關(guān)于A－子空間性質(zhì)的初步探討

黃娟霞

(隴南師范高等專(zhuān)科學(xué)校數(shù)學(xué)系，甘肅成縣742500)

關(guān)于A－子空間性質(zhì)的初步探討

黃娟霞

(隴南師范高等專(zhuān)科學(xué)校數(shù)學(xué)系，甘肅成縣742500)

高等代數(shù)中對(duì)于子空間性質(zhì)的討論比較詳細(xì)，但對(duì)于A－子空間卻只給出一些概念性的表層描述.對(duì)于學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，非常關(guān)注A－子空間作為特殊的子空間，除了具有類(lèi)似于子空間的性質(zhì)以外，又具有哪些區(qū)別于子空間的性質(zhì).本文從這個(gè)思路出發(fā)，全面深刻的討論了A－子空間的性質(zhì).

子空間;A－子空間;向量空間;線性變換

在高等代數(shù)中，為了解決線性變換對(duì)角化的問(wèn)題而提出了A－子空間的概念.

定義1設(shè)A是數(shù)域F上向量空間V的線性變換，W是V的子空間.如果W中的向量在A下的像仍在W中，換句話說(shuō)，對(duì)于W中任意向量ξ，有Aξ∈W，我們就稱(chēng)W是A的不變子空間，簡(jiǎn)稱(chēng)A－子空間［1］.下面討論A－子空間的性質(zhì).

定理1如果W是域F上向量空間V的一個(gè)子空間，則W是數(shù)乘變換的不變子空間(K－子空間).

證明設(shè)?α∈W，k∈F，由于W是域F上向量空間V的一個(gè)子空間，所以kα∈W，即W是數(shù)乘變換的不變子空間(K－子空間).

定理2設(shè)A是向量空間V的線性變換，如果W1，W2都是A－子空間，則W1+W2、W1∩W2也是A－子空間.

證明首先證明W1+W2是A－子空間.

設(shè)?α∈W1+W2，即α=α1+α2，α1∈W1，α2∈W2，于是Aα=A(α1+α2)=Aα1+Aα2，又因?yàn)閃1，W2都是A－子空間，所以Aα1∈W1，Aα2∈W2，即Aα1∈W1+W2，因此，W1+W2是A－子空間.

同理可證W1∩W2是A－子空間.

定理3設(shè)A、B都是向量空間V的線性變換，如果W既是A－子空間，又是B－子空間，則W是(A+B)－子空間，(AB)－子空間.

證明首先證明W是(A+B)－子空間.

設(shè)?α∈W，因?yàn)閃既是A－子空間，又是B－子空間，所以Aα∈W，Bα∈W，則(A+B)(α)=Aα+Bα∈W，故W是(A+B)－子空間.

同理可證W是(AB)－子空間.

定理4設(shè)A是向量空間V的一個(gè)線性變換，如果W是A－子空間，則W是A2－子空間.

證明設(shè)?α∈W，由于W是A－子空間，所以Aα∈W，故A2α=A(Aα)∈W.因此W是A2－子空間.

定理5設(shè)A是有限維向量空間V的可逆線性變換，設(shè)A可逆，如果W是A－子空間，則W是A－1－子空間［2］.

證明當(dāng)W=V或W={0}時(shí)，結(jié)論顯然成立.

當(dāng)dimW=r，dimV=n，且0 ＜r＜n時(shí)，任取W的一組基α1，α2，…，αr，由于W是A－子空間，且A可逆，所以Aαi=β∈W，(i=1，2，…，r).

下證β1，β2，…，βr也是W的一組基，因?yàn)榱顇1β1+x2β2+ … +xrβr=0，則A－1是V的線性變換，且

再由α1，α2，…，αr線性無(wú)關(guān)，所以x1=x2=… =xr=0.

此即β1，β2，…，βr也是W的一組基.?α∈W，則α=l1β1+l2β2+ … +lrβr，

A－1(α)=l1A－1(β1)+l2A－1(β2)+… +lrA－1(βr)=l1α1+l2α2+… +lrαr∈W，即證W是A－1－子空間.

定理6設(shè)A是向量空間V的線性變換，那么ImA、KerA是A－子空間［3］.

定理7設(shè)A、B都是向量空間V的線性變換，如果A與B可交換，那么KerB、ImB，B的特征子空間都是A－子空間.

證明任取β∈KerB，則Bβ=0，于是B(Aβ)=(BA)β=A(Bβ)=A0=0.因此Aβ∈KerB.從而KerB是A－子空間.

任取γ∈ImB，則存在α∈V，使得Bα=γ，又AB=BA，從而

因此Aγ∈ImB.從而ImB是A－子空間.

在B的特征子空間Vλj中任取一向量ξ，則Bξ=λjξ.

從而B(niǎo)(Aξ)=(BA)ξ=(AB)ξ=A(Bξ)=A(λjξ)=λjAξ.因此，Aξ∈Vλj，故Vλj是A－子空間.

推論8設(shè)A是域F上向量空間V的線性變換，f(x)∈F(x)，則KerF(A)、Imf(A)、f(A)的特征子空間都是A－子空間.

定理9設(shè)A是向量空間V的線性變換，ξ∈V，且ξ≠0，則L(ξ)是A－子空間當(dāng)且僅當(dāng)ξ是A的一個(gè)特征向量［4］.

證明必要性 設(shè)L(ξ)是A－子空間，即?ξ∈V，有Aξ∈L(ξ)，從而存在λ0∈F，使得Aξ=λ0ξ.因此ξ是A的屬于特征值λ0的一個(gè)特征向量.

充分性設(shè)ξ是A的一個(gè)特征向量，則Aξ=λ0ξ，從而A(kξ)=kAξ=kλ0ξ∈L(ξ)，因此L(ξ)是A－子空間.

定理10設(shè)A是向量空間V的線性變換，W=L(α1，α2，…，αr)是V的子空間，則W是A－子空間當(dāng)且僅當(dāng)Aαi∈W，i=1，2，…，r.

［1］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［2］錢(qián)吉林.高等代數(shù)題解精粹［M］.北京:中央民族大學(xué)出版社，2002.

［3］劉仲奎，楊永保，等.高等代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［4］樊惲，錢(qián)吉林，等.代數(shù)學(xué)辭典［M］.武漢:華中師范大學(xué)出版社，1996.

G642.41

A

1003-8078(2012)03-0031-02

2012-04-23 doi10.3969/j.issn.1003-8078.2012.03.09

黃娟霞，女，甘肅秦安人，講師，主要從事高等代數(shù)的教學(xué)與研究.

(張所濱)