基于模糊距離變換的骨架剪枝算法

張國(guó)棟，韓佳池

(沈陽航空航天大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，沈陽 110136)

骨架作為一種簡(jiǎn)單的物體形狀表示方式，不僅結(jié)合了物體的輪廓和區(qū)域信息，同時(shí)反應(yīng)了物體重要的視覺信息，能夠方便的實(shí)現(xiàn)物體的特征匹配?；诠羌艿哪繕?biāo)表示和識(shí)別技術(shù)是模式識(shí)別和計(jì)算機(jī)視覺的重要研究?jī)?nèi)容，被廣泛的應(yīng)用于字符識(shí)別、指紋識(shí)別及醫(yī)學(xué)圖像分析等領(lǐng)域。

目前最具代表性的骨架定義主要有兩種。一種是火燒1模型(Grassfire)，該模型假設(shè)物體邊界點(diǎn)上的火源同時(shí)向內(nèi)燃燒，火焰成等距同心圓向內(nèi)推進(jìn)，兩圓的切點(diǎn)就是物體的骨架點(diǎn)。細(xì)化法(Thinning)是模擬燒草模型的典型代表。傳統(tǒng)的細(xì)化算法能夠很好的保證骨架的連通性，但不能保證骨架點(diǎn)的準(zhǔn)確性。另一種是最大圓定義法(maximal disk)，將骨架定義為物體內(nèi)最大圓圓心的集合［1］?；诰嚯x變換的骨架提取算法就是利用最大圓的理論，將任意點(diǎn)的距離變換值作為圓的半徑，比較所有內(nèi)切圓的包含關(guān)系最終找到最大圓的圓心。基于距離變換的骨架算法能夠保證骨架的正確位置，確保骨架的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，但缺點(diǎn)是不能保證骨架的連通性。典型的骨架生成算法無法避免的導(dǎo)致骨架產(chǎn)生過多的毛刺狀分枝，通常都需要一些后期的處理，因此骨架剪枝技術(shù)就成為一種輔助需要［2－3］。

模糊距離變換結(jié)合了距離變換與模糊理論的雙重特點(diǎn)，因此同距離變換一樣模糊距離變換也能夠反應(yīng)物體的中軸信息。與此同時(shí)，由于模糊距離變換是對(duì)灰度圖像的操作，同時(shí)考慮了圖像的灰度信息和位置信息，因此相較于距離變換來說具有更強(qiáng)的穩(wěn)定性，并且能夠加精確的反應(yīng)物體骨架點(diǎn)位置。對(duì)于邊界模糊的物體不再需要對(duì)其進(jìn)行二值化操作，在處理模糊圖像時(shí)這一特性解決了難于對(duì)模糊圖像二值化的問題。通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，使用模糊距離變換值作為衡量骨架分支重要程度的標(biāo)準(zhǔn)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)物體粗骨架的剪枝操作。

本文提出的剪枝算法依據(jù)模糊距離變化這一理論基礎(chǔ)，在物體粗骨架圖中計(jì)算與骨架點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的模糊距離變換值，利用模糊距離變換值作為骨架分枝的顯著性度量標(biāo)準(zhǔn)，選取有效的剪枝閾值，通過分級(jí)剪枝操作去除骨架中的毛刺。

1 算法基本理論

1.1 基于模糊理論的模糊距離變換

距離變換作為一種有效的方法被廣泛的應(yīng)用于目標(biāo)識(shí)別和圖像處理領(lǐng)域。距離變換是針對(duì)二值圖像的操作，表示目標(biāo)點(diǎn)到距其最近背景點(diǎn)的距離。由于距離變換的定義無法有效的應(yīng)用于模糊對(duì)象中，因此我們將在模糊對(duì)象中的距離變換稱作模糊距離變換［4］。模糊距離變換是對(duì)灰度圖像的操作，它同時(shí)考慮了圖像的灰度信息和距離信息。模糊距離變換通過引入一個(gè)隸屬度函數(shù)，拓寬了距離變換的應(yīng)用范圍，使其可以用于解決模糊對(duì)象問題。模糊距離變換(fuzzy distance transform，F(xiàn)DT)是模糊子集上的一個(gè)路徑長(zhǎng)度，是兩點(diǎn)之間所有路徑長(zhǎng)度的最小值［5］。下面給出模糊距離變換在數(shù)字網(wǎng)格空間中的定義和實(shí)現(xiàn)算法。

