基于運(yùn)動(dòng)微分方程特征值的轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)失穩(wěn)可靠性分析*

趙群超 張義民

(東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧沈陽 110819)

近些年，國內(nèi)和國際上，許多大型、高速的旋轉(zhuǎn)機(jī)組都發(fā)生了或大或小的油膜失穩(wěn)事故，并造成了重大的經(jīng)濟(jì)損失。轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)的失穩(wěn)問題關(guān)系到企業(yè)生產(chǎn)的安全、規(guī)模、能力，以及對(duì)應(yīng)的效益。對(duì)于一個(gè)企業(yè)而言，生產(chǎn)中的穩(wěn)定性是實(shí)現(xiàn)高效生產(chǎn)的重中之重。多年來，許多學(xué)者和研究機(jī)構(gòu)對(duì)轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了一系列的研究和探索［1－4］。文獻(xiàn)［1］對(duì)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為:如果一個(gè)系統(tǒng)受到擾動(dòng)后，系統(tǒng)最終可以返回原先的平衡狀態(tài)，則這一系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的;如果受擾后，系統(tǒng)無限偏離原先的平衡狀態(tài)，則這一平衡狀態(tài)時(shí)不穩(wěn)定的。對(duì)于轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)，其在運(yùn)轉(zhuǎn)過程當(dāng)中會(huì)發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)，這一不穩(wěn)定性問題的原因主要是因?yàn)檎麄€(gè)系統(tǒng)本身存在著負(fù)阻尼和交叉剛度?；谶@個(gè)最基本的原因，本文從轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程入手，以單圓盤對(duì)稱支撐的轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)為例，來分析系統(tǒng)失穩(wěn)的一系列可靠性問題。

1 運(yùn)動(dòng)方程及其特征值與系統(tǒng)失穩(wěn)的關(guān)系

具有n個(gè)自由度的轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)(線性系統(tǒng))的運(yùn)動(dòng)方程可用式(1)所示的二階矩陣微分方程表示

式中:M、D、K分別是系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣(維數(shù)為n);q、F為位移矢量和激振力矢量。

研究穩(wěn)定性主要是針對(duì)系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程，它是式(1)的齊次方程，即

對(duì)于式(2)，經(jīng)過計(jì)算可得到其特征值ν，ν的形式為μ±jω。當(dāng)μ＜0，即所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，此時(shí)，式(2)描述的自由振動(dòng)隨著時(shí)間的增加振幅不斷衰減并最終衰減至零，此時(shí)的振動(dòng)是穩(wěn)定的衰減振動(dòng)，如圖1a所示。當(dāng)μ＞0，即特征值(至少有一個(gè))的實(shí)部大于零，此時(shí)，式(2)描述的自由振動(dòng)隨著時(shí)間的增加振幅不斷增大并最終為無窮大，此時(shí)的振動(dòng)稱為不穩(wěn)定振動(dòng)，如圖1b所示。當(dāng)μ=0，即特征值的實(shí)部等于零(不為零的實(shí)部要小于零)，此時(shí)，式(2)描述的自由振動(dòng)處于一種平衡狀態(tài)，稱為穩(wěn)定性界限狀態(tài)，如圖1c所示。

2 穩(wěn)定性裕度評(píng)估

設(shè)計(jì)一臺(tái)旋轉(zhuǎn)機(jī)械的時(shí)候，為了使得其具有良好的穩(wěn)定性能，僅僅保證其工作在穩(wěn)定的區(qū)域是不夠的。在此基礎(chǔ)之上還要保證它具有足夠的穩(wěn)定性裕度，用來抵抗外界的各種干擾。圖1d所示的自由振動(dòng)與圖1a相似，都具有負(fù)的特征值實(shí)部，但是情況d的實(shí)部比情況a的實(shí)部要小，所以情況d的自由振動(dòng)衰減得更快，有更強(qiáng)的能力來抵抗外界的干擾。對(duì)于這兩種情況，需要尋找一個(gè)客觀的判據(jù)來評(píng)定它們的優(yōu)劣性。一般的，設(shè)計(jì)人員采用以下3個(gè)判據(jù)來評(píng)估系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕度:(1)對(duì)數(shù)衰減率判據(jù);(2)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速判據(jù);(3)減穩(wěn)因素界限值判據(jù)［1，3］。雖然應(yīng)用以上的這些判據(jù)，可以判定出哪一組設(shè)計(jì)參數(shù)更為合理，但是這種判定只能粗略地對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕度進(jìn)行評(píng)估。為了更精確地、定量地、明了地做出穩(wěn)定性裕度評(píng)估，以下我們根據(jù)可靠性分析的方法，合理地給出了解決辦法。

