數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和ESPRIT在低頻振蕩分析中的應(yīng)用

聶永輝， 榮令玉， 張立艷

(1.東北電力大學(xué)教務(wù)處， 吉林 132012； 2.西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院， 西安 710049；3.華能九臺(tái)電廠運(yùn)行部， 吉林 130501； 4.陜西省電力公司銅川供電局， 銅川 727100)

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和ESPRIT在低頻振蕩分析中的應(yīng)用

聶永輝1，2， 榮令玉3， 張立艷4

(1.東北電力大學(xué)教務(wù)處， 吉林 132012； 2.西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院， 西安 710049；3.華能九臺(tái)電廠運(yùn)行部， 吉林 130501； 4.陜西省電力公司銅川供電局， 銅川 727100)

為了準(zhǔn)確地辨識(shí)電力系統(tǒng)低頻振蕩模態(tài)參數(shù)，該文提出了基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)MM(mathematical morphology)和總體最小二乘法的旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)TLS-ESPRIT (total least squares-estimation of signal parameters via rotational invariance technique)的電力系統(tǒng)低頻振蕩模態(tài)參數(shù)識(shí)別新方法。首先運(yùn)用基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)原理而構(gòu)成形態(tài)濾波器對(duì)含有噪聲的電力系統(tǒng)低頻振蕩測(cè)量信號(hào)進(jìn)行濾波和平穩(wěn)化處理，去除噪聲，提高辨識(shí)精度；然后由TLS-ESPRIT算法辨識(shí)出電力系統(tǒng)低頻振蕩模態(tài)參數(shù)，該算法把信號(hào)分成信號(hào)子空間和噪聲子空間，能夠得到更符合電力系統(tǒng)實(shí)際的降階模型和主導(dǎo)模態(tài)，有助于電力系統(tǒng)振蕩特性分析和阻尼控制器的設(shè)計(jì)研究。數(shù)值仿真分析表明該方法的可行性和有效性。

低頻振蕩； 參數(shù)辨識(shí)； 總體最小二乘法-旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)； 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)； 主導(dǎo)模態(tài)

目前，電力系統(tǒng)的規(guī)模不斷擴(kuò)大，長(zhǎng)距離輸電和弱聯(lián)網(wǎng)現(xiàn)象增多，弱阻尼的低頻振蕩正成為限制互聯(lián)電網(wǎng)傳輸能力的瓶頸，嚴(yán)重威脅電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行，正確監(jiān)測(cè)和分析系統(tǒng)低頻振蕩特性，成為實(shí)現(xiàn)有效的阻尼控制并進(jìn)而提高大型電網(wǎng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵技術(shù)。

多年來(lái)，各種方法用來(lái)研究低頻振蕩問(wèn)題，其中包括特征值分析法、Prony方法等。特征值分析法[1]是研究電力系統(tǒng)低頻振蕩的一種經(jīng)典方法，但隨系統(tǒng)規(guī)模及復(fù)雜程度的不斷增加，傳統(tǒng)方法日益暴露出其不足。

Prony及其改進(jìn)方法[2～8]是一種模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的時(shí)域方法，近年來(lái)被廣泛應(yīng)用于分析電力系統(tǒng)低頻振蕩和控制器參數(shù)優(yōu)化等場(chǎng)合。Prony方法是一種基于多項(xiàng)式的算法，先通過(guò)各種方法求得觀測(cè)數(shù)據(jù)滿(mǎn)足的多項(xiàng)式,然后再通過(guò)求解多項(xiàng)式的根來(lái)辨識(shí)低頻振蕩的頻率、阻尼等信息。所以Prony方法對(duì)噪聲比較敏感。

