數(shù)學娛樂(十一)—幻方與線性代數(shù)

耿 濟

(海南大學，海南?？?70228)

本文是數(shù)學娛樂［1～10］的續(xù)作，應用線性代數(shù)方法探討幻方.

1 洛書與線性方程組

中國古書《易經》中的洛書是世界上最古老的幻方，現(xiàn)在用矩陣表示

其中，1，3，5，7，9原來用小白點的數(shù)目表示，把奇數(shù)代表陽;2，4，6，8 原來用小黑點的數(shù)目表示，把偶數(shù)代表陰，這與陰陽學說有關.考古學上發(fā)現(xiàn)的“奇字”是6位數(shù)字，正是《易經》卦象的起源［8］.由此可見，洛書在《易經》中具有特殊和重要的地位.

洛書在數(shù)學上具有2個基本性質.

加法性質 每行、每列、左右對角線上3個數(shù)字和等于15.

乘法性質 每行3個數(shù)字相乘，3個乘積相加等于每列3個數(shù)字相乘，3個乘積相加［3］.

洛書與線性方程組有下述關系.

設 x1，x2，x3，…，x9是 1，2，3，…，9 的某種排列，下列矩陣為

要求A中每行、每列、左右對角線上相加等于15，試求x1，x2，x3，…，x9正整數(shù)解.

這一問題含有9個未知量，從要求中知道有8個方程，實際上還有9個未知量相加等于45，總共有9個方程，這是一個9個未知量、9個方程的線性方程組求解的問題.

線性代數(shù)在理論上提出判別線性方程組有沒有解的方法，應用上提出使用計算機求解的方法，因此，近代科技上應用廣泛.

已知線性方程組

求解時，首先寫出線性方程組未知量的系數(shù)以及常數(shù)項的矩陣B，稱B為增廣矩陣;其次對B施行初等行變換，即下述3種變換:

1)B 中對調 i，j兩行，記作 ri?rj;

2)以數(shù)k≠0乘B中i行，記作kri;

3)把B中j行的k倍加到i行上，記作ri+krj.

最后經過一系列的矩陣初等行變換，把B變成標準形式

由此得出等價的線性方程組，即得通解的結果.

從已知線性方程組得到

經過一系列的矩陣初等行變換得到標準形式

由此得出等價的線性方程組

現(xiàn)在采用參數(shù)u=x8，v=x9，立即得到原方程組的通解

這里參數(shù) u，v，既具有任意性，可以多種選取;又具有約束性，因為 u=x8，v=x9，x1，x2，…，x8，x9是 1，2，3，…，8，9 的某種排列，參數(shù) u，v 的全部解為(1，6)，(1，8)，(3，4)，(3，8)，(7，2)，(7，6)，(9，2)，(9，4).此時原線性方程組共有8組解，也就是說3階幻方有8個，洛書是其中的1個，通過2種不同的旋轉正好產生8個不同的幻方.

附注 式(21)是x5=5，與參數(shù)無關，從式(2)、(5)、(7)、(8)相加，減去式(9)除3得出式(21).標準形式中有2行全為零，因為式(1)，(2)，(3)相加就是式(9)，又式(4)，(5)，(6)相加也是式(9)，說明式(1)～(9)的9個方程中有2個是“多余”的方程，即可以刪去.此外式(14)即式(21)，x5=5，代入式(5)和(7)分別得出式(11)和(10)即式(18)和(17)，還有式(3)就是式(16)，也是式(23).由此可見，線性方程組在計算上還可以得到很大的簡化.

2 Nasik幻方與行列式

Nasik幻方是4階幻方中最有趣的一類幻方，它比通常的4階幻方要求條件更高.具體地說，如果下述4階幻方是一個Nasik幻方，由自然1～16為元素構成的矩陣

每行4個元素和等于34，即a1+a2+a3+a4=b1+b2+b3+b4=c1+c2+c3+c4=d1+d2+d3+d4=34，每列4個元素和等于34，即a1+b1+c1+d1=a2+b2+c2+d2=a3+b3+c3+d3=a4+b4+c4+d4=34，還有左、右對角線上4個元素和等于34，即a1+b2+c3+d4=a4+b3+c2+d1=34，除以上一般4階幻方具有的條件外，還有左、右泛(折)對角線上4個元素和等于34，即a2+b3+c4+d1=a3+b4+c1+d2=a4+b1+c2+d3=34以及a1+b4+c3+d2=a2+b1+c4+d3=a3+b2+c1+d4=34.由此可見，一般4階幻方要求10個等式成立，而Nasik幻方要求16個等式成立，這就是Nasik幻方的定義.

2009年筆者［4］以線性方程組為工具獲得等價Nasik幻方的新定義，即要求每行、每列4個元素和等于34，還有 a1+c3=a2+c4=a3+c1=a4+c2=b1+d3=b2+d4=b3+d1=b4+d2=17.

Nasik幻方與行列式有下述關系.

定理 Nasik幻方共有384個，任意一個對應的行列式都等于零.