定義1(隸屬度函數(shù))設(shè)X是一個(gè)集合，S是X的模糊子集，則S是一個(gè)有序?qū)?，S={(x，μs(x))|x∈X}其中 μs(x):X→［0，1］是集合 S 的隸屬度函數(shù)。

定義2(支持域)o描述模糊分割后的目標(biāo)物體，目標(biāo)物體o的支撐域Θ(O)是所有隸屬度函數(shù)值不為零的像素的集合，如公式(1)所示。

定義3(鏈接)相鄰兩點(diǎn)p和q之間的長(zhǎng)度定義為鏈接〈p，q〉，鏈接〈p，q〉的長(zhǎng)度如公式(2)所示。

定義4(路徑)在集合S中，點(diǎn)p∈S到點(diǎn)q∈S的路徑 π 是一個(gè)連續(xù)序列，〈p=p1，p2，…，pm=q〉其中 pi∈S，1≤i≤m，對(duì)于任意的1≤j≤m，pj與pj+1是鄰接關(guān)系。

定義5(路徑長(zhǎng)度)路徑 π=〈p=p1，p2，…，pm=q〉的長(zhǎng)度記為Πo(π)，是路徑π上所有鏈接的和，如公式(3)所示。

假設(shè)P(p，q)表示p點(diǎn)到q點(diǎn)間所有路徑的集合，對(duì)于任意的路徑 π∈P(p，q)，如果滿足 Πo(πp，q)≤Πo(π)，則稱 πp，q∈P(p，q)是 p 點(diǎn)到 q點(diǎn)的一條最短路徑。用ωo(p，q)表示p點(diǎn)到q點(diǎn)的模糊距離，即從p到q的最短路徑的長(zhǎng)度，如公式(4)所示。

定義6(模糊距離)在數(shù)字空間中，Ωo(p)表示模糊對(duì)象中p點(diǎn)的模糊距離變換值，是p點(diǎn)到距其最近的背景點(diǎn)的模糊距離，如公式(5)所示。

本文使用Punam K.Saha提出的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法計(jì)算物體的FDT值。

1.2 骨架中點(diǎn)的類型

實(shí)現(xiàn)骨架剪枝算法的關(guān)鍵之一在于找到骨架的各個(gè)分枝。骨架中的每個(gè)分枝都是由骨架上的點(diǎn)組成，因此分清骨架中點(diǎn)的類型則變得極為重要。骨架中的點(diǎn)主要分為3種，即端點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)和一般點(diǎn)。其中一般點(diǎn)是骨架的主要組成部分，節(jié)點(diǎn)和端點(diǎn)則出現(xiàn)在骨架發(fā)生劇烈變化的地方，他們反應(yīng)了骨架主要的拓?fù)渥兓?。將?jié)點(diǎn)和端點(diǎn)統(tǒng)稱為特殊骨架點(diǎn)。下面給出骨架點(diǎn)的具體描述。