本文提出了基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和總體最小二乘法的旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的電力系統(tǒng)低頻振蕩模態(tài)參數(shù)識(shí)別新方法。首先運(yùn)用基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)原理而構(gòu)成形態(tài)濾波器對(duì)含有噪聲的電力系統(tǒng)低頻振蕩測(cè)量信號(hào)進(jìn)行濾波和平穩(wěn)化處理，去除噪聲，提高辨識(shí)精度；然后由TLS-ESPRIT算法辨識(shí)出電力系統(tǒng)低頻振蕩模態(tài)參數(shù)，該算法把信號(hào)分成信號(hào)子空間和噪聲子空間，能夠得到更符合電力系統(tǒng)實(shí)際的降階模型和主導(dǎo)模態(tài)，有助于電力系統(tǒng)振蕩特性分析和阻尼控制器的設(shè)計(jì)研究。

1 理論介紹

1.1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論介紹

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)[8，9]是一種非線性信號(hào)處理和分析方法。其基本思想是通過(guò)一個(gè)稱(chēng)作結(jié)構(gòu)元素的“探針”(相當(dāng)于濾波窗)在信號(hào)中不斷移動(dòng)，將復(fù)雜信號(hào)分解為具有物理意義的各部分，以考察信號(hào)各部分之間的相互關(guān)聯(lián)，并提取有用信息來(lái)描述信號(hào)特征。

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算包括膨脹、腐蝕以及形態(tài)開(kāi)、閉運(yùn)算。由于電力系統(tǒng)的信號(hào)一般為一維信號(hào)，這里只介紹一維離散情況下的形態(tài)變換。

設(shè)輸入序列f(n)，g(n)分別是F={0，1，…，N-1}和G={0，1，…，M-1}上的離散函數(shù)，且Ngt;M。用g(n)對(duì)信號(hào)f(n)進(jìn)行膨脹和腐蝕分別定義如下：

(f⊕g)(n)=max{f(n-m)+g(m)|(n-

m)∈F，n∈G}

(1)

(fΘg)(n)=min{f(n+m)-g(m)|(n-

m)∈F，n∈G}

(2)

集合g在形態(tài)學(xué)中稱(chēng)為結(jié)構(gòu)元素，結(jié)構(gòu)元素的設(shè)計(jì)一般取決于濾波后要保持的信號(hào)形狀。

膨脹和腐蝕具有以下性質(zhì)：

(fc⊕gc)(n)=(fΘg)(n)

(3)

(fcΘgc)(n)=(f⊕g)(n)

(4)

c表示取補(bǔ)集，上述性質(zhì)稱(chēng)為膨脹和腐蝕的對(duì)偶性，除此之外，膨脹和腐蝕還具有結(jié)合性、平移不變性、交換率和遞增性。

在膨脹和腐蝕基礎(chǔ)上，定義形態(tài)開(kāi)運(yùn)算、形態(tài)閉運(yùn)算、開(kāi)-閉運(yùn)算、閉-開(kāi)運(yùn)算分別如下：

(f°g)(n)=(fΘg⊕g)(n)

(5)

(f·g)(n)=(f⊕gΘg)(n)

(6)

foc(n)=(f°g·g)(n)

(7)

fco(n)=(f·g°g)(n)

(8)

在信號(hào)處理中，開(kāi)運(yùn)算可去掉信號(hào)峰值(正脈沖)噪聲，去除信號(hào)邊緣毛刺、孤立斑點(diǎn)及小橋結(jié)構(gòu)，即對(duì)信號(hào)進(jìn)行平滑；閉運(yùn)算可抑制信號(hào)低谷(負(fù)脈沖)噪聲，填補(bǔ)孔洞和裂縫。可見(jiàn)，形態(tài)開(kāi)、閉運(yùn)算均具有濾波功能。

1.2TLS-ESPRIT算法介紹

ESPRIT方法是1986年由ROY等人[10～12]提出的，假設(shè)信號(hào)由一系列幅值按指數(shù)規(guī)律變化的正弦信號(hào)與白噪聲組合，而電力系統(tǒng)低頻振蕩信號(hào)正好符合這一特點(diǎn)，在采樣時(shí)刻，其表達(dá)式為

(9)

式中：sk=akejθk，ak和θk分別為第k個(gè)模態(tài)的幅值和初始相位；ωk、σk分別為第k個(gè)模態(tài)的頻率和衰減因子；w(n)為高斯白噪聲。當(dāng)信號(hào)為實(shí)信號(hào)時(shí)，p為信號(hào)實(shí)際含有的實(shí)正弦分量個(gè)數(shù)的兩倍。

