基于MSWF的初始投影向量估計(jì)方法研究＊

史文森 朱 海 彭漢國(guó)

（1.海軍潛艇學(xué)院航海觀通系 青島 266042）（2.海軍潛艇學(xué)院訓(xùn)練中心 大連 116085）

1 引言

信號(hào)子空間估計(jì)問(wèn)題已經(jīng)成為陣列信號(hào)處理中的關(guān)鍵問(wèn)題之一。傳統(tǒng)的信號(hào)子空間估計(jì)方法通常是對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解（EVD），對(duì)應(yīng)大特征值的特征向量張成信號(hào)子空間，其余特征向量張成噪聲子空間。然而EVD的計(jì)算復(fù)雜度非常高，運(yùn)算量為O（NM2＋M3），其中M為觀測(cè)數(shù)據(jù)的維數(shù)，N為形成協(xié)方差矩陣的采樣支持長(zhǎng)度［1］。在工程應(yīng)用中M和N 的維數(shù)一般較大，該方法具有較大的計(jì)算量，這給工程實(shí)現(xiàn)帶來(lái)了不便［2］。Goldstein等人在1998年提出了多級(jí)維納濾波（Multistage Wiener Filter—MSWF），它是一種有效的降維濾波技術(shù)［3～4］。多級(jí)維納濾波具有許多優(yōu)點(diǎn)：不需要估計(jì)接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣、前向遞推的次數(shù)可以小于陣列的陣元數(shù)以及收斂速度快等。但多級(jí)維納濾波需要給定某一目標(biāo)（或用戶(hù)）的信號(hào)波形（或訓(xùn)練序列），并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行子空間分解［5～6］。在陣列天線(xiàn)信號(hào)處理的過(guò)程中，目標(biāo)信號(hào)的波形、波達(dá)方向（DOA）等先驗(yàn)信息不易獲得。通常選用接收信號(hào)的時(shí)域平均作為初始估計(jì)值，這種方法將引起較大的子空間估計(jì)誤差［7～8］。

針對(duì)多級(jí)維納濾波的特點(diǎn)，本文提出了初始投影向量估計(jì)的新方法。該方法以接收信號(hào)的時(shí)域平均作為初始估計(jì)值，然后進(jìn)行兩級(jí)維納濾波，利用估計(jì)得到的數(shù)據(jù)構(gòu)造新的初始投影向量。利用新的初始投影向量作為維納濾波的初始值，能夠大大提高子空間估計(jì)的精度。

2 基于MSWF的信號(hào)子空間估計(jì)

2.1 信號(hào)模型

假設(shè)天線(xiàn)陣列有M個(gè)陣元，接收到L個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信源的信號(hào)，則M個(gè)陣元接收到的信號(hào)矢量可以表示為

其中，si（t）表示第i個(gè)信號(hào)源；a（θi，φi）表示第i個(gè)信號(hào)源的導(dǎo)向矢量；n（t）為噪聲矢量，噪聲假設(shè)為時(shí)域白、空域白的零均值平穩(wěn)高斯過(guò)程，并與信號(hào)不相關(guān)。

2.2 多級(jí)維納濾波器［3］（MSWF）

MSWF是一種有效的降秩算法，其不需要對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣求逆即可得到維納－霍夫方程的漸近最優(yōu)解，甚至不用計(jì)算觀測(cè)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣［9］。圖1給出了MSWF前向遞推的過(guò)程。

MSWF前向遞推的流程為

圖1 MSWF前向遞推的過(guò)程

通常s1（k）無(wú)法直接得到，d0（k）可由以下兩種形式估計(jì)得到［10］：

其中，a（θ0，φ0）為某一信號(hào)源的導(dǎo)向矢量。通常接收信號(hào)的先驗(yàn)信息未知，從而無(wú)法利用式（3）準(zhǔn)確估計(jì)d0（k）。

利用MSWF算法，通過(guò)D次前向遞推就可以得到D個(gè)正交向量｛h1，h2，…，hD｝，則由其張成的信號(hào)子空間為：span｛h1，h2，…，hD｝

3 初始投影向量估計(jì)

首先利用式（2）作為期望信號(hào)的估計(jì)值，進(jìn)行兩級(jí)維納濾波，如圖2所示。

圖2 兩級(jí)維納濾波器結(jié)構(gòu)圖

在第一級(jí)維納濾波中可得第一級(jí)投影向量為

其中，a（θ0，φ0）為真實(shí)的投影向量；aΔ為估計(jì)值與真值之間的誤差。

經(jīng)過(guò)一級(jí)維納濾波后可得：

進(jìn)行第二級(jí)維納濾波后可得：

其中，分子中第一項(xiàng)可表示為

分子中第二項(xiàng)可表示為

其中：

其中，K1表示X0在a（θ0，φ0）方向上的投影，K2表示X0在aΔ方向上的投影，從中可以看出，K1和K2均為標(biāo)量；Aopt和AΔ分別為真實(shí)的方向矢量和誤差方向矢量。

