運(yùn)動(dòng)模糊圖像方向角的估計(jì)方法研究

加春燕，王建麗，劉 鵬

(1.北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，北京 100042;2.太原科技大學(xué)華科學(xué)院，太原 030024;3.山西農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院，山西 太谷 030800)

在獲取數(shù)字圖像的過程中，由于設(shè)備或者操作者的原因，易造成運(yùn)動(dòng)模糊。如果在曝光瞬間，相機(jī)鏡頭和對(duì)象之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，那么拍攝到的圖像便是運(yùn)動(dòng)模糊圖像。簡(jiǎn)單的線性運(yùn)動(dòng)模糊模型可用一個(gè)卷積型方程表示[1]:

其中，g表示運(yùn)動(dòng)模糊帶噪的圖像，f是未受到運(yùn)動(dòng)模糊和噪聲影響的理想圖像，kL，θ代表運(yùn)動(dòng)模糊的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(PSF)，n通常視為高斯白噪聲。復(fù)原運(yùn)動(dòng)模糊圖像的目的就是:從觀測(cè)圖像g出發(fā)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)模糊的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)kL，θ和噪聲n的相關(guān)信息，得出復(fù)原圖像，復(fù)原結(jié)果與f越接近越好。

運(yùn)動(dòng)模糊的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù) kL，θ的一般表達(dá)式為[2]:

顯然，確定kL，θ的關(guān)鍵在于兩個(gè)重要參數(shù):一是運(yùn)動(dòng)模糊的方向角θ，二是運(yùn)動(dòng)模糊的長(zhǎng)度L.要進(jìn)行圖像復(fù)原，需要準(zhǔn)確地估計(jì)出θ和L，本文主要研究運(yùn)動(dòng)模糊圖像的方向角θ的估計(jì)方法。

1 運(yùn)動(dòng)模糊圖像的頻譜特征分析

圖1 運(yùn)動(dòng)模糊圖像及其Fourier頻譜圖像Fig.1 A motion blurred image and its Fourier spectrum image with L=10 pixels and θ =45°

由卷積原理，對(duì)模型方程(1)做Fourier變換，得到頻域上的方程:

其中K(u，v)為一個(gè)Sinc函數(shù)，因此，如果運(yùn)動(dòng)模糊圖像受噪聲污染較小，則相應(yīng)的Fourier頻譜圖像中會(huì)出現(xiàn)平行的黑線，且該組黑線與Y軸的夾角即為運(yùn)動(dòng)模糊方向角θ[3].圖1中左邊為運(yùn)動(dòng)模糊圖像，其中方向角為45°，右邊是對(duì)應(yīng)的頻譜圖像G(u，v)，從中明顯看出平行線的特征，且平行線與Y軸的夾角約為45°.顯然，頻譜圖像中的平行黑線是估計(jì)θ的重要依據(jù)，后面涉及到的方法都是從運(yùn)動(dòng)模糊圖像的頻譜特征出發(fā)來估計(jì)θ.

2 方向角估計(jì)方法的對(duì)比研究

2.1 Hough 變換方法

Hough變換通過檢測(cè)圖像中點(diǎn)的共線性來確定圖像中最為明顯的直線[4]。具體來說，假設(shè)圖像中有n個(gè)特征點(diǎn)，希望找出含特征點(diǎn)最多的直線。1962年數(shù)學(xué)家Hough提出了一種簡(jiǎn)單方法:將平面內(nèi)過一點(diǎn)的所有直線轉(zhuǎn)化為參數(shù)空間中的一條正弦曲線，如果參數(shù)平面內(nèi)有K條正弦曲線相交于一點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)XY平面內(nèi)K個(gè)點(diǎn)共線[7]。Hough變換檢測(cè)圖像中直線的數(shù)值實(shí)驗(yàn)過程為:

(ⅰ) 網(wǎng)格剖分 ρ∈ [ρmin，ρmax]，θ∈ [θmin，θmax]，在 ρθ平面形成網(wǎng)格;

(ⅱ)在ρθ平面每個(gè)網(wǎng)格放置一個(gè)記數(shù)器A(ρ，θ)，并設(shè)置初值均為0;

(ⅲ)對(duì)圖像中的每個(gè)特征點(diǎn)(xi，yi)，依次取θ= θmin∶θmax，之后計(jì)算出ρ=xicosθ+yisinθ，于是該網(wǎng)格記數(shù)器A(ρ，θ)增加1;

(ⅳ)所有特征點(diǎn)都統(tǒng)計(jì)完成后，找到值最大的記數(shù)器(比如記為 A(ρ*，θ*)，則對(duì)應(yīng) XY平面中檢測(cè)出的直線方程為 ρ*=xcosθ*+ysinθ*.

