求解一類廣義Brouwer不動點問題的連續(xù)化方法＊

呂堂紅，王 建

（1.長春理工大學理學院，吉林 長春130022；2.中國海洋大學數學科學學院，山東 青島266100）

0 引言

Brouwer不動點定理在微分方程、數學規(guī)劃、工程、經濟等領域應用廣泛［1－3］。1976年，Kellogg等給出了Brouwer不動點定理的構造性證明，從而提出了連續(xù)化方法來計算兩次連續(xù)可微映射Φ（x）的不動點［4］。1978年，Chow等人［5］在有界閉凸集構造了如下同倫

該同倫目前已經成為計算不動點和非線性系統(tǒng)的重要工具［6－8］。

廣義Brouwer不動點問題對所在集合沒有凸性和有界性要求，所以如何給出該定理的構造性證明并數值求解非凸無界集合上的不動點問題是十分重要的，然而，據所知，在這個領域很少有相應的研究結果.直到最近，人們才把Kamarkar內點法的思想引入到連續(xù)化方法中，進而提出了一種新的連續(xù)化方法，并處理了一類滿足法錐條件的非凸集合上的不動點問題［9－10］。

針對系統(tǒng)（2）和（3），文獻［9］構造了適當的組合同倫方程，并得到了連續(xù)化方法的全局收斂性結果。文獻［10］引入二次連續(xù)可微映射η（x）∈Rn×m代替梯度g（x），進而把文獻［9］的結果推廣到了更一般的非凸集合上。

應該指出的是，文獻［9－10］的結果都要求Ω是有界的，對于無界非凸區(qū)域，目前還沒有相應的研究結果出現(xiàn)。本文利用自映射Φ（x）和二次連續(xù)可微映射η（x）構造一組無界性條件，在適當的條件下，給出了連接無界非凸區(qū)域內部任意給定的點和不動點的同倫路徑存在性的構造性證明，從而得到了連續(xù)化方法的全局收斂性結果。最后，本文給出了2個數值算例來進一步驗證本文結果的有效性。

本文需要用到如下符號：Rm＋和Rm＋＋分別代表Rm的非負象限和正象限。另外記x點處的積極集為

1 理論分析

本文的主要工作就是把文獻［10］中的Ω有界性去掉，從而使得連續(xù)化方法能夠在無界非凸集上計算不動點問題，為此本文需做如下假設：（C1）Ω0非空；（C3）對任意給定的x∈ЭΩ，若

則有yi＝0，i∈B（x）；

（C4）對任意的x∈ЭΩ，則有

在假設（C1）～（C4）下，為了求解不動點問題，則需要用到同倫方程：H（w，w（0），μ）＝

其中：w＝ （x，y）∈Rn＋m，w（0）＝ （x（0），y（0））∈Ω0×

引理1 設 H 如（4）所定義，假設（C1）～（C4）成立。那么對幾乎所有的 w（0）∈Ω0×Rm＋＋，0是映射 H（w，w（0），μ）的正則值；H－1（0）所含曲線是光滑的，其中有一條起始于（w（0），1），記作Γw（0）。

公司層面的控制是指存在于公司整體層面，對業(yè)務層面實施的控制措施產生普遍、深遠影響的控制，體現(xiàn)公司的風險管理理念、風險承受能力、公司治理監(jiān)控水平、對道德價值觀的遵守、人員素質與發(fā)展水平以及職責權力分工。根據《企業(yè)本部控制基本規(guī)范》，公司層面控制的主要內容包括內部環(huán)境、風險評估、信息與溝通及內部監(jiān)督四個部分，其基本要求主要體現(xiàn)在企業(yè)體制、機制、規(guī)章、制度等方面。

根據引理1，則知同倫曲線是存在的，下面主要證明同倫曲線的有界性。令

Ω＋（ξ）＝｛x∈Ω∶（x－ξ）T（x－ξ）T（x－Φ（x））＞0｝，Ω－（ξ）＝Ω＼Ω＋（ξ）。

引理2 設 H 如（4）所定義，假設（C1）～（C4）成立。那么對幾乎所有的 w（0）∈Ω0×Rm＋＋，如果0是映射H（w，w（0），μ）的正則值，那么w 的分量x 是有界的。證明 容易證明如下不等式成立：