對(duì)于連續(xù)M時(shí)刻觀測(cè)值可以寫(xiě)成向量形式：

X(n)=[x(n)，…，x(n+M-1)]T=

As(n)+w(n)

(10)

其中：A為M×p信號(hào)頻率矩陣；s(n)為復(fù)幅值信號(hào)向量，表達(dá)式為：

(11)

設(shè)Φ=diag(e-σ1+jω1，…，e-σp+jωp)，則：

Y(n)=X(n+1)=AΦs(n)+w(n+1)

(12)

A2=A1Φ

(13)

式中：矩陣A1和A2為矩陣A刪除第一行和最后一行所得，因此Φ為旋轉(zhuǎn)矩陣，這就是旋轉(zhuǎn)不變性的解釋。根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣可求出信號(hào)的頻率，從而進(jìn)一步可求出某一頻率信號(hào)的所有參數(shù)。

為了實(shí)現(xiàn)從被噪聲污染的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)或者時(shí)域仿真數(shù)據(jù)中估計(jì)出信號(hào)的參數(shù)，本文采用根據(jù)HANKEL矩陣實(shí)現(xiàn)TLS-ESPRIT算法。具體實(shí)現(xiàn)步驟簡(jiǎn)述如下。

根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)序列x(0)，x(1)，…，x(N-1)構(gòu)造Hankel數(shù)據(jù)矩陣

XL×M=[x(0)，x(1)，…，x(M-1)]=

(14)

式中：Lgt;P，Mgt;P，L+M-1=N，L通常取N/4～N/3。

對(duì)X進(jìn)行奇異值分解得

X=U∑VH

(15)

式中：∑為對(duì)角陣，對(duì)角元素按ξ1≥ξ2≥…≥ξpgt;ξp+1≈…≈ξmin(L,M)≈0的降序排列，此時(shí)，可將V按奇異值大小劃分為信號(hào)子空間V1和噪聲子空間V2。ξ1，ξ2，……，ξp所對(duì)應(yīng)的右奇異向量為信號(hào)子空間V1的各列向量。

利用總體最小二乘求解，令V↑和V↓分別表示信號(hào)子空間矩陣V1刪除第一行和最后一行的矩陣，根據(jù)式(13)有如下方程成立：

(V↑+e1)=(V↓+e2)φ

(16)

式中：矩陣φ和式(13)中的旋轉(zhuǎn)矩陣Φ是相似矩陣，具有相同的特征值，e1，e2為擾動(dòng)矩陣(可認(rèn)為信號(hào)中存在的噪聲和其他一些干擾)，求方程(16)的最優(yōu)解φ，使擾動(dòng)矩陣D=[-e1，e2]的Fronenius范數(shù)取得最優(yōu)值，這是總體最小二乘求解思想。

計(jì)算φ的特征值λk(k=1，2，…，p)，便可計(jì)算出原信號(hào)中各分量頻率和衰減因子，計(jì)算公式為

(17)

(18)

對(duì)于N個(gè)采樣信號(hào)組成的向量X，有X=λs，其中：

(19)

根據(jù)最小二乘法得出s=(λTλ)-1λTX，從而可估計(jì)出信號(hào)中各分量的幅值和相位：

ak=2|sk|，θk=arg(sk)k=1，2，…，p

(20)

2 實(shí)現(xiàn)問(wèn)題

2.1 形態(tài)濾波器實(shí)現(xiàn)問(wèn)題

電力系統(tǒng)的測(cè)量數(shù)據(jù)均為非線性非平穩(wěn)含有噪聲的信號(hào)，經(jīng)形態(tài)濾波器濾去原始信號(hào)中的噪聲，從而提高檢測(cè)低頻振蕩分量的精度。

目前運(yùn)用較多的形態(tài)濾波器是由前面介紹的開(kāi)-閉運(yùn)算foc(n)和閉-開(kāi)運(yùn)算fco(n)組合而成：

(21)