在實(shí)際運(yùn)用中，通常先得到模糊頻譜圖像的邊界圖像(二值圖像)，選取邊界點(diǎn)為特征點(diǎn)，再做Hough變換。圖2展示了用Hough變換檢測(cè)運(yùn)動(dòng)模糊圖像方向角的效果，其中(a)圖是運(yùn)動(dòng)模糊圖像，θ=30°，(b)圖顯示了Hough變換檢測(cè)出的直線，對(duì)應(yīng)角度為 30.809°，(c)圖中運(yùn)動(dòng)方向角 θ=90°，(d)圖檢測(cè)出的結(jié)果為90.001°.

2.2 Radon 變換方法

對(duì)于函數(shù) G(u，v)，其 Radon 變換為[5]:

圖2 Hough變換估計(jì)運(yùn)動(dòng)模糊圖像的方向角Fig.2 Estimation for angle of motion blurred images by using Hough transform

事實(shí)上，G(u，v)的Radon變換是沿著距原點(diǎn)(圖像中心)ρ且與Y軸夾角為θ的直線的積分，Radon變換的最大值對(duì)應(yīng)圖像中最明顯的直線，該直線的角度即為運(yùn)動(dòng)模糊圖像方向角的估計(jì)值。需要注意的是，Radon變換要計(jì)算函數(shù)沿各個(gè)方向直線的積分，而對(duì)于有限的圖像(一般是矩形)來說，顯然圖像對(duì)角線上的線段最長(zhǎng)，積分結(jié)果會(huì)比較大，因此用Radon變換常常錯(cuò)誤的估計(jì)出45°或者135°，為了克服這種現(xiàn)象，可以對(duì)圖像預(yù)先歸一化，即逐點(diǎn)除以和圖像大小相同的全1矩陣，再進(jìn)行Radon變換。

圖3展示了對(duì)運(yùn)動(dòng)模糊頻譜圖像做Radon變換的結(jié)果，左邊是運(yùn)動(dòng)模糊頻譜圖像，其中θ=10°，右邊是Radon變換的結(jié)果，圖像中最亮的地方對(duì)應(yīng)角度為10.052°，估計(jì)比較準(zhǔn)確。

圖3 Randon變換估計(jì)運(yùn)動(dòng)模糊圖像的方向角Fig.3 Estimation for angle of motion blurred images by using Radon transform

2.3 Cepstral變換方法

Cepstral變換方法通過計(jì)算模糊圖像的對(duì)數(shù)逆頻(Cepstrum)來尋找特征[6]。模糊圖像 g(x，y)的對(duì)數(shù)逆頻定義為:

對(duì)數(shù)逆頻的一個(gè)重要性質(zhì)是卷積可加性，假設(shè)不考慮噪聲，即在式(1)中n(x，y)=0，則:

圖4 Cepstral變換估計(jì)運(yùn)動(dòng)模糊圖像的方向角Fig.4 Estimation for angle of motion blurred images by using Cepstral transform

模糊核函數(shù)kL，θ的Fourier變換K(u，v) 是一個(gè)Sinc函數(shù)，且在 ±1/L 處值為0[4]，于是log|K(u，v)|在 ±1/L處為負(fù)無窮大，從而 C(kL，θ(x，y)) 在距原點(diǎn)L處是負(fù)無窮大，由于對(duì)數(shù)逆頻的卷積可加性，則這個(gè)性質(zhì)會(huì)保留到C(g(x，y))中，即從C(g(x，y))的圖像中看，在距原點(diǎn)L處應(yīng)該有兩個(gè)大的負(fù)峰。因此，要估計(jì)運(yùn)動(dòng)方向角，只需從第一個(gè)峰值處到原點(diǎn)畫一條直線，再計(jì)算該直線的傾斜角即可。

圖4展示了用Cepstral變換估計(jì)運(yùn)動(dòng)模糊圖像方向角的過程。左邊是運(yùn)動(dòng)模糊頻譜圖像G(θ=60°)，中間是對(duì)數(shù)逆頻圖像 C(g(x，y))，從中確實(shí)可以看到兩個(gè)明顯的負(fù)峰。右邊從一個(gè)峰值處檢測(cè)到的直線，該直線的傾斜角為60.213°，與θ的真實(shí)值十分接近。

