汪 俊WANG Jun
(廣州城市職業(yè)學院 信息與汽車工程學院,廣州 510405)
干摩擦廣泛存在于機械系統(tǒng)的摩擦副中,如金屬絲減振器,金屬橡膠元件,車輛中離合器的主動盤與從動盤的摩擦面中,如圖1所示。其減振的頻帶寬,可有效的降低系統(tǒng)的振幅,是一類行之有效的被動隔振和減振裝置,因此得到了工業(yè)界的廣泛關注。
圖1 離合器中的干摩擦交接面
由于干摩擦力學特性的強非線性(如回復力與位移曲線呈遲滯特性),使得干摩擦元件的設計較為困難,通常依靠經(jīng)驗或大量的試驗試制等手段進行設計,成本高,周期長。為此,建立合理的干摩擦力學模型和推導計算量適當?shù)臄?shù)值方法就顯得尤為重要。至上世紀三十年代以來,國內(nèi)外眾多學者對此展開了大量研究。
Den.Hartog在1931年提出了理想的干摩擦模型(coulomb模型)。假設一物體在干摩擦交接面上運動,干摩擦阻力總是阻礙運動,因此,干摩擦力的方向總與運動方向相反,但其大小不變。從時域上看,干摩擦阻力的波形為方波,其變化規(guī)律可表示如下:
其中,F(xiàn)t為干摩擦阻力的大小, 為物體的運動速度。
Den.Hartog的模型表達了理想的干摩擦。然而,大量的實驗研究表明,物體與干摩擦表面相接觸時,物體速度方向的改變并不是突然發(fā)生的,而是存在一個過渡過程。由于接觸面本身有一定的彈性,在外力的作用下,造成了接觸面有一定的彈性變形。當外力的方向改變時,物體的運動方向并沒有立刻改變,當外力的大小增大到一定程度,物體與接觸面才產(chǎn)生相對位移。
考慮到接觸面的彈性性質(zhì),Iwan在1961年提出了著名的雙折線遲滯模型,該模型將干摩擦阻力看成一根彈簧和一個標準的coulomb摩擦副串聯(lián),且能更好的表達干摩擦阻力的非線性性質(zhì)。
本文針對一個含有干摩擦元件的單自由度系統(tǒng),實測了其在諧波激勵下出現(xiàn)的粘滑運動,并將計算值與實測值進行了對比。結(jié)果表明,文中給出的建模和計算方法是有效的。
測試對象為一含干摩擦的單自由度系統(tǒng),圖2為測試原理圖。由MTS的作動端對物體施加垂直方向的位移激勵x (t)=x0+xmsin (2π ft),其中,f為激勵頻率(Hz),xm為激勵幅值(mm),x0(mm)為預載。圖2中,OA所示的位置是初始位置。在預載x0的作用下,OA由初始位置運動至水平位置OB,然后在水平位置OB附近作往復擺動。
假設在位移激勵Δx下,OB運動到了OC。假設OA的長度為l,則的擺角為:
圖3為時間-擺角關系的測試結(jié)果,可見單自由度系統(tǒng)時間—擺角呈現(xiàn)明顯的粘-滑運動。
圖2 單自由度運動響應測試原理
圖3 單自由度系統(tǒng)的粘-滑運動
研究對象為圖3所示的振動系統(tǒng)。該系統(tǒng)由兩輪、一帶和一個集中質(zhì)量組成。其中,集中質(zhì)量連接彈簧k (N/m),阻尼c (Ns/m),集中質(zhì)量受到幅值為P (N)、頻率為ω (rad/s)、相位為0度的激勵力作用。假設集中質(zhì)量與帶之間的摩擦為干摩擦,則該集中質(zhì)量的受力情況與圖2中的單自由度物體類似。文中只考慮集中質(zhì)量在力激勵作用下的位移的時域響應和頻域響應,不計算兩輪和帶的運動,因此,圖1中振動系統(tǒng)可視為單自由度系統(tǒng)。
以地面為參考坐標系,以集中質(zhì)量的靜平衡位置為坐標原點,設集中質(zhì)量的位移為x (m)且向右為正,帶的速度為vb(m/s),干摩擦為Z (t),則集中質(zhì)量的運動微分方程為:
由于干摩擦的作用,使得集中質(zhì)量的運動出現(xiàn)滑移—粘著—滑移交替出現(xiàn)的情況,因此分別討論滑移、粘著時的運動方程及相應的解。
其中,Z (t)表示干摩擦的大小為時間的函數(shù),其增量形式的本構(gòu)關系為:
圖4 包含雙折線模型的單自由度振動系統(tǒng)
由于干摩擦的作用,使得集中質(zhì)量的運動出現(xiàn)滑移—粘著—滑移交替出現(xiàn)的情況,因此分別討論滑移、粘著時的運動方程及相應的解。
當集中質(zhì)量的運動為滑移時,在用雙折線模型描述干摩擦力的情況下,干摩擦相當于剛度為ks的彈簧,因此,式(3)變?yōu)椋?/p>
