數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

范媛媛

（滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 滁州 239000）

數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

范媛媛

（滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 滁州 239000）

高等數(shù)學(xué)是理工科大學(xué)生必修的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課程，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的思想，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣.提出了基于案例驅(qū)動(dòng)的課堂教學(xué)、積極開展數(shù)學(xué)課外活動(dòng)、合理利用數(shù)學(xué)軟件，借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等措施把數(shù)學(xué)建模思想融入到高等數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié).

高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)

1 引言

高等數(shù)學(xué)作為理工科大學(xué)生必修的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，對于培養(yǎng)大學(xué)生的理性思維能力和科學(xué)處理實(shí)際問題的嚴(yán)謹(jǐn)性等方面，具有其它課程都無法取代的作用[1].對于我們每一個(gè)講授高等數(shù)學(xué)課程的教師來說，在上第一節(jié)課的時(shí)候，按慣例都會闡述一下課程的重要性，一方面要強(qiáng)調(diào)這門課程的基礎(chǔ)性作用；另一方面，免不了都要說它在實(shí)際中有多么重要的應(yīng)用價(jià)值等等.對大多數(shù)學(xué)生來說，可能對這門課程在實(shí)際中的應(yīng)用更感興趣，但是在實(shí)際教學(xué)過程中，教師卻很少真正去解決一些實(shí)際問題，理論和實(shí)際有些脫節(jié)，長期以來，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)活動(dòng)還是以講授微積分的相關(guān)理論和訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算技巧為主.如果教師能在教學(xué)過程中適當(dāng)融入數(shù)學(xué)建模的思想方法，在理論講解的同時(shí)注意培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用理論知識處理實(shí)際問題的能力，不僅可以糾正部分學(xué)生所認(rèn)為的“高等數(shù)學(xué)無用”的思想，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣.

2 數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的必要性

數(shù)學(xué)建模就是利用數(shù)學(xué)理論解決實(shí)際問題的一種思想方法，它是將數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問題聯(lián)系起來的橋梁，也就是將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言來描述和解決.數(shù)學(xué)建模的人才具有一種特有的能力——“雙向翻譯能力”，即可以將實(shí)際問題簡化抽象為數(shù)學(xué)問題——建立數(shù)學(xué)模型；然后利用計(jì)算機(jī)等工具求解數(shù)學(xué)模型，再將求解結(jié)果返回到實(shí)際中去，并用來分析解決實(shí)際問題[2,3].

大學(xué)數(shù)學(xué)教育的思想核心應(yīng)該是保證學(xué)生掌握理論基礎(chǔ)知識的同時(shí)，注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決實(shí)際問題的能力，而數(shù)學(xué)建模就是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的有效途徑[4,5].在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際問題和社會實(shí)踐的意識，加強(qiáng)學(xué)生在解決問題的過程中養(yǎng)成的團(tuán)結(jié)合作的精神以及交流、表達(dá)的能力.另外，還可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的不足，促進(jìn)高校數(shù)學(xué)教師對知識的更新.

3 數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體措施

在培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)造性思維、意識和能力等方面，數(shù)學(xué)建模的思想方法具有重要的意義和良好的效果.但在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想方法，我們應(yīng)該注意兩個(gè)問題:一是教學(xué)中必須合理安排教學(xué)內(nèi)容，要以高等數(shù)學(xué)教學(xué)為主，建模過程為輔，以確保高等數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)能夠順利完成；二是教學(xué)中要以介紹建模的思想、方法為主，提高建模能力為輔，因?yàn)楫吘共皇菙?shù)學(xué)建模課程，所以所選實(shí)例不宜過于復(fù)雜.

