考慮非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散的煤層氣井產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型

幸明剛 尹俊祿 趙丁楠 葉 翠

1.長(zhǎng)江大學(xué)，湖北 荊州 434023 2.中國(guó)石油川慶鉆探工程有限公司，陜西 西安 710018 3.新疆油田公司油氣儲(chǔ)運(yùn)公司，新疆 克拉瑪依 834000

0 前言

煤層氣作為非常規(guī)氣藏，已成為近年來(lái)國(guó)內(nèi)天然氣勘探開(kāi)發(fā)的熱點(diǎn)［1］。煤層氣在成藏機(jī)理、賦存狀態(tài)、分布規(guī)律或勘探開(kāi)發(fā)方式等方面有別于常規(guī)天然氣。目前國(guó)內(nèi)煤層氣開(kāi)發(fā)過(guò)程中氣井產(chǎn)能普遍較低，如何有效預(yù)測(cè)氣井產(chǎn)能，有效計(jì)算煤層氣井理論排采曲線成為煤層氣開(kāi)發(fā)的重要課題［2］。針對(duì)該課題從煤層氣解吸-擴(kuò)散-滲流規(guī)律出發(fā)，利用數(shù)學(xué)物理方法建立了煤層氣井產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型，并用所建模型對(duì)某地區(qū)的煤層氣井產(chǎn)能做出預(yù)測(cè)。

1 煤層氣運(yùn)移產(chǎn)出機(jī)理

1.1 煤層氣運(yùn)移產(chǎn)出過(guò)程

煤層氣在煤儲(chǔ)層中通常分為三種存在狀態(tài)：吸附態(tài)、游離態(tài)和溶解態(tài)。在未受壓力擾動(dòng)之前煤層氣大部分（70%～95%）以吸附態(tài)存在于煤基質(zhì)表面，少部分（5%～12%）以游離態(tài)存在于儲(chǔ)層孔-裂隙內(nèi)，極少部分以溶解態(tài)存在于煤儲(chǔ)層水中［3］。當(dāng)煤儲(chǔ)層被打開(kāi)，隨著井底流壓降低至煤層氣臨界解吸壓力以下時(shí)，吸附態(tài)煤層氣將開(kāi)始發(fā)生解吸，并逐漸運(yùn)移至井底。煤層氣穿過(guò)煤層孔隙介質(zhì)運(yùn)移至井底的過(guò)程分三階段：煤基質(zhì)表面的解吸、基質(zhì)孔隙內(nèi)的擴(kuò)散、煤巖割理系統(tǒng)中的滲流，這三個(gè)過(guò)程相互制約。流動(dòng)過(guò)程見(jiàn)圖1［4］。

1.2 煤層氣的解吸

煤巖基質(zhì)對(duì)煤層氣的吸附方式為物理吸附，在一定的溫度、壓力條件下煤層氣的吸附與解吸過(guò)程是一個(gè)可逆的動(dòng)態(tài)平衡過(guò)程，故可用朗格繆爾等溫吸附方程來(lái)描述煤層氣的解吸過(guò)程［5］：

圖1 煤層氣運(yùn)移產(chǎn)出過(guò)程示意圖

式中，pL=1/b，是吸附量達(dá)到極限吸附量50%時(shí)的壓力，為朗格繆爾壓力，即當(dāng) p=pL時(shí)，V=0.5 VL，VL為朗格繆爾體積。

1.3 煤層氣擴(kuò)散模型

理論上非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散模式能較客觀地表示煤基質(zhì)塊中煤層氣濃度的時(shí)空變化，能更加準(zhǔn)確地反應(yīng)煤層氣的擴(kuò)散過(guò)程。煤層氣非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散遵從菲克第二定律，認(rèn)為煤基質(zhì)塊內(nèi)煤層氣濃度從中心到邊緣是變化的，并且中心的濃度變化率為零；基質(zhì)塊邊緣濃度就是煤儲(chǔ)層壓力控制的等溫吸附濃度，隨著煤層氣開(kāi)采過(guò)程中煤儲(chǔ)層壓力的變化，煤基質(zhì)塊的濃度也發(fā)生變化。假設(shè)煤基質(zhì)是半徑為Ri的球形，煤基質(zhì)塊內(nèi)煤層氣的擴(kuò)散過(guò)程可描述為［6］：

式中Vi——濃度，m3/m3；

ri——距基質(zhì)中心距離，m；

t——時(shí)間，s；

D——擴(kuò)散系數(shù)，m2/s。

初始條件和邊界條件：

2 煤層氣井產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型

2.1 計(jì)算模型

本文模型是在常規(guī)氣藏運(yùn)移產(chǎn)出滲流微分方程的基礎(chǔ)上考慮解吸及擴(kuò)散過(guò)程后建立的，該模型的提出基于以下假設(shè)：

a）假設(shè)整個(gè)生產(chǎn)過(guò)程中只有煤層氣產(chǎn)出；

b）煤層氣產(chǎn)出過(guò)程中在割理系統(tǒng)的滲流符合達(dá)西定律；

c）煤儲(chǔ)層上下邊界無(wú)越流補(bǔ)給。

考慮煤層氣在割理中的滲流運(yùn)移情況，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，由連續(xù)方程和真實(shí)氣體狀態(tài)方程得到平面徑向流模型中真實(shí)氣體的流動(dòng)方程，在徑向坐標(biāo)系下其運(yùn)動(dòng)方程為：