對(duì)于任意骨架點(diǎn)p的8－鄰域范圍內(nèi)僅存在一個(gè)骨架點(diǎn)時(shí)，我們稱它為端點(diǎn)。端點(diǎn)標(biāo)識(shí)骨架每個(gè)分支的起點(diǎn)。對(duì)于任意的骨架點(diǎn)p的8－鄰域范圍內(nèi)存在至少兩個(gè)骨架點(diǎn)時(shí)，我們稱它為節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)是骨架不同部分的交匯點(diǎn)。若節(jié)點(diǎn)的8－鄰域范圍內(nèi)存在3個(gè)骨架點(diǎn)且任意兩個(gè)骨架點(diǎn)不相鄰，則此節(jié)點(diǎn)有3個(gè)分枝，稱p為三分枝節(jié)點(diǎn)。如果任意的節(jié)點(diǎn)p存在至少兩個(gè)尾枝，則稱它為多尾枝節(jié)點(diǎn)。去除端點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)后，骨架中其它點(diǎn)的8－鄰域范圍內(nèi)存在兩個(gè)骨架點(diǎn)，我們稱他們?yōu)橐话泓c(diǎn)。

骨架的一般點(diǎn)構(gòu)成的連通集合稱為骨架段。由定義可以看出骨架中大部分的點(diǎn)都是一般點(diǎn)。連通任意兩個(gè)特殊骨架點(diǎn)且不通過第3個(gè)特殊骨架點(diǎn)并且具有惟一連通通路的骨架段稱為骨架的分枝。將節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間的骨架稱為一般分枝，將節(jié)點(diǎn)與端點(diǎn)之間的骨架稱為尾枝。由任意端點(diǎn)可以惟一的確定一條尾枝。將由同一節(jié)點(diǎn)引出的多個(gè)尾枝中不符合條件的尾枝稱為毛刺。將非毛刺的尾枝稱為一般尾枝。

2 算法實(shí)現(xiàn)

2.1 算法基本原理

本文提出的基于模糊距離變換的骨架剪枝算法，在對(duì)模糊距離變換圖像成像特點(diǎn)分析的基礎(chǔ)上，在粗骨架中使用模糊距離變換值作為骨架點(diǎn)的權(quán)值，按照規(guī)定的剪枝規(guī)則和設(shè)定的剪枝閾值，實(shí)現(xiàn)對(duì)粗骨架圖像進(jìn)行分級(jí)的骨架剪枝操作，最終得到只反映物體主要拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的骨架。

圖1 算法流程

圖1給出了該算法的基本流程。首先對(duì)原始圖像做去噪聲、計(jì)算隸屬度等預(yù)處理;然后使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法對(duì)預(yù)處理后的圖像進(jìn)行模糊距離變換操作，同時(shí)使用現(xiàn)有的形態(tài)學(xué)骨架提取算法獲得目標(biāo)物體的粗骨架圖像;接下來結(jié)合上一步驟所得到的粗骨架圖像和模糊距離變換圖像獲得帶權(quán)值的骨架圖;最后結(jié)合骨架的最小尾枝權(quán)值和當(dāng)前尾枝權(quán)值確定動(dòng)態(tài)剪枝閾值，并結(jié)合分級(jí)的剪枝規(guī)則實(shí)現(xiàn)剪枝操作。

2.2 算法描述

2.2.1 骨架權(quán)值計(jì)算

通過模糊距離變換我們得到了一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)，即模糊距離變換場(chǎng)。按照骨架的最大圓定義可以發(fā)現(xiàn)模糊距離變換與骨架之間有著某種聯(lián)系［6］，骨架點(diǎn)處的模糊距離變換值比其大多數(shù)相鄰點(diǎn)的模糊距離變換值要大。因此，利用模糊距離變換值作為骨架分枝的權(quán)值，對(duì)粗骨架進(jìn)行剪枝操作將會(huì)得到良好的效果。在計(jì)算圖像的模糊距離變換時(shí)使用1.1節(jié)中所介紹的距離計(jì)算公式和實(shí)現(xiàn)方法，選取高斯函數(shù)為隸屬度函數(shù)，如公式(6)所示。

其中f是圖像灰度函數(shù)，mA和σA分別是灰度的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，Gma，σA是未規(guī)范化的高斯函數(shù)。