3.1 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念與實(shí)際問題的聯(lián)系

高等數(shù)學(xué)中許多概念定義的產(chǎn)生都是有其實(shí)際背景的，所以應(yīng)該從實(shí)際問題中引入概念，在教學(xué)中重視從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和掌握以及與實(shí)際問題的聯(lián)系.例如：教材中以“ε-N”、“ε-δ”語言給出了數(shù)列極限以及函數(shù)極限概念的精確描述.但是這種描述對于初學(xué)者而言非常地抽象和難以理解，學(xué)生只能不加理解地死記硬背，而不能理解其真正的內(nèi)涵.為了解決這個(gè)問題,教學(xué)中可從實(shí)際問題中引入極限的思想，如我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)、幾何圖形按一定規(guī)則的變化趨勢、一條曲線上點(diǎn)的變化過程等等.在實(shí)際問題中給學(xué)生展示極限定義的形成過程，讓學(xué)生理解極限定義的本質(zhì)，能夠輕松掌握利用“ε-N”、“ε-δ”語言證明有關(guān)極限問題的解題思路和解題方法.

又比如在講授導(dǎo)數(shù)這個(gè)概念時(shí)，我們是利用瞬時(shí)速度和切線斜率的共性抽象出來的函數(shù)變化率給出的導(dǎo)數(shù)的定義，但是導(dǎo)數(shù)的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了斜率和速度的范疇，它滲透到了科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域.教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)種群的生長率和死亡率、放射性物質(zhì)的衰變率、冷卻過程的溫度變化率、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際函數(shù)等等與函數(shù)變化率有關(guān)的實(shí)際問題都是與導(dǎo)數(shù)的概念有關(guān)的.這樣學(xué)生不僅能夠深刻體會到數(shù)學(xué)概念的實(shí)際背景與應(yīng)用價(jià)值,同時(shí)也會被導(dǎo)數(shù)的巨大魅力所傾倒.

3.2 基于案例驅(qū)動(dòng)的課堂教學(xué)

案例驅(qū)動(dòng)是教師根據(jù)課堂教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容的需要，通過設(shè)置具體案例，引導(dǎo)學(xué)生參與分析、討論、表達(dá)等活動(dòng)，進(jìn)而提高學(xué)生分析問題和解決問題能力的一種教學(xué)方式.其本質(zhì)是理論與實(shí)踐相結(jié)合的互動(dòng)式教學(xué).與傳統(tǒng)教學(xué)相比，案例驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方式顯示出理論聯(lián)系實(shí)際，促進(jìn)學(xué)生重視實(shí)際應(yīng)用的優(yōu)越性.在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)活動(dòng)中，我們可以根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，選編相應(yīng)的實(shí)際應(yīng)用問題進(jìn)行案例教學(xué).

例如定積分的應(yīng)用其實(shí)就是“元素法”的思想，在講解定積分應(yīng)用時(shí)，我們可以提出這樣一個(gè)問題：

例1 某城市居民人口分布密度的數(shù)學(xué)模型是

其中r(km)是離開市中心的距離，P(r)的單位是10萬人/km2.求在離市中心10km范圍內(nèi)的人口數(shù).(人口分布問題)又如微分方程建模主要用于自然科學(xué)（如捕食問題）和社會科學(xué)方面（如人口預(yù)測、新產(chǎn)品的推廣、減肥問題等）的研究.在講解到微分方程時(shí)，我們可以提出這樣一個(gè)具體問題：

例2 某地區(qū)的人口數(shù)y與時(shí)間t有關(guān)，且人口增長率與(N-y)成正比.若初始時(shí)刻t=0時(shí)的人口數(shù)為y0.求人口數(shù)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系？

但是特別要注意的是，我們設(shè)計(jì)的教學(xué)案例應(yīng)該要遵循以下幾條原則：

（1）案例要與教學(xué)內(nèi)容緊密聯(lián)系，選編的教學(xué)案例要能用所學(xué)理論知識來解決；

（2）案例最好是學(xué)生感興趣的問題，如經(jīng)濟(jì)中的熱點(diǎn)問題或生活中的熱門話題等；

（3）案例要具有科學(xué)性，即所選編的教學(xué)案例必須符合實(shí)際.