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)函數(shù)的選擇

因?yàn)橄到y(tǒng)穩(wěn)定需要所有特征值的實(shí)部都為負(fù)值，所以也可以將整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定問題看成是多個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)形式的可靠性問題，每一個(gè)特征值都為負(fù)值時(shí)，系統(tǒng)才能穩(wěn)定運(yùn)行。從可靠概率的意義可知，系統(tǒng)的可靠度計(jì)算式為:

式中:pr為可靠度計(jì)算符號(hào);P()為求概率函數(shù);f(νi)為νi的分布密度函數(shù);n為特征值個(gè)數(shù)。

但是，對(duì)于以特征值來度量系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題，按照串聯(lián)形式計(jì)算的結(jié)果趨于保守。對(duì)于單圓盤對(duì)稱轉(zhuǎn)子來說，特征值ν跟通常是兩對(duì)共軛復(fù)根［6］，而且一般情況下，在整個(gè)工作頻率范圍之內(nèi)，2個(gè)特征值實(shí)部不發(fā)生交叉，也就是說2個(gè)特征值實(shí)部有恒定的大小關(guān)系。所以，在不失反應(yīng)度量準(zhǔn)確性的情況下，將系統(tǒng)狀態(tài)函數(shù)g(X)定義為:

式中:real()為對(duì)實(shí)數(shù)取實(shí)部函數(shù);g(X)＜0為失穩(wěn)狀態(tài);g(X)=0為臨界狀態(tài);g(X)＞0為穩(wěn)定狀態(tài)。

此時(shí):pr=P(g(X)＞0)

2.2 穩(wěn)定性裕度的可靠性分析

根據(jù)二階矩陣微分方程的求解方法，求解方程(1)的特征值的問題可歸結(jié)為求下式特征值問題，

式中:ν為特征值;{ψ}為對(duì)應(yīng)的特征向量。

在工程生產(chǎn)中，加工的誤差，安裝的誤差，以及工況的改變等等這些不可避免的實(shí)際情形使得決定系統(tǒng)穩(wěn)定的各個(gè)參數(shù)會(huì)發(fā)生或大或小的變化。實(shí)踐證明，這些變化一般不會(huì)遠(yuǎn)離額定參數(shù)數(shù)值。所以，可將這些變化看成是關(guān)于額定參數(shù)的一種攝動(dòng)行為。

根據(jù)可靠性分析的隨機(jī)攝動(dòng)理論［5］，g(X)為系統(tǒng)隨機(jī)參數(shù)向量X的函數(shù)。X和g(X)可表示為

式中，ε為一小參數(shù)，下標(biāo)為d的部分表示隨機(jī)參數(shù)中的確定部分，下標(biāo)為p的部分表示隨機(jī)參數(shù)中的隨機(jī)部分，且具有零均值。顯然要求隨機(jī)部分要比確定部分小得多。

對(duì)式(4)、(5)取數(shù)學(xué)期望，有

同理，根據(jù)Kronecker代數(shù)理論，隨機(jī)參數(shù)X和狀態(tài)函數(shù)g(X)的方差可分別表示為

根據(jù)向量值和矩陣值函數(shù)的Taylor展開式，當(dāng)隨機(jī)參數(shù)的隨機(jī)部分比其確定部分小得多時(shí)，可以把gp(X)在E(X)=附近展開到一階為止，有

把式(10)代入式(9)，有

其中，g(X)為系統(tǒng)狀態(tài)函數(shù)，X為系統(tǒng)隨機(jī)參數(shù)向量，為隨機(jī)參數(shù)向量X的均值。

可靠性指標(biāo)定義為

設(shè)基本隨機(jī)變量向量X中的所有元素服從正態(tài)分布，用失穩(wěn)點(diǎn)處狀態(tài)表面的切平面近似地模擬極限狀態(tài)表面，可以獲得可靠度的一階估計(jì)量

