隨機(jī)右截尾保險壽命數(shù)據(jù)的非參數(shù)回歸估計

孫 榮，張?zhí)煊?/p>

0 引言

作為壽險精算基礎(chǔ)的壽命表是最早應(yīng)用處理壽命數(shù)據(jù)的一種統(tǒng)計分析工具，它的使用可追溯到300多年前。由于人口統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展，特別是人壽保險數(shù)學(xué)的發(fā)展，壽命數(shù)據(jù)的分析逐漸采用現(xiàn)代統(tǒng)計理論和方法，包括參數(shù)統(tǒng)計與非參數(shù)統(tǒng)計的方法。一般的壽命數(shù)據(jù)與統(tǒng)計中通常使用的隨機(jī)樣本有很大區(qū)別。壽命數(shù)據(jù)往往是不完全數(shù)據(jù)，即并不是每一個觀測到的值都是確切的壽命值，某些數(shù)據(jù)可能只表示相應(yīng)個體的壽命不小于該數(shù)值，而并不知道其確切壽命的數(shù)值，這樣的數(shù)據(jù)稱為截尾數(shù)據(jù)。在保險實務(wù)中，截尾數(shù)據(jù)的出現(xiàn)不可避免，比如：壽險模型中投保人提前退保就會導(dǎo)致被保險人的實際壽命出現(xiàn)截尾。截尾數(shù)據(jù)可分為三種類型，前兩種分別是定時截尾和定數(shù)截尾，這兩種截尾決定截尾發(fā)生的參數(shù)是確定的，而第三種截尾稱為隨機(jī)截尾，即截尾時間本身是一個隨機(jī)變量[5][6]。對隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)回歸函數(shù)m(X)=E[Y|X]的估計方法主要有三種：線性回歸模型、非參數(shù)回歸模型、半?yún)?shù)部分線性回歸模型。在文獻(xiàn)[5]中闡述了局部線性回歸、加權(quán)局部線性回歸等非參數(shù)方法。

Fan and Gijbels（1994，1995，1996），胡舒合（1995），王啟華（1996），楊善朝(1999)，Jangjiang ch eng、Chengbo and Wuxizhi（2002），Ghou ch Anouar EL and Keillegom,Ingrid Van(2008)，Zohra Guessoum and Elias Ould Said(2010)等對隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)回歸函數(shù)的核估計進(jìn)行了討論。廖靖宇、薛留根（2007）對隨機(jī)截尾下回歸函數(shù)最近鄰估計的強(qiáng)收斂速度進(jìn)行了分析，Zhou yong、Zhulixing（1998）提出了一種近鄰估計，并對這種估計的強(qiáng)收斂性進(jìn)行了分析，由此可見，對于隨機(jī)截尾非參數(shù)回歸估計，運(yùn)用核估計方法分析的多，運(yùn)用最近鄰估計分析的相對較少，對于核估計而言，需要考慮核函數(shù)的確定，窗寬的選擇等問題，而最近鄰估計不涉及這樣的問題，更加適用，故本文對保險模型中的壽命數(shù)據(jù)在隨機(jī)右截尾假定下，運(yùn)用bagged最近鄰估計與kn-最近鄰估計方法進(jìn)行隨機(jī)設(shè)計的非參數(shù)回歸估計，并對估計通過隨機(jī)模擬方法進(jìn)行精度檢驗。

1 模型設(shè)定

假定(Xn(1),…Xn(kn))代表x的第kn個最近鄰（本文‖·‖取 Euclid模，‖v‖s=(∑vsni)1s），其中 Xn(1)代表最接近x。YRi代表 Xn(i)對應(yīng)的Y，kn-最近鄰估計為：

bagged最近鄰估計是將Breinman 1996年提出的bagging(boots tr ap aggregating)原則與1-最近鄰估計相結(jié)合而產(chǎn)生的一種估計方法[1][2]。Friedman and Hall（2000）[1]，Bu?hlmann and Yu（2002）[9]，Hall

and Samwor th（2005）,Buja and Stuetzle（2006），Biau and Deveroye（2008）[2]對 bagging(boots tr ap aggregating）在估計與分類等方面的理論與相關(guān)方法進(jìn)行了論述。

k表示每次再抽樣的樣本容量，是n的函數(shù)。令：

在不重復(fù)抽樣條件下，vni=P（x的第i個最近鄰在一次隨機(jī)抽樣中成為x的第一個最近鄰），則bagged最近鄰估計應(yīng)為：

本文設(shè)Y1,Y2,…Yn表示非負(fù)獨(dú)立同分布的保險模型中個體壽命隨機(jī)變量。其分布為F，C1,C2,…Cn表示非負(fù)獨(dú)立表示截尾的隨機(jī)變量，具有分布為G。，類似可定義TG，約定c為與n無關(guān)的常數(shù)，且每次出現(xiàn)可能表示不同的常數(shù)。假定Ci與Yi相互獨(dú)立，在隨機(jī)右截尾模型中，Y1,Y2,…Yn不能夠被完全觀測，而僅能夠觀測到：

