點擴散函數(shù)高斯擬合估計與遙感圖像恢復

楊利紅，趙變紅，張星祥，任建岳*

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春130033;2.中國科學院 研究生院，北京100039)

1 引 言

圖像恢復的目的是從被退化函數(shù)模糊和被噪聲污染的圖像中盡可能地恢復出真實的場景。經(jīng)典的圖像恢復方法有維納濾波、約束最小二乘法濾波、Lucy-Richardson 算法等，這些方法均需要知道退化函數(shù)的類型和參數(shù)才能取得一定的恢復效果［1-3］。由于航天遙感相機運行的空間環(huán)境特殊，圖像獲取的大氣條件多變，因此，往往無法獲得準確的退化函數(shù)，只能利用成像系統(tǒng)的參數(shù)或獲取的圖像對系統(tǒng)退化函數(shù)進行辨識，然后，根據(jù)估計出的退化函數(shù)，選擇合適的算法對圖像進行恢復。

隨著航天科技的發(fā)展，遙感圖像恢復取得了很多成果，退化函數(shù)估計是其中的一個重要研究方向。航天遙感相機成像過程中的退化函數(shù)為點擴散函數(shù)( PSF) ，PSF 傅里葉變換的歸一化模值為調制傳遞函數(shù)( MTF) 。顧行發(fā)等人提出了模擬理想靶標檢測衛(wèi)星在軌MTF，根據(jù)45°方向的MTF 數(shù)據(jù)建立插值二維MTF 矩陣來對圖像進行恢復［4］，此方法需要人工鋪設模擬點光源的靶標，適用性不強;陳強等人利用實驗室測定的相機系統(tǒng)MTF 值來近似遙感圖像的MTF 值，利用指數(shù)調節(jié)MTF 曲線來進行圖像恢復［5］，忽略了衛(wèi)星實際運行環(huán)境和成像條件對MTF 的影響;張朋等人利用系統(tǒng)模型法估計MTF，此種方法沒有考慮大氣的影響，適用于獲取的圖像沒有特征地物的情況。上述方法通過估算MTF 在頻域內對遙感圖像進行恢復，需要將MTF 對應的成像系統(tǒng)的空間頻率轉換為傅里葉頻率，目前還沒有定論，使用受到一定的限制。

本文直接利用圖像中的特征地物估計成像系統(tǒng)的PSF，通過高斯擬合對PSF 進行調整，使之更符合實際成像系統(tǒng)的情況。以擬合后的PSF 作為參數(shù)，使用自適應維納濾波進行圖像恢復。在圖像恢復前，先進行去噪預處理，去除遙感圖像上的周期條帶噪聲，增強圖像恢復的效果。

2 圖像退化與恢復

2.1 圖像退化模型

圖像的退化過程可以被模型化為一個退化函數(shù)和一個加性噪聲項。原始地物的圖像經(jīng)過成像系統(tǒng)和大氣發(fā)生了退化，在圖像的獲取和傳輸過程中又引入了大量噪聲，從而使最終獲得的圖像是降質的圖像，存在著不同程度的模糊。

若退化函數(shù)是線性空間不變的，則圖像退化過程在空間域可表示為原圖像f(x，y) 和退化函數(shù)h(x，y) 的卷積并疊加噪聲n(x，y) ，形成退化圖像g(x，y) ，具體形式為:

由卷積定理可知，空間域兩個函數(shù)的卷積在頻率域中表示為它們傅里葉變換的乘積，因此，退化過程可在頻域表示為:

式中:F(u，v) ，H(u，v) ，N(u，v) ，G(u，v) 分別為f(x，y) ，h(x，y) ，n(x，y) ，g(x，y) 的二維傅里葉變換。

2.2 圖像恢復理論

圖像恢復用于減輕或消除圖像獲取過程中發(fā)生的退化。如果知道退化函數(shù)和噪聲的相關知識，即可以采用與退化相反的過程恢復退化圖像，包括去噪和去卷積兩個過程。在頻率域中可表示為:

