一種濾除衰減直流分量的改進(jìn)傅氏算法

姜 坤， 曹龍漢， 涂漢江

（1.重慶郵電大學(xué)，重慶400065；2.重慶迅馳電氣有限公司，重慶400039）

電力系統(tǒng)微機(jī)保護(hù)裝置因靈活性大、保護(hù)性能好、運(yùn)行維護(hù)方便以及可靠性高等特點(diǎn)而應(yīng)用廣泛。保護(hù)裝置通過獲取一次設(shè)備的電壓、電流及功率等實(shí)時(shí)信息及時(shí)響應(yīng)運(yùn)行過程中狀態(tài)的變化，迅速準(zhǔn)確地做出保護(hù)反應(yīng)，消除或降低故障引起的嚴(yán)重后果。因此，快速并準(zhǔn)確地獲取信息對電力系統(tǒng)微機(jī)保護(hù)起著至關(guān)重要的作用。

傳統(tǒng)的交流采樣方法主要是全波傅氏算法和半波傅氏算法。然而，在系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)，故障暫態(tài)過程中系統(tǒng)頻率可能會發(fā)生偏移，且信息含有諧波分量和衰減直流分量。由于衰減直流分量是典型的非周期分量，其頻譜為連續(xù)譜，從而與基頻分量頻譜混淆，在計(jì)算信號的基頻分量時(shí)產(chǎn)生較大的誤差［1］。

已有大量文獻(xiàn)對傅氏算法進(jìn)行改進(jìn)，以消除衰減直流分量的影響。其中基于全波傅氏算法的有：文獻(xiàn)［2］通過增加兩個(gè)采樣點(diǎn)，計(jì)算并消去直流衰減分量值；文獻(xiàn)［3］僅增加一個(gè)采樣點(diǎn)，通過兩次非遞歸消去直流衰減分量的影響；文獻(xiàn)［4］不需要增加采樣點(diǎn)且在未知衰減時(shí)間常數(shù)的情況下就可全完濾除衰減直流分量，但是每基頻周期的采樣點(diǎn)數(shù)必須為4的正整數(shù)倍；文獻(xiàn)［5］通過分析衰減直流分量在傅里葉快速算法結(jié)果的變化規(guī)律，對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正，從而消除衰減直流分量。文獻(xiàn)［6］通過傅里葉算法及其改進(jìn)算法對故障波形進(jìn)行濾波處理，但是該算法只能消除直流分量和整次諧波分量，沒有考慮非整次諧波的影響?；诎氩ǜ凳纤惴ǖ挠校何墨I(xiàn)［7］基于信號中偶次諧波得到衰減直流量傅氏變換下實(shí)虛部的關(guān)系，通過建立方程組能濾除衰減直流量和特定次偶次諧波；文獻(xiàn)［8］利用半波傅氏算法計(jì)算基波實(shí)部，用Mann－Morrison算法計(jì)算基波虛部。該算法的數(shù)據(jù)窗為半周波加一個(gè)采樣點(diǎn)，算法易于實(shí)現(xiàn)，適用于繼電保護(hù)實(shí)時(shí)動作；文獻(xiàn)［9］利用窄帶濾波算法對低頻和高次諧波有良好的抑制作用，將基于窄帶通濾波與半波傅里葉算法相結(jié)合，其濾波效果明顯優(yōu)于半波傅里葉算法。

本文在前人的研究基礎(chǔ)上，旨在通過提出一種新的濾除衰減直流分量的方法，改進(jìn)傅里葉變換。通過算例仿真，驗(yàn)證了本方法的準(zhǔn)確性。

1 全波傅氏算法的基本原理及直流分量帶來的誤差

在電力系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)，故障暫態(tài)信號包含：基波分量、諧波分量、具有不確定幅值和衰減率的衰減直流分量。

故障信號模型表示如下：

式中，an＝Ansinφn；bn＝Ancosφn；A0為衰減直流分量的初始幅值；τ為直流衰減分量的時(shí)間常數(shù)。

對于n次諧波的傅里葉變換如下：

式中，T為基頻分量的周期。

經(jīng)采樣后，連續(xù)量變?yōu)殡x散量，積分變?yōu)榍箅x散和

式中，N為一個(gè)周期T中的采樣數(shù)；k為從故障開始時(shí)的采樣點(diǎn)序號。

離散情況下有

可求得n次諧波的幅值和初相角為

若采樣信號中不含衰減直流分量，則求得的幅值和相角都是真實(shí)值，以上即為推導(dǎo)過程。但是實(shí)際中采樣信號存在衰減直流分量，利用全波傅氏算法進(jìn)行分析計(jì)算，則會產(chǎn)生較大的誤差，具體分析如下：