初始狀態(tài)下煤層壓力均勻分布，即初始條件為：p（r，0）=pic

邊界條件：

2.2 模型求解

根據(jù)菲克定律和達(dá)西定律建立適用于煤層氣井的煤層氣產(chǎn)出運(yùn)動(dòng)微分方程后，運(yùn)用無(wú)因次變換、拉普拉斯變換及數(shù)值反演等數(shù)學(xué)方法，對(duì)模型進(jìn)行求解。

定義以下無(wú)因次量：

將式（3）無(wú)因次化，并結(jié)合非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散方程，進(jìn)行拉普拉斯變換，經(jīng)定義中間變量后簡(jiǎn)化整理得：

其中，ξ為數(shù)學(xué)方程化簡(jiǎn)過(guò)程中定義的中間變量。

式（4）為 0 階虛宗量貝塞爾方程，其通解為［7］：

另外，定壓內(nèi)邊界條件下，產(chǎn)量項(xiàng)由式（16）給出：

由于實(shí)際井網(wǎng)布置中邊界條件可視為封閉邊界，故此處取有限大煤藏封閉外邊界，代入內(nèi)外邊界條件解得拉氏空間下產(chǎn)量與井底流壓的表達(dá)式：

3 計(jì)算實(shí)例與比較

將關(guān)于煤層氣滲流的拉氏空間下的解析解采用Stehfest方法進(jìn)行數(shù)值反演［8］，編制計(jì)算程序，得到非穩(wěn)態(tài)條件下煤層氣生產(chǎn)的模擬結(jié)果。以某地區(qū)Y1、Y2、Y3三口井為例進(jìn)行計(jì)算，所選參數(shù)為：生產(chǎn)半徑500m，井半徑 0.15m，氣體粘度 0.01mPa·s，氣體壓縮系數(shù)0.324E-3 kPa-1，朗格繆爾體積53m3/m3，朗格繆爾壓力1 155.5 kPa，煤解吸時(shí)間5 d，其他參數(shù)見(jiàn)表1，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖2～4。

表1 計(jì)算中使用的參數(shù)

圖2 Y1井實(shí)際排采與計(jì)算曲線對(duì)比

圖3 Y2井實(shí)際排采與計(jì)算曲線對(duì)比

圖4 Y3井實(shí)際排采與計(jì)算曲線對(duì)比

模型理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)際排采曲線的比較見(jiàn)圖2～4，煤層氣井生產(chǎn)初期，由于井底流壓降低，儲(chǔ)層存在較大的壓力梯度，煤層氣大量解吸，產(chǎn)量持續(xù)增大，排采中期產(chǎn)量趨于穩(wěn)定。通過(guò)比較理論計(jì)算值與實(shí)際產(chǎn)氣量可知，數(shù)學(xué)模型理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)基本吻合。非穩(wěn)態(tài)、擬穩(wěn)態(tài)計(jì)算與實(shí)際排采曲線對(duì)比見(jiàn)圖5，在開(kāi)采初始階段，基質(zhì)塊邊緣濃度變化大，邊緣濃度的梯度較大，而平均濃度對(duì)時(shí)間的梯度較小，因此擬穩(wěn)態(tài)的擴(kuò)散速率要小于非穩(wěn)態(tài)，使得擬穩(wěn)態(tài)計(jì)算結(jié)果偏小，但生產(chǎn)到達(dá)中后期后，兩者趨于一致。

圖5 Y1井非穩(wěn)態(tài)、擬穩(wěn)態(tài)與實(shí)際排采曲線對(duì)比

4 結(jié)論

a）考慮非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散的模型比擬穩(wěn)態(tài)模型在理論上更嚴(yán)密，預(yù)測(cè)的產(chǎn)量更符合實(shí)際，通過(guò)理論計(jì)算與實(shí)際產(chǎn)氣量比較可知，本文建立的模型對(duì)于煤層氣井的產(chǎn)能預(yù)測(cè)有一定參考意義。

b）煤層氣井產(chǎn)出規(guī)律由于初期儲(chǔ)層壓力降低，在低于煤層氣臨界解吸壓力后，煤層氣大量解吸，產(chǎn)量持續(xù)增大，達(dá)到峰值后受煤層氣解吸量的影響表現(xiàn)出緩慢遞減趨勢(shì)。

［1］錢伯章，朱建芳.煤層氣開(kāi)發(fā)與利用新進(jìn)展［J］.天然氣與石油，2010，28（4）：29-34.

［2］王 宇，李治平，劉 超.基于分形與ARIMA的煤層氣產(chǎn)量預(yù)測(cè)［J］.天然氣與石油，2011，29（3）：45-48.

［3］曹成潤(rùn)，牛 偉，張遂安，等.煤層氣在煤儲(chǔ)層中的擴(kuò)散及其影響因素［J］.世界地質(zhì)，2004，23（3）：265-269.

［4］吳曉東，張迎春，李安啟.煤層氣單井開(kāi)采數(shù)值模擬的研究［J］.石油大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2000，24（2）：47-49.

［5］Kolesar JE，Ertekin T，Obut ST.The Unsteady-State Nature of Sorption and Diffusion Phenomena in the Micropore Structure of Coal：Part l-Theory and Mathematical Formulation［J］.SPE 15233，1990，5（1）：81-88.

［6］King G R，Ertekin T，Schwerer FC.Numerical Simulation of the Transient Behavior of Coal-seam Degasification Wells［J］.SPE 12258-PA，1986，1（2）：165-183.

［7］張渭濱.數(shù)學(xué)物理方程［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2007.

［8］同登科，陳欽雷.關(guān)于Laplace數(shù)值反演Stehfest方法的一點(diǎn)注記［J］.石油學(xué)報(bào)，2001，22（6）：91-92.