基于MATLAB對(duì)二維混合邊界靜電場(chǎng)域的分析

李小兵

（蘭州交通大學(xué)，電子與信息工程學(xué)院， 甘肅蘭州 730070）

0 引言

當(dāng)電磁波通過(guò)兩個(gè)不同的媒質(zhì)邊界時(shí)，邊界附近的電磁場(chǎng)需要滿足一定的規(guī)則，即邊界條件，它把場(chǎng)量、介質(zhì)的材料特性及邊界面上的電荷及電流密度聯(lián)系在一起，邊界條件可以從基本的電磁定律得到。由于描述電磁場(chǎng)的偏微分方程是空間坐標(biāo)的函數(shù)，因此只有在一組特定的邊界條件下才能獲得唯一解。分離變量法和鏡像法都是求解靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題解析解(精確解)的方法，但它們只有對(duì)一些特殊對(duì)稱的邊界才是可行的。在許多實(shí)際問(wèn)題中,往往由于邊界條件過(guò)于復(fù)雜而無(wú)法求得解析解,這時(shí)一般要借助數(shù)值法求二維靜態(tài)場(chǎng)域的電位所求得的。而應(yīng)用有限差分法在對(duì)靜電場(chǎng)進(jìn)行求解的結(jié)果比較誤差較小，不僅數(shù)學(xué)建模和編程有規(guī)可循，而且場(chǎng)域內(nèi)的電位分布情況還可以用圖示一目了然,便于分析。大部分電磁場(chǎng)問(wèn)題涉及3種類型的邊界條件：狄里赫利（Dirichlet）型邊界條件、紐曼（Neumann）型邊界條件、混合型邊界條件，有限差分法對(duì)二維混合邊界靜電場(chǎng)域中的電位進(jìn)行計(jì)算時(shí)涉及到了第一和第二類邊界條件。

1 理論分析

1.1 二維場(chǎng)域的邊界條件

如圖1所示，區(qū)域S的邊界為曲線L所包圍，若二維場(chǎng)域邊界上的電位φ=f,f是一個(gè)事先已知的點(diǎn)位函數(shù)，這種邊界條件為第一類邊界條件（狄里赫利邊界條件）。若二維場(chǎng)邊界滿足為已知數(shù)或一種連續(xù)函數(shù)(見(jiàn)圖2），這種邊界條件為第二類邊界條件（紐曼邊界條件），若二維場(chǎng)邊界條件為第一第二種線性組合（見(jiàn)圖3），則稱為混合邊界條件。

圖1 狄里赫利型邊界條件

圖2 紐曼型邊界條件

圖3 混合型邊界條件

1.2 對(duì)邊界條件的處理

對(duì)第一類邊界條件φ|L=f，若場(chǎng)域的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)都落在邊界L上，無(wú)需處理，若不重合，一種是所謂的直接轉(zhuǎn)移法汲取最靠近0點(diǎn)邊界函數(shù)值做0點(diǎn)，這種方法比較粗糙誤差大。一種是線性插值，先判斷X方向的和Y方向上哪個(gè)節(jié)點(diǎn)更靠近節(jié)點(diǎn)0，如1靠近，可得X方向線性插值0的值（見(jiàn)圖4）。

圖4 第一類邊界條件差分格式

圖5 網(wǎng)格線與邊界重合

2 超松弛法

簡(jiǎn)單迭代在解決實(shí)際問(wèn)題中收斂速度慢，占用存儲(chǔ)單元多（需兩套存儲(chǔ)單元分別存放全部節(jié)點(diǎn)使用價(jià)值不大，采用超松弛發(fā)可以很好的解決。

將剛才算出的左下角的點(diǎn)（i-1，j）和點(diǎn)（i，j-1）代替上次計(jì)算的點(diǎn)（i-1，j）和點(diǎn)（i，j-1），即：

上式稱為高斯-賽德爾迭代法，引入一個(gè)松弛因子ω上式改為

式中，松弛因子ω最佳值為：

3 計(jì)算結(jié)果和討論

一個(gè)長(zhǎng)直接地金屬槽，側(cè)壁和底面電位為零，頂蓋為?= 1 00sinπx，計(jì)算槽內(nèi)電位分布：

槽中電位函數(shù)?滿足拉普拉斯方程：

其邊界條件滿足混合邊界條件：

MATLAB計(jì)算程序框圖如圖6所示。

圖6 計(jì)算程序框圖

通過(guò)MATLAB編程，程序運(yùn)行結(jié)果是：迭代次數(shù)k=111，收斂因子w=1.6093，即經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)111次的迭代后，電位值收斂于一固定值，且誤差小于10-8，場(chǎng)域內(nèi)各網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)電位計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 域內(nèi)網(wǎng)格點(diǎn)電位的計(jì)算結(jié)果（hx=16,hy=12,誤差小于10-8）

應(yīng)用MATLAB繪制二維混合邊界靜電場(chǎng)區(qū)域內(nèi)電位分布三維曲面圖、域內(nèi)等位線及電場(chǎng)線分布如圖7所示。

圖7 二維混合邊界靜電場(chǎng)電位分布圖

我們?cè)趹?yīng)用簡(jiǎn)單迭代法進(jìn)行處理，同樣要求誤差小于10-8，通過(guò)MATLAB編程行結(jié)果是：迭代次數(shù)k=410，即經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)410次的迭代后，電位值收斂于一固定值，且誤差小于10-8，場(chǎng)域內(nèi)各網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)電位計(jì)算結(jié)果與超松弛法相同。

4 結(jié)論

1）混合邊界條件屬于復(fù)雜邊界問(wèn)題，很難求出解析解，但工程中常常要分析其中的電位分布，借助數(shù)值法求解才能進(jìn)行，本文采用有限差分法很好地解決了靜態(tài)場(chǎng)混合邊界條件下的電場(chǎng)分布問(wèn)題。應(yīng)用MATLAB編程求解差分方程，由于混合邊界條件比單一邊界條件情況復(fù)雜得多，給編程帶來(lái)麻煩，但比解析法工作量要小。

2）通過(guò)兩種有限差分求解方法，應(yīng)用超松弛法只需計(jì)算好合適的松弛因子就可以大大加快收斂速度，應(yīng)用超松弛法迭代次數(shù)k=111,而得到同樣的結(jié)果簡(jiǎn)單迭代法需要410次，因此應(yīng)用超松弛法，即節(jié)省時(shí)間還節(jié)省計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)空間。

利用MATLAB 強(qiáng)大的計(jì)算與圖像處理功能分析研究電磁場(chǎng)與電磁波問(wèn)題簡(jiǎn)單方便，特別對(duì)于抽象不可見(jiàn)的問(wèn)題進(jìn)行仿真處理，可直觀地分析和理解問(wèn)題。文中對(duì)靜電場(chǎng)二維場(chǎng)混合邊界條件進(jìn)行處理并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)建模，通過(guò) MATLAB編程計(jì)算和繪圖能力，準(zhǔn)確地描繪出等勢(shì)線分布和空間電場(chǎng)強(qiáng)度分布圖。

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