非線性滲流低滲氣藏壓裂井的產(chǎn)能方程

熊 健 于路均 郭 平

1.西南石油大學(xué)“油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程”國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610500 2.新疆油田公司采氣一廠，新疆 克拉瑪依 834007

0 前言

大量室內(nèi)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，低滲透氣藏中氣體滲流時(shí)不僅具有啟動(dòng)壓力梯度［1～2］，而且存在滑脫現(xiàn)象［3～4］，和應(yīng)力敏感現(xiàn)象［5～6］。低滲透氣藏開發(fā)存在單井產(chǎn)量低的特征，需要進(jìn)行壓裂增產(chǎn)改造才能有效提高氣藏的單井產(chǎn)量［7］。 汪永利、楊正明等人［8～13］研究了垂直裂縫井產(chǎn)能計(jì)算方法，但均未綜合考慮滑脫效應(yīng)、啟動(dòng)壓力梯度及應(yīng)力敏感的共同影響。根據(jù)擾動(dòng)橢圓概念和等價(jià)發(fā)展矩形的思想，基于穩(wěn)態(tài)流理論，引入新的擬壓力形式，建立考慮啟動(dòng)壓力梯度、滑脫效應(yīng)、應(yīng)力敏感共同影響下低滲氣藏壓裂井產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型，分析了產(chǎn)能方程的影響因素敏感性。

1 產(chǎn)能方程推導(dǎo)

在推導(dǎo)壓裂井產(chǎn)能方程時(shí)，假設(shè)：壓裂裂縫為垂直裂縫，沿井眼對(duì)稱分布；裂縫剖面為與氣層厚度等高的矩形；裂縫為有限導(dǎo)流能力；氣藏及裂縫內(nèi)均為單相流動(dòng)，氣藏中氣體的流動(dòng)符合達(dá)西非線性流動(dòng)，裂縫中的氣體流動(dòng)符合Forchheimer非達(dá)西流動(dòng)方程；裂縫區(qū)域外為橢圓流，等勢(shì)線為橢圓，流線垂直橢圓族，形成兩個(gè)流動(dòng)區(qū)域即裂縫內(nèi)線性流區(qū)、地層內(nèi)橢圓流動(dòng)區(qū)；不考慮裂縫壁面污染。