噪聲是一個隨機分量，很難確切估計，圖像恢復會放大圖像中的噪聲，因此，圖像恢復要去除噪聲，消除噪聲對它的副作用。去噪既可以在空間域也可以在頻率域中進行。常用的方法是根據(jù)噪聲的特點，選擇合適的濾波器濾除噪聲。卷積運算在頻率域可轉換為乘法運算，其逆運算在頻域中為除法運算，因此，去卷積通常在頻域中進行。最后，對得到的結果F(u，v) 進行傅里葉反變換即可得到恢復圖像。

3 遙感圖像恢復

3.1 去噪預處理

圖像恢復主要是提升圖像的高頻部分，增強圖像的邊緣細節(jié)，而噪聲在圖像中也表現(xiàn)為高頻成分，恢復圖像的同時會使噪聲增大。因此，在圖像恢復之前進行去噪處理，可以避免噪聲放大淹沒圖像細節(jié)。時間延遲積分( TDI) CCD 相機圖像附加的噪聲主要是條帶噪聲，表現(xiàn)為圖像中灰度變化緩慢的明暗相間豎條紋分布。本文的圖像恢復在頻域中進行，因此，選擇在頻域進行圖像去噪處理。對圖像進行傅里葉變換時，條帶噪聲在頻譜圖上表現(xiàn)為頻域橫軸上按一定規(guī)律分布的亮點。采用頻率域陷波濾波器來消除圖像中的條帶噪聲［7-8］，過濾掉傅里葉頻譜中對應條帶噪聲的高頻成分，然后，進行傅里葉反變換即可得到去噪后的圖像。圖1( a) 是截取的部分遙感圖像，分布有明顯的垂直條帶噪聲，其對應的頻譜圖為圖2( a) ;圖1( b) 是通過陷波濾波器進行去噪處理后的圖像，其對應的頻譜圖為圖2( b) 。通過兩圖對比可見，本文選取的去噪方法基本除去了圖像的條帶噪聲，有效地改善了圖像質量。

圖1 圖像條帶噪聲去除Fig.1 Removing strip noise of images

圖2 圖像頻譜圖Fig.2 Fourier spectrum of the images

3．2 PSF 估計與擬合

目前主要用3 種方法估計系統(tǒng)的PSF:

(1) 使用帶有特征地物的圖像( 例如飛機跑道、橋梁或人工靶標圖像) 估計PSF;

(2) 高分辨率圖像對比法，需要衛(wèi)星上載有分辨率不同的多種成像儀;

(3) 根據(jù)系統(tǒng)設計標準和系統(tǒng)分析模型［9］推算PSF。

本文采用第一種方法，利用刀刃法估計成像系統(tǒng)的PSF。

由于獲取遙感圖像的條件復雜，直接估計得到的PSF 誤差很大，本文采用高斯擬合對直接估計的PSF 進行校正，使其更符合實際的成像系統(tǒng)。

刀刃法是選取圖像中具有一定灰度差異的相鄰兩塊地物邊界作為刀刃邊緣圖像，兩塊邊界的灰度變化要均勻，并與軌道方向具有一定的傾角［10］，原理如圖3 所示。詳細步驟如下:

(1) 從圖像中摳取具有刀刃邊緣特征的子圖像，對子圖像每一行提取邊緣分界點;

(2) 采用最小均方誤差線性擬合邊緣分界點，得到邊緣分界線，并以分界線與每一行的交點作為新的分界點;

(3) 計算子圖像每一行上的其他像素相對于分界點的偏移量，并以0.05 的分辨率( 每兩個數(shù)據(jù)中插入20 個數(shù)據(jù)) 對偏移量數(shù)據(jù)進行3 次樣條插值;

(4) 插值后所有行的偏移量數(shù)據(jù)取平均，得到子圖像的邊緣擴散函數(shù)( ESF) ;