若結論不成立，則存在同倫路徑上的點列｛（x（k），y（k），μk）｝使得當

根據假設（C4），則存在常數C使得

當x（k）∈Ω－（ξ）時，由（6）式，則情形不會發(fā)生。又Ω＝Ω－（ξ）∪Ω＋（ξ），因此下面只須證明w的x分量在Ω＋（ξ）內也是有界的。

再由（10）式得

當x（k）∈Ω＋（ξ）時，若‖x（k）‖→∞，因為‖x（0）－ξ‖2是常量，且μk∈（0，1］，那么存在充分大的k使得‖x（k）－ξ‖＞M，從而（11）式的左邊嚴格大于0，而（11）式的右邊嚴格小于0，矛盾。因此w的x分量在Ω＋（ξ）內也是有界的，證明完畢。

下面給出連續(xù)化方法的全局收斂性結果。

定理1 設 H 如（4）所定義，假設（C1）～（C4）成立。那么對幾乎所有的，同倫方程（4）產生一條始于（w（0），1）的光滑曲線Γw（0），并且當μ→0時，Γw（0）的極限集T×｛0｝Ω××｛0｝是非空的，且T中的每一點（x＊，y＊）的分量x＊都是Φ（x）的不動點。證明 容 易 證 明 DH （w，w（0），μ ） ＝行滿秩的，從而0是H（w，w（0），μ）的正則值。根據參數化Sard定理，對幾乎所有的w（0），0是映射 Hw（0）∶Ω×Rm＋×（0，1］→Rn＋m的正則值。再由逆象定理，H－1w（0）（0）由一些光滑曲線組成。因為 Hw（0）（w（0），1）＝0，那么存在1維的C1曲線（w（s），μ（s））（記作Γw（0））使得H（w，w（0），μ）＝0，（w（0），μ（0））＝（w（0），1）。

根據一維流形分類定理，Γw（0）或者微分同胚于單位圓或者微分同胚于單位區(qū)間。容易證明ЭHw（0）（w（0），1）／Эw 是非奇異的，因此Γw（0）微分同胚于單位區(qū)間。

設（w＊，μ＊）是Γw（0）上的極限點，那么下列情形可能發(fā)生：

（ii）若μ＊＜1，當k→∞時，因為有界的，那么（12）式的右邊是有界的，而（12）式的左邊趨于無窮，矛盾。

根據上面的討論，則知只有情形（a）發(fā)生，因此根據不動點問題的等價系統(tǒng)（2）和（3），x＊是映射Φ（x）的不動點。證明完畢。

2 數值實驗

由定理1知，幾乎對所有的w（0）∈Ω0×Rm＋＋，同倫方程（4）產生一條光滑曲線Γw（0），此曲線稱為同倫路徑，從（w（0），1）出發(fā)數值跟蹤Γw（0），直到μ→0，就能得到系統(tǒng)（2）和（3）的一個解。

通過對 H（w（s），w（0），μ（s））＝0，（s是弧長參數）求微分，得到下面的定理2。

定理2 同倫路徑Γw（0）是由下面的常微分方程的初值問題確定

至于如何跟蹤同倫路徑，現(xiàn)在已經有很多算法，可以參考文獻［11］。

容易驗證Ω無界且滿足假設（C1）～（C4）在本例中，選擇3個初始點x（0）1＝（3，－1，3），x（0）2＝（－3.5，2，3）以及x（0）3＝（2.5，4，5）。利用預估－校正算法，沿著3條不同的解曲線，可以跟蹤到Φ（x）的不動點

容易驗證Ω無界且滿足假設（C1）～（C4）。在本例中，選擇3個初始點x（0）4＝（12，－1，3）－1，13）以及x（0）6＝（12，－1，－3）。利用預估－校正算法，沿著3條不同的解曲線，可以跟蹤到Φ（x）的不動點

3 結語

已有的研究結果主要利用連續(xù)化方法求解無界凸集上的不動點問題。本文提出了一組無界性條件，從而使得連續(xù)化方法能夠處理一類無界非凸集合上的不動點問題，在較大程度上推廣了已有的研究結果。數值實驗表明本文的研究結果是有效的。由于不動點問題在微分方程領域起著重要作用，所以本文作者準備在未來的研究中把本文的研究結果推廣到微分方程領域，進而得到一些有意義的研究結果。

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