3 三種方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果的綜合分析比較

為了對(duì)Hough變換、Radon變換和Cepstral變換三種方法進(jìn)行綜合分析比較，利用matlab數(shù)學(xué)軟件編寫程序，進(jìn)行了大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)。測(cè)試圖像為256×256的衛(wèi)星圖像(如圖1所示)，方向角的變化范圍是0°～180°，分別設(shè)定運(yùn)動(dòng)距離L=10和L=40兩種情況來測(cè)試三種方法對(duì)L的敏感度，此外，定義信噪比SNR(見公式7)來衡量噪聲水平，從定義可知，SNR越小代表噪聲越大，試驗(yàn)中分別取無噪聲和SNR=20兩種情況來測(cè)試三種方法對(duì)噪聲的敏感度。

表1 無噪聲時(shí)三種方法估計(jì)精度的數(shù)值結(jié)果Tab.1 Numerical results of three methods with no additive noise

圖5 無噪聲時(shí)三種方法的估計(jì)精度Fig.5 Estimation accuracy of three kinds of methods with no additive noise

表1和圖5分別展示了無噪聲時(shí)三種方法的估計(jì)精度(誤差的絕對(duì)值)結(jié)果，容易看出，L=10時(shí)，Cepstral變換的估計(jì)效果最好，其次是Hough變換和Radon變換。而當(dāng)L=40時(shí)，Radon變換的效果最好，其次是 Cepstral變換，Hough變換效果最差，誤差高達(dá)12°.

表2 SNR=20時(shí)三種方法估計(jì)精度的數(shù)值結(jié)果Tab.2 Numerical results of three methods with SNR=20

圖6 SNR=20時(shí)三種方法估計(jì)角度的誤差絕對(duì)值Fig.6 Estimation accuracy of three kinds of methods with SNR=20

表2和圖6分別展示了信噪比SNR=20時(shí)三種方法的估計(jì)精度結(jié)果，有了噪聲的干擾，估計(jì)角度的難度增加，但從結(jié)果容易看出，Radon變換的估計(jì)效果仍然很好，可見噪聲對(duì)其影響不大。而Hough變換和Cepstral變換則對(duì)噪聲比較敏感，平均誤差在6.4°～29°之間，精度太低，不適宜估計(jì)角度。

根據(jù)第2節(jié)的原理分析和第3節(jié)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以得出如下結(jié)論:

(1)Hough變換:依賴于選取的特征點(diǎn)，特征點(diǎn)選不好則估計(jì)誤差大[8]。對(duì)于小距離和無噪聲干擾的情況，相對(duì)容易找到特征點(diǎn)，因此估計(jì)效果較好，而當(dāng)運(yùn)動(dòng)距離增大或者加入噪聲，則不易找到準(zhǔn)確的特征點(diǎn)，從而導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果較差。

(2)Radon變換:整體估計(jì)效果較好，噪聲干擾對(duì)其估計(jì)精度的影響不大，且L較大時(shí)估計(jì)更為準(zhǔn)確。

(3)Cepstral方法:運(yùn)動(dòng)距離L的大小對(duì)其估計(jì)精度影響不大，但它對(duì)于噪聲比較敏感，噪聲水平較高時(shí)估計(jì)不準(zhǔn)確。

綜上所述，對(duì)于給定的運(yùn)動(dòng)模糊圖像，如果容易找到特征點(diǎn)，可用Hough變換來估計(jì)運(yùn)動(dòng)角度，反之則失效。假如圖像受噪聲污染較小，可以選用Cepstral變換方法，反之則用Radon變換方法。在實(shí)際的運(yùn)動(dòng)模糊圖像處理中，由于噪聲污染幾乎不可避免，且圖像千差萬別，特征點(diǎn)不易選取，因此，最常用也相對(duì)實(shí)用的還是Radon變換方法。

4 結(jié)語

從運(yùn)動(dòng)模糊圖像出發(fā)，結(jié)合其點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，分析了圖像的頻譜特征，之后研究了目前估計(jì)方向角常用的方法:Hough變換、Radon變換和Cepstral變換，通過分析每種方法的數(shù)學(xué)原理，結(jié)合大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，綜合比較了三種方法的估計(jì)精度，得出了三種方法的適用范圍，有助于更為準(zhǔn)確地估計(jì)運(yùn)動(dòng)模糊圖像的方向角，進(jìn)而較好地復(fù)原圖像。

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