該濾波器的優(yōu)點(diǎn)是可同時(shí)抑制信號(hào)中的正、負(fù)脈沖噪聲，但由于在級(jí)聯(lián)過(guò)程中使用了相同的結(jié)構(gòu)元素，導(dǎo)致其只能對(duì)一種噪聲有較好的濾波效果，而不能很好地處理各種噪聲。形態(tài)濾波器的濾波效果既取決于變換的方式，又與結(jié)構(gòu)元素的尺寸和形狀有關(guān)。一般只有與結(jié)構(gòu)元素相匹配的信號(hào)才能被保持。本文構(gòu)造由半圓結(jié)構(gòu)元素和三角形結(jié)構(gòu)元素兩種結(jié)構(gòu)元素組成的實(shí)時(shí)形態(tài)濾波器，從而濾除白噪聲和脈沖噪聲等多種干擾。

設(shè)f(n)為定義在F={0，1，…，N-1}上的離散信號(hào)，兩個(gè)結(jié)構(gòu)元素分別為g1(n)(n∈G1)和g2(n)(n∈G2)。則形態(tài)開(kāi)-閉和閉-開(kāi)濾波器分別定義為：

foc(n)=(f°g1·g2)(n)

(22)

fco(n)=(f·g1°g2)(n)

(23)

按照式(21)，利用形態(tài)開(kāi)-閉和閉-開(kāi)運(yùn)算的平均組合而成形態(tài)濾波器，既能消除形態(tài)算子產(chǎn)生的統(tǒng)計(jì)偏移，又能更好地保持原信號(hào)幾何特征。

2.2TLS-ESPRIT算法實(shí)現(xiàn)問(wèn)題

采用TLS-ESPRIT算法，信號(hào)模型階數(shù)在計(jì)算過(guò)程中更易確定。通常當(dāng)igt;p時(shí)，由式(15)得到的矩陣X的奇異值ξi會(huì)減小。若存在整數(shù)使得：

(24)

則可近似地p=[i/2]×2取為降維模型階數(shù)，[·]表示向上取整函數(shù)。參數(shù)k取決于測(cè)量信號(hào)的噪聲水平等，可通過(guò)觀察ξi變化或根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定。

3 仿真結(jié)果

3.1 測(cè)試信號(hào)分析

電力系統(tǒng)低頻振蕩信號(hào)由一系列幅值按指數(shù)規(guī)律變化的正弦信號(hào)與白噪聲組合，還可表示為：

(25)

構(gòu)造一個(gè)含有噪聲的低頻振蕩測(cè)試信號(hào)，具體參數(shù)如表1，w(t)為白噪聲，幅值為0.2。該信號(hào)頻率集中在0.1～2.5 Hz之間，可較好地模擬低頻振蕩信號(hào)的主要特點(diǎn)。對(duì)現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，過(guò)高的采樣率會(huì)帶入不必要的高頻噪聲信號(hào)，所以低頻振蕩測(cè)試信號(hào)的采樣頻率不必過(guò)高，本文取40 Hz。

表1 理想低頻振蕩模態(tài)分量參數(shù)與辨識(shí)結(jié)果

圖1為加入噪聲干擾后的低頻振蕩測(cè)試信號(hào)，圖2為理想低頻振蕩測(cè)試信號(hào)，圖3為去噪后的低頻振蕩測(cè)試信號(hào)，可以看出形態(tài)濾波器有效地去除了噪聲，保留了低頻振蕩信號(hào)的特征。

圖1 含噪的低頻振蕩測(cè)試信號(hào)

為說(shuō)明本文方法的有效性，將本文方法與基于原始Prony方法的辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行比較，最終辨識(shí)出的參數(shù)如表1 。仿真結(jié)果可知，在較大噪聲環(huán)境下，采用Prony方法辨識(shí)得到的振蕩頻率和阻尼系數(shù)的最大相對(duì)誤差為6.4%和7.4%；而采用本方法辨識(shí)得到的振蕩頻率和阻尼系數(shù)的最大相對(duì)誤差為0.44%和0.08%?？梢?jiàn)，本文方法能夠?qū)Φ皖l振蕩信號(hào)進(jìn)行有效的模態(tài)分離和參數(shù)辨識(shí)。