圖2(a)為由彩色圖像得到的灰度圖，圖2(b)表示了圖2(a)中物體的模糊距離變換，亮色處表示數(shù)值較大的位置，圖2(c)為利用matlab自帶函數(shù)bwmorph得到的物體粗骨架圖。從圖2(b)中可以看到，模糊距離變換圖像的脊線能夠精確的表示物體的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。從圖2(c)中我們可以看到，由函數(shù)bwmorph得到的骨架中，除了能夠反應(yīng)物體拓?fù)涮卣鞯年P(guān)鍵分枝外，在每條關(guān)鍵分枝上還存在很多細(xì)小的多余分枝，這些多余分枝會(huì)直接影響后續(xù)目標(biāo)識(shí)別和特征提取等操作的效果及正確性。這里我們使用模糊距離變換作為剪枝權(quán)值同時(shí)結(jié)合了骨架的位置和灰度信息，與文獻(xiàn)［3］中使用的受圖像形狀因素影響過大的方法相比有更好的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。

圖2 物體灰度圖、物體FDT圖、物體的粗骨架圖、物體的帶權(quán)值骨架圖

利用粗骨架上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的模糊距離變換值便可以得到帶權(quán)值的粗骨架圖，如圖2(d)所示。具體步驟如下。

步驟1:利用bwmorph函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行骨架提取，得到粗骨架圖像。

步驟2:利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法對(duì)圖像進(jìn)行模糊距離變換計(jì)算，得到圖像的模糊距離變換圖。

步驟3:合并(1)(2)得到的結(jié)果，即得到帶權(quán)值的粗骨架圖像，該骨架圖反映了骨架的不同等級(jí)信息。

2.2.2 剪枝閾值的確定

剪枝閾值作為判斷尾枝是否為毛刺的依據(jù)，對(duì)骨架的剪枝效果起到了決定性的作用。在粗骨架圖中檢測(cè)并標(biāo)記骨架的端點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)。從骨架的每一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)，對(duì)骨架進(jìn)行跟蹤，直至跟蹤到一個(gè)節(jié)點(diǎn)，得到一條尾枝，將尾枝上所有骨架點(diǎn)的值進(jìn)行累加作為該尾枝的權(quán)值。設(shè)置一個(gè)能夠反映尾枝重要程度的剪枝閾值。將尾枝的權(quán)值與剪枝閾值做比較來判定該尾枝是否是骨架的毛刺。被判定為毛刺的尾枝意味著它是由噪聲或細(xì)節(jié)產(chǎn)生的，在目標(biāo)匹配中將不予以考慮。如果被判定為一般尾枝，則說明它能夠反映目標(biāo)的重要形態(tài)結(jié)構(gòu)，對(duì)后期工作的開展意義重大。

剪枝閾值(Ath)的選取必須能夠動(dòng)態(tài)的表征全局信息，并且能夠體現(xiàn)當(dāng)前尾枝的信息，這樣才能保證快速、有效的實(shí)現(xiàn)骨架剪枝操作。設(shè)骨架中尾枝權(quán)值的最小值為 Amin，當(dāng)前尾枝權(quán)值為Anow，剪枝閾值如公式(7)所示。

每次刪除毛刺都會(huì)影響到Amin的值，隨著剪枝次數(shù)的增加Amin的值在不斷增大，說明Amin能夠動(dòng)態(tài)的表示骨架的全局信息，這也是我們?cè)谶x取剪枝閾值時(shí)使用Amin值的主要原因。