1.1 地層橢圓流

氣井生產(chǎn)時(shí)在地層中形成等壓橢圓柱面，直角坐標(biāo)和橢圓坐標(biāo)的關(guān)系為：

式中x、y——直角坐標(biāo)；

η、ζ——橢圓坐標(biāo)；

a——橢圓的長半軸；

b——橢圓的短半軸；

xf——裂縫半長，cm。

根據(jù)穩(wěn)態(tài)滲流理論，在橢圓坐標(biāo)中考慮啟動(dòng)壓力梯度［2］滲流方程有

式中p——壓力，MPa；

y——長度，m；

λ——啟動(dòng)壓力梯度，MPa/m；

v——滲流速度，m/s；

K——滲透率，10-3μm2；

μ——?dú)怏w粘度，mPa·s。

由Klinkenberg L J得出的氣體滲透率K與絕對(duì)滲透率 Ki的關(guān)系式［4］為：

式中b——?dú)怏w滑脫因子，MPa；

p——?dú)獠仄骄鶋毫?，MPa，氣藏遠(yuǎn)井區(qū)的壓力壓降小，因此采用地層壓力進(jìn)行推導(dǎo)。

對(duì)于低滲氣藏，應(yīng)力敏感滲透率與有效應(yīng)力呈指數(shù)變化規(guī)律［5］為：

式中ak——滲透率變化系數(shù)，MPa-1；

pe——原始地層壓力，MPa。

將式（3）變形為：

用橢圓坐標(biāo)表示的滲流速度：

式中Qsc——?dú)饩畨毫押螽a(chǎn)量，m3/s；

p——?dú)獠貕毫?，MPa；

h——?dú)獠睾穸?，m；

psc——標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下壓力，MPa；

Z——?dú)怏w壓縮因子；

Zsc——標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下壓縮因子；

T——?dú)獠販囟?，K；

Tac——標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下溫度，K。

根據(jù)擾動(dòng)橢圓的概念，用發(fā)展矩形族來描述等壓橢圓族：

對(duì)式（6）、（7）變形有：

式（11）變形積分有：

式中 ζ0=0；

ζe=ln2re/xf；

Qsc—?dú)饩畨毫押螽a(chǎn)量，m3/d。

1.2 裂縫線性流

Forchheimer通過實(shí)驗(yàn)擬合出描述非達(dá)西流動(dòng)壓降的二次方程，表達(dá)式為：

式中Kf——裂縫滲透率，10-3μm2；

βg——?dú)怏w紊流系數(shù)，m-1；

Wf——裂縫寬度，m；

Mair——空氣分子質(zhì)量；

R——?dú)怏w常數(shù)；

γg——?dú)怏w相對(duì)密度；

ρg——?dú)怏w密度，kg/m3。

將式（14）代入式（13）中，且μ和Z的值按平均壓力處的值計(jì)算，并簡化：

式中rw——井筒半徑，m；

βg=b/，在不同支撐劑下，a、b 值［14］見表 1。

推導(dǎo)式（12）、（15），即為低滲透氣藏壓裂氣井的產(chǎn)能方程。將兩式聯(lián)立，利用牛頓迭代法求解，可解出Qsc等參數(shù)。

表1 裂縫中不同支撐劑條件下a、b值

2 影響因素分析

假設(shè)某壓裂氣井參數(shù)：裂縫半長200m，裂縫寬度0.008m，裂縫滲透率 60 000×10-3μm2，儲(chǔ)層有效滲透率為 0.75×10-3μm2，地下氣藏溫度為 364.87K，泄氣半徑為1 200m，原始?xì)獠貕毫?7MPa，氣藏有效厚度為7.7m，氣體粘度為0.021 8mPa·s，氣體壓縮因子為0.944。

不同啟動(dòng)壓力梯度下氣井IPR曲線見圖1。從圖1可知，隨著啟動(dòng)壓力梯度增加，氣井產(chǎn)量減小，說明啟動(dòng)壓力梯度對(duì)于氣體滲流附加一種阻力。當(dāng)啟動(dòng)壓力梯度分別為0.002、0.004、0.006MPa/m時(shí)，對(duì)應(yīng)氣井的無阻流量比不考慮啟動(dòng)壓力梯度影響分別降低了4.47%、8.79%、13.12%。

不同滑脫因子下氣井IPR曲線見圖2。從圖2可知，隨著氣體滑脫因子的增大，在相同的井底流壓下，氣井產(chǎn)量增加，說明滑脫效應(yīng)對(duì)氣體滲流附加一種滑脫動(dòng)力。當(dāng)滑脫因子分別為2、4、6MPa時(shí)，無阻流量比不考慮滑脫效應(yīng)影響分別提高了7.03%、13.73%、20.09%。

圖1 不同啟動(dòng)壓力梯度對(duì)氣井流入動(dòng)態(tài)的影響

圖2 不同滑脫因子對(duì)氣井流入動(dòng)態(tài)的影響

圖3 應(yīng)力敏感對(duì)氣井流入動(dòng)態(tài)的影響

圖4 不同壓裂導(dǎo)流能力對(duì)氣井產(chǎn)能的影響

不同應(yīng)力敏感系數(shù)下氣井IPR曲線見圖3。從圖3可知，隨著滲透率變形系數(shù)的增加，氣井產(chǎn)能逐漸下降，產(chǎn)能曲線彎曲程度越強(qiáng)烈，說明應(yīng)力敏感在地層中引起的“應(yīng)力污染”現(xiàn)象越嚴(yán)重。當(dāng)滲透率變形系數(shù)分別為0.02、0.04、0.06MPa-1時(shí)，對(duì)應(yīng)無阻流量比不考慮應(yīng)力敏感影響分別降低了11.04%、18.58%、25.8%。

裂縫導(dǎo)流能力對(duì)產(chǎn)能的影響見圖4。從圖4可知，氣井產(chǎn)能隨著裂縫長度的增加而增加，隨著裂縫導(dǎo)流能力增大，氣井的產(chǎn)能先是快速上升后趨于平緩。說明低滲透氣藏中增加裂縫長度比增加裂縫導(dǎo)流能力更重要；一定裂縫長度下，存在一個(gè)最佳裂縫導(dǎo)流能力。因此，在壓裂設(shè)計(jì)中，當(dāng)裂縫導(dǎo)流能力達(dá)到一定范圍后，主要目的應(yīng)是增加縫長。

3 實(shí)例分析

根據(jù)文獻(xiàn)［13］中某一口壓裂氣井的基本參數(shù)，該井壓后系統(tǒng)試井得無阻流量為 11.8×104m3/d，文獻(xiàn)［13］計(jì)算的無阻流量為10.29×104m3/d，誤差為12%，利用本文推導(dǎo)的產(chǎn)能方程計(jì)算的無阻流量為12.95×104m3/d，誤差為9.7%。說明推導(dǎo)的產(chǎn)能方程具有可靠性。

4 結(jié)論

a）針對(duì)低滲透氣藏特征，基于橢圓流模型，推導(dǎo)建立了考慮啟動(dòng)壓力梯度、滑脫效應(yīng)、應(yīng)力敏感共同影響下低滲透氣藏有限導(dǎo)流垂直裂縫井產(chǎn)能預(yù)測(cè)方程。

b）啟動(dòng)壓力梯度和應(yīng)力敏感使氣井產(chǎn)能下降，隨著啟動(dòng)壓力梯度和應(yīng)力敏感系數(shù)增大，氣井產(chǎn)能降低；而滑脫效應(yīng)使氣井產(chǎn)能增大，隨著滑脫因子增大，氣井產(chǎn)能增加。

c）在低滲透氣藏中，增加裂縫長度比增加裂縫導(dǎo)流能力更重要，一定裂縫長度下，存在一個(gè)最佳的裂縫導(dǎo)流能力。因此，在低滲透氣藏壓裂設(shè)計(jì)中，當(dāng)裂縫導(dǎo)流能力達(dá)到一定范圍后，主要目的應(yīng)是增加縫長。

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