定義如下的變量:
則(6)變?yōu)椋?/p>
式(8)為二階常系數(shù)非齊次微分方程,其解由對應的齊次微分方程的通解和非齊次微分方程的特解組成。通解只對應于振動響應的過渡階段,會隨時間推移而消失,因此不予考慮??稍O式(8)的特解的形式為:
其中:
其中,xslip為當集中質(zhì)量由滑移變?yōu)檎持鴷r的臨界點所對應的位移,t為粘著段對應的時間區(qū)間的長度。
當滑移和粘著的運動方程分別確定后,集中質(zhì)量的時域位移響應可在滑移、粘著段分段可導,因此,求解滑移—粘著—滑移變化的臨界時刻就十分重要。當集中質(zhì)量的速度 時,系統(tǒng)由滑移變?yōu)檎持?,因此可?作為判斷臨界時刻的標準。
本文采取變步長法,求解滑移—粘著的臨界時刻,圖5為計算程序的流程圖。集中質(zhì)量處于粘著的時間與處于滑移的時間之和為周期的一半,因此粘著—滑移轉(zhuǎn)變的臨界時刻可由此確定。
由于雙折線本構(gòu)關系Z (t)為非線性的泛函,其示意圖如圖6所示,造成直接求頻響方程十分困難,因此考慮Z (t)的簡化形式。
雙折線遲滯模型的阻力具有周期性,且沒有第一類間斷點,并絕對可積,因此,可將其阻力展開成Fourier級數(shù)。
如圖7所示,可將雙折線遲滯模型的阻力分段表示:
在2處,1—2與2—3分別表示的分段函數(shù)應連續(xù),可得:
圖5 臨界時刻計算流程圖
圖6 雙折線示意圖
xy為雙折線本構(gòu)關系的滑移極限。所以,利用分段積分定理,可得阻力F的Fourier級數(shù)為:
其中:
以往的文獻曾對式(12)進行頻譜分析,指出,式(12)中的高次諧波位移與基頻位移之比均低于5.5%,甚至往往低于1%。因此,可取式(13)中n=1的各項來近似代替雙折線遲滯模型的阻力。
當n=1時,簡化后可得:
因此,雙折線遲滯模型的等效阻力為:
將式(13)代入式(1)中,再對式(1)進行傅里葉變換,經(jīng)整理、簡化后最終可得:
其中,xm為集中質(zhì)量位移響應的幅值,利用Newton迭代法求解非線性方程(18)即可得到集中質(zhì)量的幅頻響應曲線。
為分析不同的系統(tǒng)參數(shù)對集中質(zhì)量粘滑運動的影響,在幅值為20N,頻率為5HZ的簡諧激勵下,分別計算了不同參數(shù)時系統(tǒng)的時域位移響應。系統(tǒng)的各參數(shù)如表1所示。
表1 系統(tǒng)參數(shù)
為分析不同的系統(tǒng)參數(shù)對集中質(zhì)量粘滑運動的影響,在幅值為20N,頻率為5HZ的簡諧激勵下,分別計算了不同參數(shù)時系統(tǒng)的時域位移響應。系統(tǒng)的各參數(shù)如表1所示。圖7為集中質(zhì)量的位移響應。由圖7可見,文中的計算方法可表征集中質(zhì)量的粘滑運動,且?guī)俚拇笮ξ灰频姆涤杏绊懀瑤僭龃髸r位移的幅值增大。
4.1.1 不同阻尼時集中質(zhì)量的位移響應
圖8為集中質(zhì)量的位移響應,由圖8可見,阻尼的大小對位移的幅值有影響,帶速增大時位移的幅值減小。
圖7 集中質(zhì)量位移響應
圖8 集中質(zhì)量位移響應 (m=0.5,k=10,zs=20,ks=25)
圖9 集中質(zhì)量位移響應 (c=0.5,m=0.5,zs=20,ks=25)
4.1.2 不同剛度時集中質(zhì)量的位移響應
由圖9可見,剛度k的大小對位移的幅值有影響,k增大時位移的幅值減小。
取系統(tǒng)參數(shù)為 m=0.05,c=0.5,k=25,zs=20,ks=22,在幅值為30N,頻率為0~10HZ掃頻的激勵下,計算集中質(zhì)量的幅頻響應,結(jié)果如圖10所示。可見當激勵頻率為5.1HZ左右時,幅頻響應達到峰值。
圖10 集中質(zhì)量的幅頻響應曲線
文中給出了干摩擦系統(tǒng)的建模及計算方法,分析了干摩擦系統(tǒng)中的參數(shù)對系統(tǒng)響應的影響,結(jié)果表明,文中的建模和數(shù)值方法是有效的,可供干摩擦設計借鑒。
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