基于自由面上環(huán)路對應節(jié)理無限切割的關鍵塊體搜索

石 露，李小春，白 冰

（中國科學院武漢巖土力學研究所 巖土力學與工程國家重點實驗室，武漢 430071 ）

1 引 言

自然界的巖體經歷了多次反復的地質作用，經受過變形破壞，是由一定巖性的巖塊和結構面組成的地質體[1]。結構面的存在是巖體的力學性質不同于完整巖石材料的根本原因。在組成巖體的兩大基本單元中，巖塊和結構面所處的地位不同，從強度上來比較，結構面強度遠小于巖塊的強度，為巖體中的薄弱部位，常常是控制巖體強度和變形的關鍵因素。從結構上來講，巖塊的形態(tài)、規(guī)模等特征由結構面所控制，完全取決于結構面的組合、交切與圍限的情況。因此，在巖體的結構中，通常結構面占據(jù)著更為重要的位置[2]。

關鍵塊體理論是由 Goodman和石根華[3]于1982年創(chuàng)立，具有完善的理論體系，包括有限性定理和可移動性定理，目前在分析地下硐室、邊坡和基礎穩(wěn)定性中得到廣泛的應用。塊體理論創(chuàng)立之初即尋找工程在自重條件下的不穩(wěn)定的關鍵塊體，并假定結構面無限大。鑒于工程中，除層面或斷層在研究區(qū)域內可視為無限平面，多數(shù)遍布節(jié)理均是有限長的，由此后續(xù)發(fā)展了基于三維隨機網絡的巖體關鍵塊體搜索[4－6]，可對塊體的形態(tài)、大小及空間分布特征等進行統(tǒng)計分析。目前，塊體理論已發(fā)展成全空間內的塊體識別[7－10]，不僅可用于關鍵塊體分析，也可用于三維巖體不連續(xù)變形分析。

雖然關鍵塊體理論在巖質邊坡、硐室的穩(wěn)定性評價中起到重要的作用，但目前尚無通用軟件、程序實現(xiàn)困難以及節(jié)理眾多造成的程序運行緩慢，嚴重阻礙該方法的進一步普及。

基于區(qū)域三維隨機節(jié)理網絡的關鍵塊體搜索方法主要有3種：

（1）基于組成自由面上閉合環(huán)路節(jié)理的圍交判斷的關鍵塊體搜索[2]；

（2）基于有向性和封閉性原理，根據(jù)節(jié)理上的閉合回路進行全空間內的塊體拓撲搜索[8－9]；

（3）基于節(jié)理區(qū)域無限切割以及子塊體拼裝的全空間塊體搜索[10]。

上述方法中，方法（1）完全基于關鍵塊體識別出發(fā)，認為關鍵塊體的圍閉節(jié)理必然在自由面上形成閉合環(huán)路，而后根據(jù)組成閉合環(huán)路節(jié)理的交切判斷是否形成塊體，但塊體表面較多時，節(jié)理的空間交切非常復雜，且不能適應復雜的研究區(qū)域；方法（2）和（3）均能夠勝任全空間的塊體識別，且算法本身具有非常好的健壯性，能夠研究復雜的區(qū)域以及實現(xiàn)凹面體的識別，而方法（3）完全由節(jié)理切割凸形子塊體，非常易于編程實現(xiàn)。但全空間上的塊體識別無疑需要龐大的計算量。此外，全空間搜索算法也不易根據(jù)關鍵塊體搜索特點、工程特點對搜索過程進行適當簡化，避免極少數(shù)偶然出現(xiàn)的塊體所帶來巨大的計算量。

本文首先采用方法（1）的閉合環(huán)路搜索，然后根據(jù)方法（3）利用環(huán)路組成節(jié)理及相關后緣節(jié)理進行空間無限切割再拼裝來識別該環(huán)路是否對應關鍵塊體，方法針對性強，能夠很好地適應人為規(guī)定的判別條件，如只搜索楔形體以及有無后緣切割等，且能夠實現(xiàn)凹面體關鍵塊體的搜索，此外也繼承了方法（3）編程實現(xiàn)簡單的特點。

2 主要實現(xiàn)過程

首先對本文的關鍵塊體搜索方法的基本步驟介紹如下：

（1）將研究區(qū)域劃分成凸形區(qū)域組合，如圖 1所示的多平臺邊坡和弧頂型硐室，這樣節(jié)理的切割完全轉化成平面切割凸形面和體的計算幾何問題，避免凹形區(qū)域切割帶來的麻煩。