式中，a和b為信號中基波和各次諧波分量通過全波傅氏算法得到的實(shí)部分量和虛部分量，即理想值；δa和δb為衰減直流分量通過全波傅氏算法得到的實(shí)際值與理想值之間的偏差，即誤差值。為了提高全波傅氏算法在信號含衰減直流分量的情況下仍能具有良好的計(jì)算精度，就必須對全波傅氏算法進(jìn)行改進(jìn)，即消除δa和δb的影響。

2 全波傅氏算法的改進(jìn)

由上述推導(dǎo)可以看出，傅氏算法的基礎(chǔ)是假定輸入信號是周期函數(shù)，可以分解為整倍數(shù)頻率的分量之和，其中包括恒定的直流分量。但是實(shí)際電力系統(tǒng)中，輸入的非周期分量包含的是衰減直流分量。當(dāng)截取一個(gè)數(shù)據(jù)窗的寬度，利用衰減直流分量作為輸入信號，對其進(jìn)行頻譜分析，得到的是連續(xù)的，包含基頻分量的頻譜。如果進(jìn)一步做周期延拓，其也可分解為傅氏級數(shù)，同樣包含有基頻、倍頻以及直流分量。目前，微機(jī)保護(hù)中的電氣信號檢測算法大多也是針對周期信號設(shè)計(jì)的，它們會因衰減非周期分量的存在而產(chǎn)生相當(dāng)大的誤差。

2.1 衰減直流分量產(chǎn)生的原因與時(shí)間常數(shù)的求解

2.1.1 衰減直流分量產(chǎn)生的原因

電力系統(tǒng)中衰減直流分量產(chǎn)生的原因在于，系統(tǒng)中存在電磁慣性的電抗與電容。假設(shè)不考慮電容且系統(tǒng)在t＝0s出現(xiàn)短路故障為對稱短路，則任意一相的電流瞬時(shí)值應(yīng)該滿足以下微分方程：

這是一個(gè)一階常系數(shù)、線性非齊次常微分方程，其解的形式為

2.1.2 時(shí)間常數(shù)的求解

故障信號的模型為

式中，I0e－t／τ為衰減直流信號為基波及各次諧波信號。

對系統(tǒng)I（t）同步采樣，每周期采樣點(diǎn)數(shù)為N，采樣周期即為基波周期，20ms。將式（13）離散化后可得

根據(jù)三角函數(shù)的正交性，則有

引入N＋1這個(gè)采樣點(diǎn)，則同理可知

2.2 算法的改進(jìn)原理

目前，針對減小衰減直流分量的方法主要包括兩種：①研究不受非周期分量影響或影響較小的算法，比如最小二乘法以及小波變換法等；② 對算法進(jìn)行校正。本文利用對交流采樣序列值進(jìn)行修正，以求剔除其中所含的非周期分量，原理如下：

一個(gè)工頻周波內(nèi)采樣N＋1個(gè)點(diǎn)，采樣序列為i（0），i（1），i（2），…，i（N－1），i（N），…，則以下 等式成立：

則

這樣，消除了衰減直流分量后的新的采樣值為

3 算例分析與驗(yàn)證

為驗(yàn)證本算法對衰減直流分量的有效濾除能力，分析比較全波傅氏算法和本文算法對下述信號進(jìn)行諧波提取的結(jié)果。設(shè)暫態(tài)電流信號為

仿真時(shí)，設(shè)一個(gè)周期的采樣點(diǎn)數(shù)N＝32，改變衰減時(shí)間常數(shù)τ，圖1～圖3分別顯示了仿真后本文算法和全波傅氏算法的曲線圖，其中圖1為基波、圖2為三次諧波、圖3為五次諧波，其中紅色線代表本文算法，藍(lán)色線代表全波傅氏算法，表1記錄了各次諧波的仿真計(jì)算結(jié)果。

圖1 基波仿真分析

圖2 三次諧波仿真分析

圖3 五次諧波仿真分析

表1 各次諧波的仿真計(jì)算結(jié)果

從仿真結(jié)果來看，傳統(tǒng)的全波傅氏算法不能濾除衰減直流分量，而本文算法能較好的過濾掉衰減直流分量，但也還是有誤差的，誤差來源e－t／τ用泰勒式子展開，只取前兩項(xiàng)的值。

4 結(jié) 語

本文提出的對交流采樣序列值進(jìn)行修正的改進(jìn)傅氏算法，能有效抑制非周期直流衰減分量的影響。該方法與以往濾除非周期分量的其他方法相比，其特點(diǎn)為不針對某一特定算法，而對所有算法均適用。在微機(jī)保護(hù)中，采用本方法對采樣值進(jìn)行修正，可顯著減小非周期分量對計(jì)算的影響，并且實(shí)現(xiàn)簡單，計(jì)算量較小。通過仿真計(jì)算證實(shí)了本文方法的可行性和有效性。

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