證明 已知Nasik幻方共有384個［4］，現(xiàn)在任取一個Nasik幻方對應的行列式

從等價Nasik幻方的新定義中知道

分別代入第3行、第4行，得到

第3行減1行，第4行減第2行，就有

已知 a1+a2+a3+a4=34，即 a2+a4=34－(a1+a3)，b1+b2+b3+b4=34，即b2+b4=34－(b1+b3)，代入第3行、第4行，又有

從第3行提取公因式17－(a1+a3)，第4行提取公因式17－(b11+b3)，又有

最后由于行列式中第3行、第4行對應的元素相等，所以行列式D=0.

如果舉例驗證，不妨從歷史上著名的3個Nasik幻方［4］中挑選一個

自行加以計算(或者按照文獻［4］另作1個Nasik幻方).

3 矩陣乘法新概念及其在幻方上的應用

為了探討2個任意階幻方相乘得出新幻方的問題，導出矩陣乘法新概念.

定義 設n階矩陣

與m階矩陣

的新乘法用分塊矩陣表示為nm階矩陣

以及

其中In，Im分別表示為n階、m階的矩陣，它們所有的元素全部等于1.

例 已知

試求A×B，B×A的乘積.

解

由此可見，A×B≠B×A，即A，B的乘積不滿足交換律，對于結合律A×(B×C)=(A×B)×C是成立的(嚴格的證明從略).

上例實質上是幻方A與幻方B相乘，經過驗證A×B與B×A都是幻方，因為每行、每列以及左、右對角線上12個數(shù)字和等于870(它們的元素分別是由1～144構成的).

一般而言，獲得下述結果.

性質 n階幻方A與m階幻方B相乘得到nm階幻方A×B與B×A.

證明 假設n階幻方A的第1行的元素為a11，a12，…，a1n，m階幻方B的第1行的元素為b11，b12，…，b1m時，現(xiàn)在計算A×B中第1行各元素相加，按照A×B的法則得到m(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bm－m)n2·n，已知 a1+a2+… +an=［(n2+1)n］/2，b1+b2+…bm=［(m2+1)m］/2，代入即得

所以A×B的第1行nm個元素和符合幻方第1行的要求.其余的第2，…，n;n+1，n+2，…，2n;…;n(m－1)+1，n(m －1)+2，…，nm 各行，證法相同.

至于A×B的各列nm個元素和應用上法得到［(n2m2+1)nm］/2，左、右對角線上的nm個元素和也能得到［(n2m2+1)nm］/2，所以A×B是nm階的幻方.

類似地，證得B×A也是nm階幻方.

上述性質的重要性就是通過矩陣乘法新概念解決了幻方相乘等于幻方的新結果.由此又導出一些新概念:例如幻方A的自乘，即A的平方，記為A2，就有幻方

例 試求幻方

的幻方A2.

解 從已知的3階幻方A得到9階幻方

幻方A不僅有A2，還有A3以及An的新幻方，通過幻方乘法出現(xiàn)高階幻方.

回顧文獻［11］王永健指出的:“現(xiàn)在，已排出的最大幻方，是n=105，即包含1052(個)數(shù)的方陣，它的幻和N105=578，865，是由美國紐約市普莫勒市的一個13歲少年孫達完成的”.時至今日，這一“世界之最”恐怕早已被打破.本文應用3階幻方與4階幻方相乘得出12階幻方，12階幻方自乘就是144階幻方;如果把144階幻方再與12階幻方相乘出現(xiàn)一個1 728階幻方，估計它就是現(xiàn)在的“世界之最”.筆者認為追求幻方的最大階數(shù)意義不大，應該與其他的學科相結合，為幻方的發(fā)展提供新的方向.本文將幻方與線性代數(shù)相結合，也為線性代數(shù)的發(fā)展提供新的內容.

［1］職濟.數(shù)學娛樂(一)——夫妻問題的新證與應用［J］.海南大學學報:自然科學版，2007，25(4):321－324.

［2］耿濟.數(shù)學娛樂(二)——牙牌問題的新證與推廣［J］.海南大學學報:自然科學版，2008，26(3):206－219.

［3］耿濟.數(shù)學娛樂(三)——洛書定理與應用［J］.海南大學學報:自然科學版，2008，26(4):303 －308.

［4］耿濟.數(shù)學娛樂(四)——Nasik幻方的性質與構造法［J］.海南大學學報:自然科學版，2009，27(2):107－115.

［5］耿濟.數(shù)學娛樂(五)——推廣Fibonacci數(shù)列與冪級和［J］.海南大學學報:自然科學版，2008，27(4):313－319.

［6］耿濟.數(shù)學娛樂(六)——移棋相間［J］.海南大學學報:自然科學版，2010，28(1):1 －10，14.

［7］耿濟.數(shù)學娛樂(七)——一個麻將和牌問題［J］.海南大學學報:自然科學版，2010，28(2):93－98.

［8］耿濟.數(shù)學娛樂(八)——易經卦象的起源與考古發(fā)現(xiàn)的奇字［J］.海南大學學報:自然科學版，2011，29(2):99－103.

［9］耿濟.數(shù)學娛樂(九)——學習《九章算術》的收獲［J］.海南大學學報:自然科學版，2011，29(4):297 －304.

［10］耿濟.數(shù)學娛樂(十)——學習《九章算術》的收獲［J］.海南大學學報:自然科學版，2012，30(2):95 －102.

［11］王永健.世界之最·數(shù)學分冊［M］.南京:江蘇人民出版社，1981.