（2）根據(jù)現(xiàn)場實測統(tǒng)計獲得的結構面產狀、長度與間距的統(tǒng)計特征，采用計算機偽隨機生成三維結構面網絡，并假定結構面為圓盤狀；確定的結構面如 III級以上的結構面可根據(jù)其實際空間形態(tài)添置進去。此外，三維結構面中心在區(qū)域中的生成是采用文獻[2]提出的歸一化方法，可以避免常規(guī)均勻分布帶來的節(jié)理間距不呈指數(shù)分布的情況。

（3）將一個環(huán)路的組成節(jié)理作為無限平面切割研究區(qū)域，判斷該環(huán)路對應的空間多面體的每個面是否真正存在，如不存在再進行相關的后緣節(jié)理切割。如果是非凸的環(huán)路，或者研究區(qū)域非凸還需要進行塊體的拼裝，如圖2所示的一個多平臺邊坡，其中一塊體跨平臺，切割后需要進行拼裝得到最終塊體。

（4）最后，對于第（3）步找到的塊體，計算出體積與滑動方向。對于單面滑動和雙面滑動計算其安全系數(shù)[11]，如果安全系數(shù)小于1則此塊體即為關鍵塊體，而對于墜落式塊體則直接判定為關鍵塊體。

具體的流程如圖3所示。接下來將對關鍵塊體實現(xiàn)過程中的閉合環(huán)路搜索和節(jié)理無限切割這兩個關鍵環(huán)節(jié)進行詳細闡述。

圖1 研究區(qū)域的凸形分解Fig.1 Convex decomposition of study region

圖2 非凸塊體的拼裝Fig.2 Assembling of non-convex blocks

圖3 關鍵塊體識別流程Fig.3 Flowchart of key block identification

3 閉合環(huán)路的搜索

正如前文所述，任一個可滑動的塊體，肯定對應著自由面上跡線圍成的一個閉合環(huán)路，且閉合環(huán)路的形狀也基本上決定了關鍵塊體的形狀。另外，根據(jù)實際工程情況，如若只考慮重力作用，可根據(jù)環(huán)路最低點以及與該點共棱的塊體內部點的高低位置關系，首先排除一些不能滑出的塊體，也可以非常方便地根據(jù)工程經驗對搜索過程作必要的簡化，如工程上經常搜索的楔形體對應的環(huán)路為三角形。因此，搜索塊體之前則需要找到自由面上的閉合環(huán)路。一般情況下，對于面積較小的環(huán)路可不做工程考慮。下面則重點介紹閉合環(huán)路的篩選過程。

3.1 無效節(jié)理的剔除

對于在自由面上可能構成閉合環(huán)路的跡線，必須與兩個或兩個以上的跡線包括自由邊界（如邊坡平臺的眉線）相交，這是一個必要條件，否則該跡線肯定不能構成閉合回路，顯然應被剔除在該閉合環(huán)路的第1類節(jié)理集合中，該過程即為文獻[6]所述的“砍樹”（tree cut）。上述過程是個循環(huán)過程，如圖4所示。圖4(a)為自由面的初始跡線，可以看出與跡線1和2相交的跡線數(shù)目分別為0和1，不具備構成閉合環(huán)路的必要條件，因此，應當被剔除，而當跡線2被剔除后，與跡線3相交的跡線數(shù)目則降為了1條，同樣也需要剔除，依次循環(huán)下去，直至所有的跡線都有兩條或兩條以上相交的跡線而終止，最終如圖圖4(b)所示。以上過程，前提是必須已知各跡線間的相交關系。

圖4 無效跡線剔除示意圖Fig.4 Schematic diagram of rejecting invalid traces

3.2 閉合環(huán)路的搜索

由于節(jié)理數(shù)目眾多，不可能無限制地生成復雜的閉合環(huán)路，在搜索過程中構成閉合環(huán)路的跡線數(shù)目需要根據(jù)工程經驗以及實際情況設一個上限，以降低問題的復雜性。事實上，根據(jù)大量的工程實踐，邊坡的關鍵塊體多以四面體的楔形體為主，即三角形的閉合環(huán)路，而洞室圍巖的可動塊體多為四面體、五面體或六面體，有時也會有七面體，但多于七面的可能性較小[2]。

對于邊數(shù)較少的閉合環(huán)路搜索比較容易實現(xiàn)，例如與一跡線相交的兩條跡線如果也相交的話，則可形成封閉的三角形環(huán)路，而如果此兩條跡線有一個共同的相交跡線，則可形成一個封閉的四邊形回路。然而，隨著環(huán)路邊數(shù)的增加，以上這種尋找閉合環(huán)路的編程思路則較難實現(xiàn)。為此，需要一個通用的環(huán)路搜索方法。采用邏輯矩陣（元素只能存儲0和1，分別代表不相交與相交）表示跡線相交的信息，是一種圖的存儲結構，如圖5所示的跡線相交圖，其相交信息A見式（1）。

