、γ＝0.1、α＝20.0。從圖3可以看出，整個(gè)優(yōu)化過程經(jīng)過102次迭代計(jì)算收斂，經(jīng)濟(jì)凈現(xiàn)值獲得大幅度增加。圖4反映了優(yōu)化前后單元部分開發(fā)指標(biāo)的變化情況。由圖4可知，考慮優(yōu)化時(shí)間（3600d）內(nèi)的累計(jì)產(chǎn)油變化，經(jīng)過計(jì)算其優(yōu)化后累計(jì)產(chǎn)油為1.8×104m3，相比優(yōu)化前增加了63.6%，而優(yōu)化后的含水率在整個(gè)生產(chǎn)期時(shí)間內(nèi)均低于優(yōu)化前的計(jì)算結(jié)果。另外，從第3小層優(yōu)化前后剩余油分布（圖5）來看，優(yōu)化后油藏的水驅(qū)波及效率也得到了較好的改善。顯然，應(yīng)用該文方法通過對(duì)該油藏實(shí)施優(yōu)化控制，起到了降水增油、提高經(jīng)濟(jì)效益的效果。

圖1 油藏三維地質(zhì)模型

圖2 區(qū)塊含水率及累計(jì)產(chǎn)油擬合結(jié)果

圖3 優(yōu)化過程中的凈現(xiàn)值

圖4 優(yōu)化前后部分開發(fā)指標(biāo)對(duì)比

圖5 優(yōu)化前后第3小油層剩余分布圖

經(jīng)過優(yōu)化后的最終調(diào)控方案如圖6所示。圖中，橫坐標(biāo)表示為控制時(shí)間步序列，縱坐標(biāo)所示為油井或水井；顏色的變化反映了不同時(shí)間步內(nèi)注采參數(shù)的變化?？梢钥闯?，Y87－20井優(yōu)化后趨向于較高的采液速度生產(chǎn)，而其他井則主要保持在較低的生產(chǎn)或注入速度，如Y87－26井和Y87－43井。通過對(duì)不同時(shí)間段內(nèi)生產(chǎn)制度的調(diào)控，盡量抑制油井水的產(chǎn)出，增大原油產(chǎn)量，最終提高開發(fā)效益。

圖6 計(jì)算所得最優(yōu)生產(chǎn)調(diào)控圖

4 結(jié) 論

1）基于MCGA法計(jì)算所得梯度的期望值為真實(shí)梯度，可以用于油藏生產(chǎn)優(yōu)化控制變量梯度的估計(jì)。

2）MCGA方法能夠方便地和任意油藏模擬器相結(jié)合，進(jìn)行實(shí)際生產(chǎn)優(yōu)化問題的求解，避免了采用伴隨法求解遞度過于復(fù)雜的局限性。

3）應(yīng)用MCGA法進(jìn)行實(shí)例計(jì)算，優(yōu)化所得的最優(yōu)控制方案有效提高了油藏波及系數(shù)、增加了經(jīng)濟(jì)開發(fā)效益，進(jìn)一步驗(yàn)證了進(jìn)行油藏實(shí)時(shí)優(yōu)化控制的必要性和可行性。

［1］Saputelli L，Nikolaou M，Economides M J.Real－time reservoir management：a multi－scale adaptive optimization and control approach［J］.Computational Geosciences，2005，10（1）：61～96.

［2］Jansen J，Douma S，Brouwer D，et al.Closed－loop reservoir management［J］.SPE119098，2009.

［3］張凱，李陽(yáng)，姚軍，等.油藏生產(chǎn)優(yōu)化理論研究［J］.石油學(xué)報(bào)，2010，31（1）：78～83.

［4］Sarma P，Durlofsky L，Aziz K.Implementation of adjoint solution for optimal control of smart wells［J］.SPE92864，2005.

［5］Brouwer D，Jansen J.Dynamic optimization of waterflooding with smart wells using optimal control theory［J］.SPEJ，2004，9（4）：391～402.

［6］Patelli E，Pradlwarter H J.Monte Carlo gradient estimation in high dimensions［J］.Int J Numer Math Engng，2010，81：172～188.

［7］袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法［M］.北京：科學(xué)出版社，1999.

Reservoir Production Optimization Based on Monte Carlo Gradient Algorithm Method

CAO Lin，ZHAO Hui，YU Gao－ming（First Author's Address：College of Petroleum Engineering，Yangtze University，Jingzhou434023，Hubei，China）

The adjoint－based methods were mainly used for gradient calculation in reservoir real－time production optimization.But its calculation process was complicated，it was difficult for widely using it.The Monte Carlo Gradient Algorithm（MCGA）was firstly introduced into reservoir production optimization.The MCGA was fairly simple，the solution process was not restricted by reservoir simulator and the expected value of estimated gradient was the true gradient of the objective function.In combination with numerical simulation technology，the MCGA algorithm is applied for optimizing the production parameters of oil－gas wells（i.e.，liquid production rate of producers and injection rate of injectors）in a unit of an oilfield based on history match.The results indicates that the optimal control strategies significantly improve the effect of waterflooding development with cumulative oil production increase of 60%after optimization，which achieves the goal of increasing oil production with water inhibition.

Monte Carlo；gradient algorithm；production optimization；optimal control；numerical simulation

TE323

A

1000－9752（2012）06－0132－05

2011－11－25

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61004095F030202）。

曹琳（1983－），女，2006年大學(xué)畢業(yè)，碩士，助教，現(xiàn)從事油氣田開發(fā)方面的研究工作。

［編輯］ 蕭 雨