3 數(shù)值算例

某由動(dòng)壓向心滑動(dòng)軸承對(duì)稱支撐的單圓盤轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)，其部分參數(shù)的期望值已知(如表1)，其中各變量及動(dòng)特性指標(biāo)的變異系數(shù)統(tǒng)一按0.05進(jìn)行計(jì)算。試進(jìn)行轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)失穩(wěn)的可靠性分析。

表1 各變量期望值

根據(jù)給出的已知參數(shù)估算出系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速在3 000～4 000 r/min之間，估算方法見參考文獻(xiàn)［6］。之后在文獻(xiàn)［7］上查得在如上條件下，轉(zhuǎn)速在2 781 r/min與4 218 r/min時(shí)滑動(dòng)軸承動(dòng)特性系數(shù)值，如表2所示。在編程時(shí)以插值的方法計(jì)算出每個(gè)計(jì)算點(diǎn)的動(dòng)特性系數(shù)值，從而計(jì)算出相對(duì)準(zhǔn)確的fi(X)。

經(jīng)過編程運(yùn)算，得到系統(tǒng)的特征值ν具有兩對(duì)共軛復(fù)根，形式為a1，2±b1，2j;a3，4±b3，4j。將實(shí)部a提取出來列成圖2a所示。在2 718～4 218 r/min轉(zhuǎn)速之間，a1，2的絕對(duì)值相對(duì)于a3，4大很多，圖 2a 顯示的實(shí)部隨轉(zhuǎn)速的走向?qū)Ρ炔幻黠@，所以將高轉(zhuǎn)速下過大的實(shí)部省去，將2 718～3 548 r/min轉(zhuǎn)速之間實(shí)部值繪制的出來，如圖 2b 所示。實(shí)部a1，2，a3，4起始隨轉(zhuǎn)速的增加都是在減小，在3 300 r/min左右，a1，2達(dá)到最小，然后增大，突破零線后迅速增大。

根據(jù)之前設(shè)定的系統(tǒng)狀態(tài)函數(shù)，這里把a(bǔ)1，2作為主要研究對(duì)象，繪制其隨轉(zhuǎn)速增大的曲線如圖3所示。特征值實(shí)部a1，2在工作轉(zhuǎn)速達(dá)到3 470 r/min左右達(dá)到零值，此時(shí)，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。

圖4列出了系統(tǒng)在4 218 r/min轉(zhuǎn)速以下關(guān)于失穩(wěn)的可靠度曲線。系統(tǒng)在3 420～3 480 r/min轉(zhuǎn)速附近可靠度迅速下降，直至完全失穩(wěn)狀態(tài)。這與圖3所示在零點(diǎn)附近特征值實(shí)部相對(duì)于轉(zhuǎn)速增加急速增大非常吻合。說明了所得到的可靠度曲線，真實(shí)地反應(yīng)了系統(tǒng)實(shí)際的工作狀態(tài)。綜上分析，在工程上，設(shè)定工作轉(zhuǎn)速的時(shí)候，對(duì)于上述的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)要將工作轉(zhuǎn)速設(shè)定在3 420 r/min以下，最佳工作轉(zhuǎn)速應(yīng)在3 300 r/min附近。這樣設(shè)計(jì)的工作轉(zhuǎn)速會(huì)在很大程度上提高系統(tǒng)在抵抗失穩(wěn)上的裕度，增強(qiáng)系統(tǒng)的可靠性。

表2 滑動(dòng)軸承的動(dòng)特性系數(shù)值

4 結(jié)語

經(jīng)上分析，以轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的特征值來度量系統(tǒng)的穩(wěn)定性是可行的。這種方法可以準(zhǔn)確地指出系統(tǒng)失穩(wěn)的臨界狀態(tài)的位置，指導(dǎo)工程中設(shè)定的工作參數(shù)可以避開系統(tǒng)失穩(wěn)區(qū)域。這種方法還可以明確地給出系統(tǒng)失穩(wěn)裕度的最大點(diǎn)，給工程人員在設(shè)計(jì)時(shí)提供合理的參考數(shù)據(jù)。

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