圖5 跡線示意圖Fig.5 Schematic diagram of traces

為了能夠順利進行閉合環(huán)路搜索，還需設計一個堆棧管理數(shù)據(jù)進出，其基本的規(guī)則就是越晚得到的數(shù)據(jù)越早輸出[12]，堆棧的目的則是存儲邏輯矩陣的元素的位置信息，該堆棧的兩個基本函數(shù)為壓入（PUSH）和彈出（POP）函數(shù)，另外還有重復檢測函數(shù)以防止搜索過程中原路返回的現(xiàn)象發(fā)生。環(huán)路搜索的程序流程見圖6，圖中R表示堆棧中存儲行信息的向量，N為堆棧中數(shù)據(jù)的組數(shù)，從廣義上說，此屬于圖遍歷方法中的深度優(yōu)先搜索方法。假定搜索閉合環(huán)路邊數(shù)上限為m，依次從一對角元素(i,i)開始，將該對角元素位置壓入堆棧中形成初始堆棧，而后進行條件循環(huán)。在每次循環(huán)中彈出一個位置數(shù)據(jù) (j0,k0)，如果 j0=i且 A(j0,k0)=1那么堆棧中行位置元素加上i即形成一個環(huán)路。接下來，找到該位置同列中的下一個非0元素位置 (j1,k0)，將這一數(shù)據(jù)壓入到堆棧中，判斷 j1和堆棧中數(shù)據(jù)的重復性，如果不重復且堆棧個數(shù)據(jù)未數(shù)達到m-1，壓入(i,j1)，如果達到m-1，則不壓入(i,j1)，但如果A(i,j1)= 1，同樣也形成一個閉合環(huán)路。之后，繼續(xù)進行重復彈棧操作。當棧中元素為空時，壓入對角元素(i+1,i+1)，如此直至對角元素循環(huán)結束。

圖5所示的跡線相交圖，經過上述的算法可以得到的閉合環(huán)路有[2,4,1]、[2,4,5,3,1]、[2,5,3,1]、[2,5,4,1]、[3,5,2,4,1]、[3,5,4,1]和[4,5,2]這 7 個結果，這其中[2,5,4,1]這種交叉型的互連不能夠成閉合環(huán)路需要對其排除。一般情況下，研究塊體的閉合環(huán)路為凸性。否則造成其安全系數(shù)難以求解，即使如圖2(d)所示的非凸塊體，其自由面上的閉合環(huán)路仍為凸的。因此，根據(jù)環(huán)路的對應交點是否均在每個環(huán)路節(jié)理的同側可排除掉交叉型和非凸性的回路，即排除了[2,5,4,1]和[3,5,2,4,1]，從而剩下 5個閉合回路。

圖6 跡線閉合回路搜索流程圖Fig.6 Flowchart of searching closed loop

4 基于節(jié)理無限切割的關鍵塊體識別

已知了自由面上的閉合環(huán)路，則以閉合環(huán)路為單位進行關鍵塊體搜索。

4.1 空間多面體的數(shù)據(jù)結構

如圖2所示，對于一個閉合回路，確定其可能形成的最大塊體，在該過程中必須有規(guī)則的數(shù)據(jù)鏈表和拓撲意義上的數(shù)據(jù)結構。一個完整的多面體結構為一樹狀的結構（如圖7所示），其層次為體-面-環(huán)-棱-點，除點含有坐標表示幾何信息外，其余均為拓撲信息。

圖7 多面體的邏輯表示Fig.7 Logic representation of polyhedron

多面體的存儲采用類半邊數(shù)據(jù)結構[13]，但不使用“半邊”層，而是在環(huán)到邊的拓撲信息中采用一個邏輯數(shù)記錄該邊棱的方向（如圖8所示），共有5個雙向的鏈表來依次表示體、面、環(huán)、邊以及點這5層幾何或拓撲信息，對于任一層上的某節(jié)點，均能通過指針訪問其上下層拓撲關系，也可以訪問該層內其前一個與后一個指針，如采用FORTRAN95定義環(huán)（LOOP）結構體如下