從而可得h2的分子為

由于h2的分母僅起到歸一化的作用，本文為了計(jì)算方便取消對(duì)h2的歸一化，即：

進(jìn)一步計(jì)算可得到d2為

由h1與h2正交可得：

由式（4）、（6）、（9）和（11）可得方程組：

解此方程組可得：

或

由于K1表示X0在a（θ0，φ0）方向上的投影，可認(rèn)為K1＞K2，于是K1和K2的取值為

從而可得：

從而可得準(zhǔn)確的初始導(dǎo)向矢量為

以矢量作為初始投影矢量可得初始期望信號(hào)為：

將此時(shí)估計(jì)得到的d0（k）作為多級(jí)維納濾波的初始期望信號(hào)進(jìn)行多級(jí)維納濾波即可。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)的條件和參數(shù)為：1）天線(xiàn)陣列是半徑為9.5cm的7元均勻圓陣；2）接收信號(hào)的載波中心頻率為16MHz，采樣率為65MHz；3）與信號(hào)互不相關(guān)的背景噪聲被假設(shè)為平穩(wěn)的均勻復(fù)高斯隨機(jī)過(guò)程，并且有零均值和方差，信噪比為；4）蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)為5000。

子空間的估計(jì)性能采用兩個(gè)指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)：1）子空間維數(shù)估計(jì)值n；2）估計(jì)信號(hào)子空間與真實(shí)信號(hào)子空間的距離dist。

實(shí)驗(yàn)1：信號(hào)源的個(gè)數(shù)為1，其信號(hào)DOA為a（10°，30°），信噪比的變化為0～30dB，變化的間隔為3dB。在每個(gè)信噪比下經(jīng)過(guò)5000次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。

圖3 信號(hào)子空間維數(shù)隨信噪比變化情況

圖4 信號(hào)子空間距離隨信噪比變化情況

實(shí)驗(yàn)2：信號(hào)源的個(gè)數(shù)為2，其信號(hào)DOA為a（10°，30°），a（100°，45°），信噪比的變化為0～30dB，變化的間隔為3dB。在每個(gè)信噪比下經(jīng)過(guò)5000次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。

圖5 信號(hào)子空間維數(shù)隨信噪比變化情況

圖6 信號(hào)子空間距離隨信噪比變化情況

實(shí)驗(yàn)3：信號(hào)源的個(gè)數(shù)為3，其信號(hào)DOA為a（10°，30°），a（100°，45°），a（200°，60°）信噪比的變化為0～30dB，變化的間隔為3dB。在每個(gè)信噪比下經(jīng)過(guò)5000次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。

圖7 信號(hào)子空間維數(shù)隨信噪比變化情況

圖8 信號(hào)子空間距離隨信噪比變化情況

比較上述3個(gè)實(shí)驗(yàn)可知：1）當(dāng)信號(hào)子空間的維數(shù)較小時(shí)，多級(jí)維納濾波采用傳統(tǒng)的方法估計(jì)期望信號(hào)，可能會(huì)導(dǎo)致估計(jì)出的子空間維數(shù)錯(cuò)誤。若在多級(jí)維納濾波前先進(jìn)行1次二階的維納濾波，得到新的期望信號(hào)，可以提高正確估計(jì)子空間維數(shù)的能力；2）利用本文提出的方法估計(jì)得到的子空間的準(zhǔn)確性較高；3）在低信噪比時(shí)信號(hào)子空間估計(jì)的誤差較大，隨著信噪比的增大，信號(hào)子空間估計(jì)的誤差減小。

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)多級(jí)維納濾波初始期望信號(hào)估計(jì)值誤差較大的特點(diǎn)，提出了一種初始投影向量估計(jì)的新方法。理論分析表明該方法可以準(zhǔn)確地獲得初始投影向量，提高子空間估計(jì)的精度，而且沒(méi)有增加工程實(shí)現(xiàn)的難度。大量的仿真實(shí)驗(yàn)表明利用該方法獲得初始投影向量后的多級(jí)維納濾波器性能有了很大改善。特別是當(dāng)信號(hào)子空間維數(shù)較小時(shí)該方法的優(yōu)點(diǎn)更加突出。

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