(5) 對邊緣擴散函數(shù)微分得到線擴散函數(shù)( LSF) 。

對于推掃式TDI-CCD 相機，沿軌方向和跨軌方向的不對稱性很小，成像系統(tǒng)PSF 可以分解為沿軌和跨軌方向的兩個一維分量，分別對應于沿軌和跨軌方向的LSF，用沿軌方向的LSF 列向量乘以跨軌方向的LSF 行向量，得到二維PSF。

圖3 刀刃法原理圖Fig.3 Schematic diagram of knife-edge method

成像系統(tǒng)的PSF 趨向于高斯型，可以表示為:

式中，σx，σy為標準差。PSF 在沿軌和跨軌兩個方向是可分的，即:

從圖3 中LSF 的形狀可見它近似為高斯型［11］，但并不完全符合高斯表達式。為了減少PSF 估計的誤差，對得到的LSF 曲線進行高斯擬合，使用擬合后的數(shù)據(jù)形成PSF 離散矩陣。

3.3 圖像恢復

遙感圖像具有數(shù)據(jù)量龐大的特點，對其進行恢復的時間代價相對較高。因此，估計出成像系統(tǒng)的PSF 后，選擇維納濾波進行圖像恢復。維納濾波性能好，沒有迭代過程，比Lucy-Richardson算法和正則濾波運算量少，能夠以很低的計算代價獲得較好的復原效果，其頻域表達式可簡化為:

式中:H(u，v) 為高斯擬合后PSF 的二維傅里葉變換，K為恢復過程中的規(guī)整化值。

維納濾波采用固定的規(guī)整化值對整個圖像進行恢復。較小的規(guī)整化值能突出圖像的邊緣特征，但在圖像的灰度連續(xù)區(qū)域中會產(chǎn)生寄生紋波，影響圖像恢復的效果。因此，這里對維納濾波進行了改進，采用自適應維納濾波算法進行圖像恢復。自適應維納濾波算法采用Sobel 算子對圖像進行邊緣檢測，把圖像劃分為邊緣特征區(qū)域和灰度連續(xù)區(qū)域，在邊緣特征區(qū)域使用較小的K值，突出圖像細節(jié)的恢復; 在灰度連續(xù)區(qū)域用較大的K值，避免產(chǎn)生寄生紋波。

遙感圖像中包含條帶噪聲，在圖像恢復之前進行了有效的去噪處理。通過選取圖像中具有刀刃邊緣特征的地物估計擬合PSF，然后，分別采用維納濾波和自適應維納濾波對整幅圖像進行了恢復處理。圖4( a) 是截取了遙感圖像中的一個鐵塔頂部，其上分布有垂直的條帶噪聲。圖4( b) 是應用維納濾波對去噪處理后的圖像進行恢復處理的結果，由于進行了去噪預處理，條帶噪聲的影響非常弱，頻域恢復中沒有受到增強噪聲的影響。可見去噪處理消除了圖像中的高頻條帶噪聲，有效地增強了圖像恢復的效果。由于維納濾波固有的不足，圖4( b) 相對于圖4( a) 雖然有一定效果，但由于存在寄生紋波，整個圖像的清晰度還不夠。圖4( c) 是采用自適應維納濾波算法進行恢復的結果，由于對不同的圖像區(qū)域采取不同的規(guī)整化值進行恢復，因此，恢復后圖像的細節(jié)更加突出，圖像清晰度得到增強。圖5( a) 是具有復雜地形的遙感圖像，圖5( b) 是先去除條帶噪聲，然后采用自適應維納濾波算法進行恢復的結果。原圖中明顯的條帶噪聲經(jīng)過去噪后基本消除，沒有影響最終恢復圖像的效果。