TYPE :: loop_type

integer :: id

type(includeE_type),pointer :: includeE

type(face_type),pointer :: belongF_1 !面指針

type(face_type),pointer :: belongF_2 !面指針

type(loop_type),pointer :: prev

type(loop_type),pointer :: next

END TYPE loop_type

這其中有

TYPE :: includeE_type

type(edge_type),pointer :: edge !邊指針

logical :: dir !邊方向

type(includeE_type),pointer :: prev

type(includeE_type),pointer :: next

END TYPE includeE_type

可以看出，一個環(huán)節(jié)點即含有了環(huán)到邊的拓撲信息，亦含有環(huán)屬于面的拓撲信息，其他各層節(jié)點亦是如此。另外，includeF、includeL和includeE分別表示體、面和環(huán)的組成，亦是一個雙向鏈表，includeF節(jié)點包含著指向面的指針和面的外法向信息；includeL節(jié)點則是指向環(huán)的指針，且該鏈表的頭節(jié)點定為“外部”邊界，其余節(jié)點均為面上的“孔”；includeE的節(jié)點如上FORTRAN代碼定義所示，包括指向邊的指針和判別邊方向的邏輯變量。

圖8 多面體的層次結構與數(shù)據(jù)結構Fig.8 Hierarchy and data structure of polyhedron

有了上述完整地表征多面體幾何和拓撲信息的數(shù)據(jù)結構，則很方便進行下面的切割與拼裝的計算幾何操作。

4.2 塊體的切割與拼裝

規(guī)定空間內平面的正法向為：當平面法向與 z軸夾角小于5°時，該法向與 z軸正方向夾角為銳角；否則，當其與x軸夾角小于45°，那么該法向與x軸正方向夾角為銳角，如仍不成立，則以與y軸正方向夾角為銳角的方向為正。已知空間平面P方程為

式中：(a,b,c)為該平面的單位正法向向量；d為系數(shù)。對于任一點 v(X,Y,Z)，則點與平面的位置關系L為

式中：ε為個小正數(shù)。L=0、1和-1分別表示在面上、面的正側和負側。

若邊、平面以及多面體的所有頂點和平面的位置關系中既存在1亦存在-1，則很容易判斷其與該平面相交。圖9為多面體與節(jié)理的相交示意圖，由式（3）可以判斷出節(jié)理B與C所在的平面肯定與多面體不相交。此外，對于節(jié)理D與多面體是沒有任何關系的，則應避免節(jié)理切割該塊體，但當塊體數(shù)量比較龐大時，如果嚴格地判斷塊體和節(jié)理是否交切的自身計算量亦會非常大，因此，需要較為經濟的方法判斷兩者是否呈切割關系。文獻[10]通過節(jié)理與多面體的范圍箱是否有重疊來決定兩者是否進行相交計算。范圍箱指的是一個長、寬、高分別平行于空間坐標軸的長方體，使節(jié)理或多面體恰好落在該長方體內。對于多面體其范圍箱可根據(jù)所有頂點的坐標最大、最小值求出；而對于節(jié)理則需根據(jù)其在各面上的投影求得。有了范圍箱后，只需進行大小判斷即可斷定范圍箱是否有重疊，從而決定是否進行平面與多面體的切割計算。有了該步判斷，圖9的節(jié)理D則不會進行切割計算。

圖9 多面體的與節(jié)理交切關系示意圖Fig.9 Schematic diagram of cutting relationship between polyhedron and joints

下面分步驟介紹平面切割塊體：

（1）平面切割邊。該子程序將返回一個頂點指針。當邊與平面相交時，在頂點鏈表的尾部增加一個節(jié)點，并更新邊到環(huán)以及點到邊的拓撲信息，將返回指針指向該新頂點；若平面恰與邊交與邊的終端點，無需更新拓撲信息，直接返回終端點指針；若以上都不滿足則返回空指針。

（2）平面切割環(huán)。該子程序返回一個邊的指針，當環(huán)的某一邊在平面上時，直接返回該邊的指針。圖10為一平面切割環(huán)E12→E23→E34→E41，對環(huán)所有的邊進行第（1）步操作后，環(huán)變成E15→E52→E23→E36→E64→E41，并根據(jù)第（1）步返回的兩個頂點指針在邊鏈表尾部生成一個新邊 E56（或E65）。接下來，配置兩個環(huán)指針，對環(huán)所有的邊進行循環(huán)，并以一邏輯變量為指示，若為真將該邊原封不動地放入環(huán)一，反之則放入環(huán)二，若當前邊的終點為5或6的一點時，將對應E56或E65放入當前環(huán)的邊鏈表中，并對邏輯變量取反，根據(jù)該循環(huán)可得到兩個環(huán) E15→E56→E64→E41和 E52→E23→E36→E65，用兩個新環(huán)中一個覆蓋原環(huán)，另一個添加到環(huán)鏈的尾部，最后再將新邊E56作為指針返回。