2.2.3 骨架的分級(jí)剪枝

由于刪除毛刺的同時(shí)會(huì)導(dǎo)致新的毛刺的產(chǎn)生，因此骨架剪枝不可能一步完成，必須分級(jí)進(jìn)行處理，級(jí)別由小到大會(huì)導(dǎo)致剪枝后的骨架結(jié)構(gòu)由繁到簡(jiǎn)。適度的把握剪枝級(jí)別有助于得到精確的骨架結(jié)構(gòu)。級(jí)別過小會(huì)導(dǎo)致骨架分枝過多，無法準(zhǔn)確的反映物體的真實(shí)結(jié)構(gòu);級(jí)別過大會(huì)導(dǎo)致骨架分枝過少，無法正確表示骨架的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，最終導(dǎo)致錯(cuò)誤的表現(xiàn)物體的形狀及形態(tài)。

為了實(shí)現(xiàn)分級(jí)剪枝，設(shè)計(jì)如下的剪枝規(guī)則。如果節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)尾枝，則將尾枝的權(quán)值與剪枝閾值做比較，若尾枝的權(quán)值小于剪枝閾值，則認(rèn)為該尾枝并非是目標(biāo)的結(jié)構(gòu)信息，應(yīng)將其作為毛刺去除，否則保留。如果節(jié)點(diǎn)為多尾枝節(jié)點(diǎn)，則需對(duì)其進(jìn)行分類處理，首先將小于閾值的尾枝去除，若仍存在兩條的尾枝，則比較兩尾枝權(quán)值的差值與閾值的大小，找到毛刺尾枝予以去除。

每次剪枝后，骨架中端點(diǎn)和分叉點(diǎn)的信息都會(huì)改變，因此每次剪枝結(jié)束后都需要重新檢測(cè)骨架中的端點(diǎn)和分叉點(diǎn)。尾枝類型的轉(zhuǎn)換及骨架點(diǎn)的更新原則。假設(shè)由節(jié)點(diǎn)p引出n條尾枝，如果p的k(k＜n)條尾枝被去除，骨架的端點(diǎn)數(shù)減少k個(gè)，節(jié)點(diǎn)p變?yōu)?n－k)條尾枝節(jié)點(diǎn);如果p的(n－1)條被刪除，p點(diǎn)轉(zhuǎn)化為普通的一般點(diǎn)，剩下的這條尾枝與節(jié)點(diǎn)所在的骨架段組成了一條更長(zhǎng)的尾枝，骨架的端點(diǎn)數(shù)減少(n－1)個(gè)。假設(shè)從節(jié)點(diǎn)p只引出一條尾枝，若該尾枝是毛刺則去除，此時(shí)節(jié)點(diǎn)變?yōu)橐话泓c(diǎn)，否則保留，骨架點(diǎn)信息不變。根據(jù)上述操作不難看出，每次刪除毛刺都會(huì)影響到Amin的值，隨著剪枝次數(shù)的增加Amin的值在不斷增大，說明Amin能夠動(dòng)態(tài)的表示骨架的全局信息，這也是我們?cè)谶x取剪枝閾值時(shí)使用Amin值的主要原因。

在某一級(jí)別處理結(jié)束之后，如果端點(diǎn)的數(shù)目沒有變化，說明本級(jí)處理過程沒有去除任何一條尾枝，此時(shí)算法收斂，終止處理過程。需要注意的是，在本算法中如果骨架比較簡(jiǎn)單，在處理級(jí)別還未達(dá)到極限處理級(jí)別時(shí)，算法就會(huì)結(jié)束。此時(shí)骨架將是一條折線，沒有任何的分枝?？梢?，在實(shí)際應(yīng)用中，針對(duì)骨架的復(fù)雜情況選取適當(dāng)?shù)奶幚砑?jí)別是十分重要的。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

實(shí)驗(yàn)中，首先對(duì)原始圖像進(jìn)行形態(tài)學(xué)骨架提取(使用Matlab7.0中提供的形態(tài)學(xué)骨架化函數(shù)bwmorph)，然后使用本文提出的骨架剪枝算法對(duì)形態(tài)學(xué)方法得到的粗骨架進(jìn)行剪枝處理。骨架尾枝權(quán)值的計(jì)算和骨架剪枝規(guī)則按照前節(jié)介紹方法進(jìn)行，剪枝從第一級(jí)別開始，直至得到最佳效果。不同的圖像得到的骨架圖復(fù)雜程度不同，在剪枝時(shí)所需的剪枝級(jí)別也相應(yīng)的不同。