圖4 遙感圖像去噪與恢復Fig.4 Denoising and restoration of remote sensing images

圖5 復雜圖像自適應維納濾波恢復Fig.5 Adaptive Wiener filtering restoration for complex images

4 遙感圖像恢復效果評價

4.1 圖像質量評價標準

除了在主觀上通過人眼觀察評價上述遙感圖像恢復效果外，還應引入客觀評價標準，對圖像的恢復效果進行定量分析。圖像恢復消除了圖像的模糊現(xiàn)象，與原圖相比恢復圖像細節(jié)豐富，表現(xiàn)為相鄰像素的灰度變化較大，具有更大的梯度值，相關的圖像梯度函數(shù)可作為評價圖像恢復效果的標準，具體如下:

(1) 方差:圖像的方差大，說明圖像灰度層次較為豐富。M、N為圖像的高度和寬度，f(i，j) 為圖像某點的灰度值，u為圖像的灰度均值，u =

(2) 灰度平均梯度: 反映圖像在水平和垂直方向的灰度變化。灰度平均梯度越大，表明圖像越清晰。其中:

灰度平均梯度計算公式為:

(3) Laplacian 梯度: 反映圖像每一像素附近的灰度變化。Laplacian 梯度值越大表明圖像輪廓越鮮明，相應地圖像越清晰。其中:

4.2 圖像恢復效果評價

由圖4 可見，待處理的遙感圖像細節(jié)不清，鐵塔的支撐結構邊緣非常模糊。表1 的數(shù)據(jù)也驗證了這一點，未恢復之前的圖像各項評價標準值均比恢復后的圖像低很多。由于圖像恢復處理增強了圖像細節(jié)和邊緣特征，由表1 可見，恢復后圖像的方差和灰度平均梯度明顯增大，表明恢復后圖像包含的信息更多，圖像更清晰。結合表1，對比圖4( b) 與圖4( c) 的恢復效果可見，自適應維納濾波比直接維納濾波的恢復圖像清晰程度高，各項指標均有很大提高，采用維納濾波恢復后方差比原圖4( a) 方差增大1.866，灰度平均梯度增大1.289，Laplacian 梯度增大8.21;采用自適應維納濾波恢復后，圖4( c) 方差比原圖4( a) 方差增大4.395，灰度平均梯度增大1.799，Laplacian梯度增大10.014，說明采用自適應維納濾波算法可以獲得更好的圖像恢復效果。對圖5 所示的復雜遙感圖像，自適應維納濾波同樣取得了很好的恢復效果。由表2 可知，恢復后圖像方差比原圖方差增大20.753，灰度平均梯度增大1.766，Laplacian 梯度增大5.018。

表1 遙感圖像恢復評價Tab．1 Evaluation of remote sensing image

表2 復雜遙感圖像恢復評價Tab．2 Evaluation of complex remote sensing image

5 結 論

針對航天遙感相機成像過程中圖像退化作用引起的圖像模糊，提出了高斯擬合的PSF 估計方法，并采用自適應維納濾波進行圖像恢復?？紤]圖像恢復過程會放大噪聲，因此，在恢復之前先對圖像進行去噪預處理，采用頻率域陷波濾波器消除了遙感圖像中附加的條帶噪聲。去噪后，根據(jù)所處理遙感圖像的特點，利用圖像中的特征地物，采用刀刃法估計成像系統(tǒng)的點擴散函數(shù)PSF，為了保證PSF 估計的精度，對刀刃法得到的PSF 進行高斯擬合，將擬合后的PSF 應用到自適應維納濾波中進行圖像恢復。實驗結果表明: 去噪處理有效地消除了圖像中的條帶噪聲，自適應維納濾波比直接維納濾波取得了更好的圖像恢復效果。細節(jié)圖像經(jīng)自適應維納濾波恢復后方差比原圖方差增大4.395，灰度平均梯度增大1.799，Laplacian 梯度增大10.014; 復雜圖像經(jīng)自適應維納濾波恢復后，方差比原圖方差增大20.753，灰度平均梯度增大1.766，Laplacian 梯度增大5.018?；謴秃髨D像中的細節(jié)更清晰，特征更易識別，利于圖像的判讀和分析。

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