圖2 理想低頻振蕩測(cè)試信號(hào)

圖3 去噪的低頻振蕩測(cè)試信號(hào)

3.2 四機(jī)兩區(qū)域系統(tǒng)分析

為驗(yàn)證本文算法的有效性，在MATLAB平臺(tái)上搭建四機(jī)兩區(qū)域仿真系統(tǒng)進(jìn)行低頻振蕩分析，系統(tǒng)接線圖如圖4所示，具體參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。采用白噪聲激勵(lì)G1發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁模塊參考電壓，作用時(shí)間為20 s。采集G4發(fā)電機(jī)的相對(duì)功角搖擺曲線，如圖5所示。

圖4 四機(jī)兩區(qū)域系統(tǒng)接線圖

圖5 G4相對(duì)功角振蕩曲線

利用該方法對(duì)功角振蕩數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)，可以得出降階模型的模式參數(shù)，分析得出系統(tǒng)的主振蕩頻率為0.6 Hz，這和圖6顯示的FFT變換的結(jié)果是一致的，具體辨識(shí)結(jié)果見(jiàn)表2。

圖6 G4相對(duì)功角曲線的FFT變換頻譜圖

表2 辨識(shí)結(jié)果

4 結(jié)語(yǔ)

本文將基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和總體最小二乘法的旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)應(yīng)用于電力系統(tǒng)低頻振蕩模態(tài)參數(shù)識(shí)別。數(shù)學(xué)形態(tài)濾波器能有效去除低頻振蕩測(cè)量信號(hào)所含噪聲，對(duì)其進(jìn)行濾波和平穩(wěn)化處理，提高辨識(shí)精度；由TLS-ESPRIT算法辨識(shí)出電力系統(tǒng)的降階模型，得到系統(tǒng)的主振模態(tài)，能反映系統(tǒng)實(shí)際狀態(tài)，為電力系統(tǒng)穩(wěn)定器的安裝提供參考依據(jù)。

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聶永輝(1970-)，男，講師，研究方向?yàn)樾盘?hào)處理、非線性系統(tǒng)理論在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用。Email:yonghui_n@ yahoo.com.cn

榮令玉(1969-)，男，工程師，主要從事發(fā)電運(yùn)行工作。Email:yonghui_n@ yahoo.com.cn

張立艷(1986-)，女，助理工程師，主要從事電力系統(tǒng)繼電保護(hù)方面的工作。Email:diaolingheye@ 163.com

LowFrequencyOscillationAnalysisUsingMathematicalMorphologyandESPRIT

NIE Yong-hui1，2， RONG Ling-yu3， ZHANG Li-yan4

(1.Academic Administration, Northeast Dianli University, Jilin 132012, China；2.Electrical Engineering College, Xi'an Jiaotong University, Xi'an 710049, China;3.Operation Department, Huaneng Jiutai Power Plant, Jilin 130501, China;4.Tongchuan Power Supply Bureau, Shanxi Electric Power Company,Tongchuan 727100, China)

To accurately identify power system low frequency oscillation mode parameters, the paper proposes a new approach based on mathematical morphology (MM) and total least squares-estimation of signal parameters via rotational invariance technique (TLS-ESPRIT). Firstly, the measured low frequency oscillation signals with noise will be filtered with the morphological filter based on the principle of MM, which effectively removes noise and improves the identification accuracy. And Then the low frequency oscillation parameters can be obtained through TLS-ESPRIT, which divide a signal into signal subspace and noise subspace. And then the reduced-order model and dominant mode obtained greatly reflects the low oscillation characteristics .This can help to analyze the power system oscillation characteristics and devise power system damping controller. Numerical simulation shows the feasibility and effectiveness of the proposed approach.

low frequency oscillation； parameter identification； total least squares-estimation of signal parameters via rotational invariance technique(TLS-ESPRIT)； mathematical morphology； dominant mode

TM711

A

1003-8930(2012)06-0123-05

2012-01-04；

2012-04-02