3.3 大力開展數(shù)學(xué)課外活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生積極參加數(shù)學(xué)建模競賽

大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽最早是1985年在美國出現(xiàn)的，1989年北京大學(xué)、清華大學(xué)和北京理工大學(xué)首次組織學(xué)生參加美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（MCM/ICM），目前全國各理工科院?；径奸_設(shè)了《數(shù)學(xué)建模》課程，并組織學(xué)生積極參與“全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽”和MCM/ICM的活動(dòng).

大力開展數(shù)學(xué)課外活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生積極參加數(shù)學(xué)建模競賽是高等數(shù)學(xué)課程的延續(xù)、補(bǔ)充和升華，在活動(dòng)中可以培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神和互助合作的能力，對于畢業(yè)后走上工作崗位有很大的幫助.我們可以采取每個(gè)月針對所學(xué)的內(nèi)容開展一次數(shù)學(xué)建模課外活動(dòng)，在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中，學(xué)生可以鞏固和加強(qiáng)對課堂教學(xué)內(nèi)容的理解和掌握.而且從某種意義上說，數(shù)學(xué)建模就是一個(gè)小型領(lǐng)域的科研活動(dòng)，讓學(xué)生通過此項(xiàng)課外活動(dòng)更早的接觸到科研方法，能夠培養(yǎng)學(xué)生自覺地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、方法去觀察、分析、解決生活和科技中的實(shí)際問題，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).而且通過此項(xiàng)課外活動(dòng)，學(xué)生儲備了一定的建模知識，為參加數(shù)學(xué)建模競賽也打下了基礎(chǔ).

3.4 合理利用數(shù)學(xué)軟件，適當(dāng)增加上機(jī)實(shí)驗(yàn)

隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用和數(shù)學(xué)軟件的迅速發(fā)展，許多復(fù)雜的推導(dǎo)都可以利用計(jì)算機(jī)編程來實(shí)現(xiàn)，許多難以用手工畫出的圖形也可以在計(jì)算機(jī)屏幕上直觀地顯示出來，這肯定會對包括高等數(shù)學(xué)在內(nèi)的許多課程的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)手段產(chǎn)生深刻的影響.在教學(xué)過程中我們可以合理地利用數(shù)學(xué)軟件，通過幾何直觀、數(shù)值分析和符號推演三者相結(jié)合的方式，促使學(xué)生加深對理論知識的理解和掌握，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果.

而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)的是如何培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題和數(shù)學(xué)理論聯(lián)系起來，自覺地從一些觀察到的現(xiàn)象中歸納數(shù)學(xué)規(guī)律、建立數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法予以解決，學(xué)生在這一過程中一直是參與的主體.這種創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)方法在學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和創(chuàng)新能力培養(yǎng)方面起到了積極的作用.所以在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，可以適當(dāng)增加些上機(jī)實(shí)驗(yàn)的課時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)造性思維.

4 結(jié)語

總之，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的思想方法不僅能夠激發(fā)大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，體會高等數(shù)學(xué)的實(shí)際實(shí)用價(jià)值，而且能夠培養(yǎng)大學(xué)生的辯證邏輯思維、創(chuàng)造性思維以及元認(rèn)知能力.在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，在培養(yǎng)和提高學(xué)生的想象力、洞察力和創(chuàng)造力的同時(shí)，對學(xué)生自身綜合素質(zhì)的提升也有著重要的意義和深遠(yuǎn)的影響.

〔1〕李秀林.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的探討[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報(bào),2009,25(8):40-41.

〔2〕李薇,李衛(wèi)軍,戴明強(qiáng).將建模思想融入數(shù)學(xué)教學(xué),培養(yǎng)大學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)[J].湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào),2009,29(3):108-111.

〔3〕林昕茜.數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用價(jià)值的研究[J].桂林電子科技大學(xué)學(xué)報(bào),2009,29(2):155-158.

〔4〕盧喜森.數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)應(yīng)用[J].廣西大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003,28(10):25-27.

〔5〕原乃冬.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想的嘗試[J].綏化學(xué)院學(xué)報(bào),2005,25(4)：134-135.

G642

A

1673-260X（2012）05-0026-02

滁州學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)項(xiàng)目