對(duì)楓葉圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖3所示，左邊是試驗(yàn)原圖像，中間是原圖像通過形態(tài)學(xué)骨架算法提取的粗骨架，右邊是對(duì)中間圖像剪枝后的結(jié)果?？梢姡糁蟮墓羌苷_的反應(yīng)了楓葉葉片的形態(tài)結(jié)構(gòu)，同時(shí)有效的去除了有細(xì)節(jié)部分所產(chǎn)生的小分支。

圖3 圖2中物體骨架提取和毛刺去除效果

圖4是對(duì)同一飛機(jī)圖片不同仿射變換結(jié)果進(jìn)行剪枝的試驗(yàn)結(jié)果。左邊一列為圖像在不同仿射變換下的灰度圖像，中間一列是不同仿射變換圖像的粗骨架圖像，從圖4中我們可以看出，同一圖像在不同的仿射變換后得到的粗骨架圖是截然不同的，右邊一列是應(yīng)用本文算法，對(duì)粗骨架剪枝后的結(jié)果圖像。

通過對(duì)圖4中3組圖像的對(duì)比不難看出，該算法對(duì)不同仿射變換后的復(fù)雜圖像具有良好的剪枝效果。與文獻(xiàn)［2］中提出的使用骨架權(quán)值的最大值和最小值結(jié)合得到的剪枝閾值相比較，本算法提出的剪枝閾值在剪枝操作中效率更高。表1中分析了在以上兩幅圖像中使用不同的剪枝閾值所需要的剪枝操作次數(shù)。

圖4 同一目標(biāo)仿射變換后剪枝效果

從表1可以看出，針對(duì)同一副圖像，本文所使用的剪枝閾值更加能夠更加快速的獲得最優(yōu)的剪枝結(jié)果。在處理?xiàng)魅~圖像時(shí)，本文算法相較于文獻(xiàn)［2］算法節(jié)省了12次剪枝操作;在飛機(jī)圖像中節(jié)省了8次剪枝操作。說明本算法在保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的同時(shí)，提高了骨架剪枝效率。

表1 本文算法與文獻(xiàn)［2］算法剪枝次數(shù)比較

以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明該算法能夠快速、有效的去除由細(xì)節(jié)或噪聲產(chǎn)生的多余分支和毛刺，并且能夠保證較好的穩(wěn)定性。

4 結(jié)束語

針對(duì)傳統(tǒng)骨架提取方法獲得的結(jié)果中出現(xiàn)骨架多像素及毛刺較多的現(xiàn)象，本文提出一種基于模糊距離變換的骨架剪枝算法。該算法依據(jù)物體的模糊距離變換值，通過比較粗骨架中各尾枝權(quán)值和剪枝閾值的關(guān)系實(shí)現(xiàn)粗骨架的剪枝處理。確定剪枝閾值時(shí)充分考慮其動(dòng)態(tài)性，使剪枝閾值隨著剪枝級(jí)別的升高而逐漸增大，使剪枝過程分級(jí)化，避免將骨架主要部分作為毛刺去除。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、快速，能夠去除骨架中多余的分支，同時(shí)保證了骨架結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。通過對(duì)物體模糊距離變換圖像的分析，發(fā)現(xiàn)物體的骨架線恰好在模糊距離變換圖像的脊線上，由此將其應(yīng)用于骨架剪枝操作中，根據(jù)這一特性，可以考慮在后期研究中利用模糊距離變換圖像中局部較大的值直接對(duì)物體進(jìn)行骨架提取，用這種方法得到的骨架將會(huì)比利用形態(tài)學(xué)方法得到的骨架更加精確，且不再需要后期的剪枝操作。

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