最小二乘法在Pt100參數(shù)修正中的應(yīng)用

周雪琴，熊朝暉，陳 衷

（中國工程物理研究院計量測試中心，四川 綿陽 621900）

0 引言

工業(yè)鉑電阻溫度計穩(wěn)定性好、可靠性高，廣泛應(yīng)用于-200～850℃的溫度測量。我國2011年即將實施的工業(yè)鉑電阻檢定規(guī)程[1]中工業(yè)鉑電阻的電阻-溫度特性函數(shù)為

式中：Rt、R0——工業(yè)鉑電阻分別在t、0℃時的電阻值，Ω；

A=3.9083×10-3℃-1；

B=-5.7750×10-7℃-2；

C=-4.1830×10-12℃-4；

常數(shù)A、B、C——工業(yè)鉑電阻的特征參數(shù)（CVD系數(shù)）。

新、舊規(guī)程中，工業(yè)鉑電阻的檢定都是在0℃和100℃展開的。采用對比法[2]，根據(jù)溫度系數(shù)α和鉑電阻在以上2個溫度時的阻值與固定系數(shù)CVD方程之間的偏差判斷其合格等級。因采用固定系數(shù)的CVD方程以及溫度校準(zhǔn)點較少，降低了合格鉑電阻的測量準(zhǔn)確度。在實際應(yīng)用中，可先在實驗室用二等標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻校準(zhǔn)單只工業(yè)鉑電阻的電阻-溫度特征參數(shù)，用校準(zhǔn)得到的特征方程修正CVD方程[3-5]，提高鉑電阻的測溫準(zhǔn)確度。

1 數(shù)學(xué)模型

采用四次多項式工業(yè)鉑電阻的電阻-溫度特征函數(shù)關(guān)系：

式中：w=[α0α1α2α3α4]T——工業(yè)鉑電阻的待估特征參數(shù)；

xn=[1 tntn2tn3tn4]——第n次二等標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻所測溫度值；

Rtn——工業(yè)鉑電阻第n次實際測量電阻值；

δn——n次的測量誤差。

一共有N（N≥5）個測量數(shù)據(jù)點，將N次測量結(jié)果改寫為矢量形式：

采用最小二乘算法計算工業(yè)鉑電阻特征參數(shù)[6-8]，選擇目標(biāo)函數(shù)[9]：

則wLS滿足方程：

該方程也稱為正則方程。

當(dāng)系數(shù)矩陣XN受到很小的擾動ΔX時，若引起解向量w很大的變化，則稱系數(shù)矩陣XN是病態(tài)矩陣[10]。條件數(shù)就反映了擾動ΔX經(jīng)系數(shù)矩陣的傳播之后擴(kuò)大為解向量的誤差程度，是衡量線性方程數(shù)值穩(wěn)定性的一個重要指標(biāo)。式（6）中系數(shù)矩陣XNTXN的條件數(shù)為

2 特征參數(shù)求解

奇異值分解定理[11]：總存在2個酉矩陣V和U使得XN可以分解為

其中，σ1，σ2，…，σw是數(shù)據(jù)矩陣 XN的奇異值，σ1≥σ2≥…≥σw≥0，w≤N。將式（8）帶入正則方程，可以得到：

則特征參數(shù)的LS解為

求得的特征參數(shù)是以總體誤差平方和最小為原則，在評價修正特征參數(shù)對溫度測量誤差的結(jié)果時也應(yīng)該遵循這個準(zhǔn)則。

3 實驗方法及結(jié)果分析

校準(zhǔn)系統(tǒng)裝置由1臺控溫范圍-100～300℃的恒溫槽、二等標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻溫度計、測溫電橋組成。隨機(jī)選取3只工業(yè)鉑電阻溫度計作為校準(zhǔn)對象。

在使用溫度范圍內(nèi)選取13個溫度校準(zhǔn)點Tv，從中選取5、6、7個溫度Tm并測出對應(yīng)的電阻值Rm，計算工業(yè)鉑電阻溫度計特征參數(shù) w=[α0α1α2α3α4]。并利用校準(zhǔn)溫度點Tv和對應(yīng)的電阻值Rv評價特征參數(shù)對測量準(zhǔn)確性的影響。

Tv=[-70，-50，-20，0，50，75，100，125，150，175，200，225，250]

T5=[-70，0，100，150，200]

T6=[-70，0，100，150，200，250]

T7=[-70，-20，0，100，150，200，250]

圖1是3只工業(yè)鉑電阻在13個溫度校準(zhǔn)點，采用CVD方程和不同校準(zhǔn)溫度點得到的特征方程估計的溫度值與二等標(biāo)準(zhǔn)鉑電阻實際測量溫度值之間的誤差。實驗結(jié)果表明，隨著校準(zhǔn)溫度點數(shù)的增加，用計算得到的特征參數(shù)估計溫度值，就越能反映測量的真實溫度。實際應(yīng)用過程中，只要在使用溫度范圍內(nèi)均勻選取6個溫度點校準(zhǔn)工業(yè)鉑電阻的特征參數(shù)方程，其溫度測量誤差可以控制在±0.1℃以內(nèi)。

工業(yè)鉑電阻特征參數(shù)修正對溫度測量誤差的影響與校準(zhǔn)特征參數(shù)的溫度點個數(shù)有關(guān)，它們之間的關(guān)系定義為特征參數(shù)修正影響因子。首先給出特征參數(shù)修正影響因子的定義：

式中：s——校準(zhǔn)溫度點的個數(shù)；

m——驗證溫度點的個數(shù)；

圖1 3只工業(yè)鉑電阻在驗證點的測量誤差

tjcvd（s）——CVD方程計算的溫度值；

從式（11）中可以看出，特征參數(shù)修正影響因子直接說明了用SVD方法計算得到的特征參數(shù)修正CVD特征方程的效果。當(dāng)λ（s）的值小于1時，特征參數(shù)修正后總體的測量誤差在數(shù)值上比CVD特征方程的??；λ（s）數(shù)值上越小，修正特征參數(shù)的效果越明顯。表格1是溫度校準(zhǔn)點個數(shù)不同時得到特征參數(shù)修正影響因子的值。從表1中可以看出，λ（s）的值均小于1，說明通過對特征參數(shù)的修正，有效地減小了CVD特征參數(shù)引入的系統(tǒng)誤差。

表1 特征參數(shù)修正影響因子

4 結(jié)束語

采用SVD計算Pt100工業(yè)鉑電阻的特征參數(shù)，分析不同校準(zhǔn)數(shù)據(jù)點數(shù)對校準(zhǔn)結(jié)果的影響。試驗結(jié)果表明，用6個以上校準(zhǔn)溫度點計算得到的特征參數(shù)代替CVD參數(shù)擬合Pt100工業(yè)鉑電阻在-70～250℃范圍內(nèi)的特征曲線，有效地減小了統(tǒng)一分度公式引入工業(yè)鉑電阻的系統(tǒng)誤差，提高了工業(yè)鉑電阻的測量準(zhǔn)確度。修正特征參數(shù)方法是在原有測溫系統(tǒng)的基礎(chǔ)上運用軟件方法提高Pt100工業(yè)鉑電阻的測溫準(zhǔn)確度，其方法簡單可行。并且只需將擬合方程作相應(yīng)的修改，就可以運用到其他溫度傳感器系統(tǒng)誤差的修正，如銅熱電阻、熱敏電阻、熱電偶等。

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