a尺度多小波正交尺度函數(shù)及其mallat算法

張臣國，丁昌華

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，成都610054)

0 引言

隨著小波分析的發(fā)展日益成熟，其應(yīng)用也越來越廣泛，它的理論與算法也研究得越來越深入.由于2尺度小波的構(gòu)造與mallat分解已成熟［1］，如出現(xiàn)了由I.Daubcchies構(gòu)造的一系列正交小波，而用a尺度小波分解信號可以得到更好的分辨率，靈活性更大，所以a尺度小波理論的研究也越來越重要，特別是正交多小波同時具有正交、對稱、緊支等特點，研究a尺度正交多小波更具有重要意義［2-5］.1996年Chui和Lian利用對稱性給出了2重多尺度函數(shù)和多小波，楊守志等人給出了幾種多小波的構(gòu)造方法.正交多尺度函數(shù)的構(gòu)造方法有很多，此處基于一特殊的尺度函數(shù)，構(gòu)造出正交多尺度函數(shù)，對正交尺度函數(shù)的構(gòu)造有一定的價值.a尺度多小波Mallat算法對信號的分解和去噪等分辨率更高，去噪效果更好，具有一定的研究意義.

1 a尺度多分辨分析

定義1［1］Hilbert空間L2(R)中的一列閉子空間{Vj}j∈Z稱為一個a尺度(a＞1，a∈N+)正交多重多分辨分析，若滿足:

1)Vj?Vj+1(j∈Z).

2)f(t)∈Vj?f(at)∈Vj+1.

4)存在 r個函數(shù) φ1(t)，φ2(t)，…，φr(t)，使{φυ(t－ k)，k∈Z，1≤υ≤r}為 V0的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，其中φ(t)=(φ1(t)，φ2(t)，…，φr(t))T為 a 尺度正交多分辨分析的尺度函數(shù)，?k，j∈Z.

定義Wj，j∈Z為Vj在 Vj+1中的正交補，即 Vj+1=Vj+Wj，由小波分析理論可知存在 ψ(t)=(ψ1(t)，ψ2(t)，…，ψ(a－1)r(t))T，ψi(t)，i=1，2，…，(a －1)r，它們的伸縮與平移構(gòu)成 W0的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，稱 ψ(t)為正交多小波.所以:1≤υ≤(a －1)r，k∈Z］，j∈Z.于是 φ(t)，ψ(t)滿足兩尺度關(guān)系:

定義 2［2］稱 φ(t)=(φ1(t)，φ2(t)，…，φr(t))T與 φ(t)=(φ1(t)，φ2(t)，…，φr(t))T為 a 尺度 r重正交多尺度函數(shù)，若滿足［φ(t)，φ(t－n)］=δ0nIr，n∈Z，ψ(t)=(ψ1(t)，ψ2(t)，…，ψ(a－1)r)T與ψ(t)=(ψ1(t)，ψ2(t)，…，ψ(a－1)r)T為相應(yīng)于 φ(t)的正交小波函數(shù)，若滿足:

其中0 為 r×(a－1)r階零矩陣，I(a－1)t為(a－1)r階單位陣.

2 多小波正交尺度函數(shù)構(gòu)造

引理 1［1，6，7］設(shè)φ =(φ1，φ2，…，φr)T，φ1，φ2，…，φr∈L(R)2，則{φl(x － k):1≤l≤r，k∈Z}是一個正交族的充分必要條件是

引理2 設(shè)φ是a尺度r重正交尺度函數(shù)，P(z)為兩尺度符號ωj，j=1，2，…，a為za－1=0的a個根，則，等價于兩尺度矩陣序列滿足

證明 由引理1和兩尺度方程可得

由命題1及引理2就可以得到命題2，構(gòu)造一種較特殊的正交尺度函數(shù).

3 a尺度正交多小波的mallat算法

定義投影算子:

命題3 設(shè)投影算子Pj，Qj的定義如式(2)(3)，則有下面的mallat快速算法.

［1］關(guān)履泰.小波方法與應(yīng)用［M］.北京:高等教育出版社，2007

［2］BAUSSARD A，NICOLIER F，TRUCHETET F.Rational multiresolution analysis and fast wavelet transform:application to wavelet shrinkage denosing［J］.Signal Processing，2004，84:1735-1747

［3］BRUNI V，VITULANO D.Combined image compression and denoising using wavelets［J］.Signal Processing:Image Communication，2007，22:86-101

［4］CUI L H，CHENG ZH X.Algorithm of Construction for Orthogonal Multiwavelets with Short Supports from a Given Multiscaling Function［J］.Journal of Xian jiaotong University，2003，37(2):211-214

［5］LENG J S，F(xiàn)U Y D，ZHONG SH M.Algorithms of Decomposition and Reconstruction with Biorthogonal Multiwavelet Packets with Scale［J］.Journal of University of Electronic Science and Technology of China，2006，35(5):851-853

［6］程正興，楊守志，馮曉霞.小波分析的理論、算法、進展和應(yīng)用［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2007

［7］楊守志.a尺度正交多尺度函數(shù)和正交多小波［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報，2005，25A(6):38-40

［8］冷勁松.α尺度多重雙正交小波包［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2001，18(s1):125-130

［9］FENG A，ZHANG X，DENG C X.Construction of Compactly Supported Symmetric Orthonormal Multi-wavelet［J］.Journal of Harbin University of Science and Technology，2009，14(3):75-78

［10］LIAN J .Orthog onal criteria for multiscaling functions［J］.Appl Comp Ham Anal，1998(5):277-311