圖10 平面切割環(huán)Fig.10 Loops cutting by plane

（3）平面切割體。該程序返回一個面的指針。圖 11是一體被平面切割示例，首先是體的每個面（環(huán)）進行第（2）步操作后，根據(jù)返回的所有邊指針，生成一個新的環(huán)和面；配置兩個體指針，體一和體二分面位于平面的正負方向，將所有的面按照與平面的位置關系分別放置至兩個體中，并保持外法向不變，再將新面添加到兩個體中，其外法向分別對應著該平面的負法向和正法向；最后將平面正方向的體替換原體，而將負方向上的體放置在體鏈表的尾部。

圖11 平面切割體Fig.11 Solids cutting by plane

有了切割后的子塊體，可以將節(jié)理恢復成圓盤狀，從而判斷子塊體是否有效，如該子塊體含有研究區(qū)域邊界面，則同樣也是無效的。

首先，由形成自由環(huán)路的節(jié)理切割研究區(qū)域，含有閉合環(huán)路的塊體則稱為主塊體。若主塊體是有效的，則無需進行后緣切割；否則，則采用與閉合環(huán)路相交的第2類節(jié)理（與第1類節(jié)理相交的節(jié)理）對主塊體進行切割，通常為了減少復雜程度，不考慮第3類節(jié)理（與第2類節(jié)理相交的節(jié)理）。有了一系列將主塊體切割后的子塊體，則可進行子塊體的拼裝。

文獻[10]給出了通用的合并方法，拼裝的基礎是共面刪除邊、共邊刪除點的拓撲信息改變過程，在此不做過多贅述。主塊體被切割后的子塊體進行拼裝后，若不含有研究區(qū)域邊界，則此塊體則為該閉合環(huán)路對應的塊體。

5 算 例

本節(jié)以某掛幫礦開采的礦柱為例搜索一頂柱的關鍵塊體。

該區(qū)域的節(jié)理層面信息如表1所示，此外區(qū)域的層面產狀為345°∠73°，層面的間距為1.21 m。頂柱的尺寸為15 m×40 m×12 m，頂柱的幾何模型及三維節(jié)理網絡如圖12所示。由于頂柱的塊體基本為墜落式，因此，不需要根據(jù)摩擦角和凝聚力計算其安全系數(shù)。設H為塊體的頂點距自由面的最大距離，根據(jù)上述關鍵塊體搜索過程獲得H＞0.2 m關鍵塊體如圖13所示。

該頂柱的關鍵塊體以四面體（106個）為主，五面體（31個）次之，亦有少量的六面體（20個），無七面體，主要是節(jié)理1、2、4和層面相交生成四面體與五面體，節(jié)理3近水平從而對塊體起到后緣切割作用。頂柱的關鍵塊體最大體積為2.739 m3，開采過程可表現(xiàn)出小規(guī)模的塌方。

表1 節(jié)理產狀統(tǒng)計Table1 Statistical parameters of joint occurrence

圖12 頂柱的三維節(jié)理網絡Fig.12 3D joint network in the region of top pillar

圖13 頂柱關鍵塊體的分布圖Fig.13 Distribution of key blocks in top pillar

6 結 論

本文針對關鍵塊體搜索的特點，將研究區(qū)域分解成凸子區(qū)域，搜索自由面上的閉合環(huán)路，然后利用環(huán)路組成節(jié)理及后緣相交節(jié)理進行無限切割和拼裝來識別該環(huán)路是否對應關鍵塊體，得到如下結論：

（1）將自由面節(jié)理跡線相交信息用圖表示，利用堆棧進行圖的遍歷操作，可以適應任意邊數(shù)目的閉合環(huán)路搜索。

（2）采用類半邊數(shù)據(jù)結構存儲空間多面體，除點鏈含有幾何信息外，其余均為拓撲信息，拓撲結構明確，在節(jié)理平面切割邊、環(huán)和面時能夠自由的更新切割后的拓撲關系。

（3）結合自由面上的閉合環(huán)路搜索與節(jié)理平面無限切割的關鍵塊體搜索方法，避免了采用環(huán)路節(jié)理圍閉在節(jié)理較多時復雜的判斷以及全空間塊體搜索塊體龐大的計算量，方法針對性強，較好地適應人為規(guī)定的判別條件，可使關鍵塊體搜索達到效率與效果的平衡。

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