當(dāng)G已知時：令

則由[5]可知：E(Y?i|Xi)=E(Yi|Xi)=m(Xi)

故認(rèn)為：Y?i=m(Xi)+εi

其中：Xi是 p維協(xié)變量隨機(jī)向量,εi是相互獨(dú)立隨機(jī)誤差序列滿足E[εi|Xi]=0，

故：隨機(jī)右截尾的m(x)的bagged最近鄰估計為:

隨機(jī)右截尾的m(x)的kn-最近鄰估計為:

當(dāng)G未知時：令

令：Y?i=δiZi/1-Gn(Zi)

隨機(jī)右截尾的m(x)的bagged最近鄰估計為:

隨機(jī)右截尾的m(x)的kn-最近鄰估計為:

式(5)(6)(7)(8)中Y?Ri與Y?Ri代表與 X(i)n排序相對應(yīng)。

2 主要結(jié)論

文獻(xiàn)[1][2]中分別對完全數(shù)據(jù)的bagged最近鄰估計的2階收斂速度進(jìn)行了分析，本文主要運(yùn)用［3］中ε相對[4]寬松的矩條件得到了隨機(jī)右截尾的bagged最近鄰估計與kn-最近鄰估計的逐點(diǎn)收斂速度。

假定：（1）X、m有界，m滿足Lip sch itz條件，即?x∈U(x';δ) |m(x)-m(x')|≤M | x-x'|

（4）E‖ε‖r＜∞ 當(dāng)Borel-Cantelli

引理1[4].設(shè)F、G連續(xù)，TF＜TG≤∞，則：

若Y 有界，且TF＜TG≤∞ ，T≥a a.s.（a為某實數(shù)）則對：?n≥1

若Y 有界，則對：?n≥1

3 隨機(jī)模擬

基于模擬數(shù)據(jù)的考慮，在假設(shè)為一元模型條件下對隨機(jī)右截尾的bagged最近鄰估計與kn-最近鄰估計的擬和精度進(jìn)行分析。

假設(shè)某隨機(jī)右截尾的保險模型個體壽命Yi=30+60X2i(1-Xi)+εi

其中：Xi～U[0,1] εi～N[0,1]，Ci～U[30,50]

運(yùn)用MatlabR2009a進(jìn)行隨機(jī)模擬，步驟:

（1）生成樣本為 n=100,((2.1)kn=21,(2.2)k=80)滿足如下分布條件的三個隨機(jī)序列：

Xi～U[0,1]εi～N[0,1]，Ci～U[30,50]

（2）分別計算與每個Xi最近的21個Xj(j≠i)

（3）生 成 kn（ n-k+1）個 Xj(j≠i)序 列=30+60(1-Xj)+εj

（4）根據(jù)(2.3)生成 Zj=min(Yj,Cj)

（5）根據(jù)(2.4)計算Y?j=δjZj/1-G(Zj)

（6）分別根據(jù)(2.5)（2.6）計算每個Xi的m(xi)的兩種最近鄰估計

（7）分別重復(fù)上述過程100、200次，計算兩種估計的相對誤差 Δ1i= | Yi-m?1(xi)|/| Yi| 、Δ2i= | Yi-m?2(xi)|/| Yi| ）、平均相對誤差與總平均相對誤差

表1 重復(fù)100、200次的估計相對誤差表

圖1 bagged最近鄰估計擬合圖：n=100 c=10，k=80 Δˉ=6.984×10-4

[1]G.Biau,F.C'erou,A.Guyader.On the Rate of Convergence of the Bagged Nearest Neighbor Estimate[R].French,INRIA,2009.

[2]Biau,G.,Devroye,L.On the Layered Nearest Neighbour Estimate,the Bagged Nearest Neighbour Estimate and the Random Forest Method in Regression and Classification[R].French,Universit'e Pierre et Ma?rie Curie,2008.

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[5]王啟華.生存數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析[M].北京：科學(xué)出版社,2006.

[6]劉力平.生存數(shù)據(jù)分析的統(tǒng)計方法[M].北京：中國統(tǒng)計出版社,1998.

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[10]胡舒合.截尾數(shù)據(jù)的非參數(shù)回歸函數(shù)的核估計[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,1995,(15).

[11]J.Fan,I.Gijbels.Local Polynomial Modeling and its Application[M].London:St Edmundsbury Press,1996.