二次調(diào)整成本模型下投資的動態(tài)分析

陳國漢，劉建平

0 引言

投資的調(diào)整成本或稱為資本調(diào)整成本是指企業(yè)在投資時資本的安置成本和資本價格變動導(dǎo)致的成本。最直觀地表現(xiàn)為企業(yè)購買了新的機(jī)器后，需要對機(jī)器進(jìn)行安裝和訓(xùn)練工人熟悉使用新機(jī)器由此而產(chǎn)生的成本。在開放經(jīng)濟(jì)的拉姆齊模型中，經(jīng)濟(jì)會瞬時收斂到穩(wěn)態(tài)水平，這與現(xiàn)實(shí)中經(jīng)濟(jì)調(diào)整緩慢變動相矛盾，而當(dāng)考慮投資的調(diào)整成本后我們才會得到與經(jīng)驗(yàn)事實(shí)比較吻合的結(jié)果。大多數(shù)的理論分析都僅對調(diào)整成本函數(shù)做了比較寬泛的假定，即調(diào)整成本函數(shù)為凸函數(shù)以及投資為零時，調(diào)整成本為零。這種寬泛的假定只能得到相位圖而無法得到經(jīng)濟(jì)從非均衡到均衡的收斂速度和相關(guān)控制變量的時間路徑。因而只有在對調(diào)整成本函數(shù)做出具體假定后才可以得到均衡時的解析解。

本文擬在Pereira(2001)的二次調(diào)整成本模型的基礎(chǔ)上使用新古典分析框架對完全競爭市場中企業(yè)的投資動態(tài)行為進(jìn)行分析，使用線性二次型調(diào)整成本模型（LQAC）求解不確定性情況下的投資時間路徑。

1 確定性時投資的時間路徑

1.1 理論模型

假設(shè)經(jīng)濟(jì)中有無數(shù)個效用函數(shù)相同的家庭和技術(shù)水平相同的企業(yè)。我們從企業(yè)的價值最大化問題開始研究投資問題。生產(chǎn)是由許多個完全獨(dú)立和競爭的廠商來執(zhí)行的。為了簡化起見，假設(shè)廠商的個數(shù)等于家庭的個數(shù)。每個廠商面臨的利率的時間路徑為{rt}t=[0,∞)，0到 t時之間的平均利率為：

令 ρ =rˉ(t) ，所以折現(xiàn)因子為 e-ρt。

為簡化起見，不需要明確的勞動市場模型，假設(shè)勞動供給是固定的，無彈性的，勞動市場是均衡的，意味著每一個廠商雇傭一個工人，并支付工資{wt}t=[0,∞)。并假定投資行為是不可逆的，即不存在負(fù)投資。因此，有代表性的廠商在t=0時的決策問題是選擇投資的時間路徑以最大化其現(xiàn)金流量的現(xiàn)值，即

其中，所有的變量都采用人均形式。假定人口是常數(shù)，利率與時間偏好率相等。 f(kt)為生產(chǎn)函數(shù)，滿足稻田條件 f′(?)＞0，f″(?)＜0，f′(0)= ∞ 。此模型與標(biāo)準(zhǔn)的最優(yōu)增長模型唯一的不同之處是引入了調(diào)整成本或安置成本h(?)。為了增加i個單位的資本存量，首先得有i個單位的產(chǎn)出用于投資，其次需要有i h(i k)個單位的產(chǎn)出用于安置這些投資。因此，i單位的總投資的機(jī)會成本是i(1+h(i k))個單位的產(chǎn)出。調(diào)整成本函數(shù)h(?)是非負(fù)的凸函數(shù)，且投資為 0 時，調(diào)整成本也為 0，并有 2h′(?)+h″(?)＞0。

這個問題的漢密爾頓函數(shù)為：

解得最優(yōu)性條件為：

首先考慮式（5），它表示投資從發(fā)生一直到投資的邊際成本等于以安置資本的影子價格。當(dāng)2h′(?)+h″(?)＞0時，影子價格q可以看做是i k的增函數(shù)。它類似于投資理論中的Tobin’s q。

對式（6）解一階微分方程，用（7）式的結(jié)果可得：

式（8）說明影子價格q等于未來邊際產(chǎn)出的貼現(xiàn)現(xiàn)值。

1.2 給定利率時的均衡

現(xiàn)在分析當(dāng)利率{rt}t=[0,∞)被外生給定時的穩(wěn)態(tài)和轉(zhuǎn)移動態(tài)。這一假設(shè)適用于一個把整個經(jīng)濟(jì)范圍內(nèi)的利率視為給定的單個企業(yè)或者一個把世界利率視為給定的小國開放經(jīng)濟(jì)。為了簡化起見假設(shè)世界利率r是不變的，因此ρ也是不變的。

為了獲得投資的動態(tài)方程必須對調(diào)整成本函數(shù)進(jìn)行設(shè)定。Gould(1968)把調(diào)整成本函數(shù)具體的設(shè)定為投資的二次函數(shù)，h(I)=a0I+a1I2。到Hayashi(1982)將調(diào)整成本函數(shù)設(shè)定為h(I,K;t)。我們遵從Goolsbee和Gross(1997)，以及Pratap(2003)的標(biāo)準(zhǔn)的二次調(diào)整成本函數(shù)的設(shè)定，調(diào)整成本為：

其中a＞0，i=0時，h()?=0。

如果 q·=k·=0，則 i?=δk?，i?，k?分別為穩(wěn)態(tài)時的投資 和 資 本 存 量 。 且 f′(k?)+δ2h′(δ)=(ρ+δ)[1+h(δ)+δh′(δ)]，可以證明 f′(k?)＞ (ρ+δ)。這使得有調(diào)整成本時，其機(jī)會成本大于最優(yōu)增長模型的機(jī)會成本。

系統(tǒng)（3）、（5）、（6）式是一個關(guān)于 (k,q,i)的動態(tài)系統(tǒng)，其中的q或i可以被消去。盡管q扮演了一個重要的概念角色，但本文著重分析投資的動態(tài)行為，因此消去q而得到一個關(guān)于(k,i)的動態(tài)系統(tǒng)。

將（5）式對時間求導(dǎo)，可得：

將（10）式和（5）式代入（6）式以消去 q·和 q，得：

將B代入有：

將調(diào)整成本函數(shù)（9）式和Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)f(k)=Akα(其中0＜ a＜1)一起代入（12）式，可以得到 i的動態(tài)方程為：

聯(lián)立解得i的動態(tài)方程為：

式（3）和（13）所組成的動態(tài)模型使用相位圖能更容易的得出分析結(jié)果。首先確定一個(k,i)空間。在這個空間中畫出 k·=0和 i·=0兩條軌跡線。這兩條軌跡分別由=0來描繪。

圖1有調(diào)整成本模型的相位圖

圖1 顯示了這兩條軌跡線，其中k·=0為一條斜率等于δ的直線，i·=0為一條先增加后減小的曲線，兩條線的交點(diǎn)為均衡點(diǎn)E(i?,k?)。兩條軌跡線交叉產(chǎn)生了一條鞍點(diǎn)路徑SS′，系統(tǒng)呈現(xiàn)出鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定性，以帶箭頭的實(shí)線表示穩(wěn)定臂。這條鞍點(diǎn)路徑是k和i的函數(shù)，它使k和i逐漸單調(diào)收斂到均衡點(diǎn)E(i?,k?)。任何不在SS′上的點(diǎn)都無法滿足最優(yōu)條件（5）、（6）、（7）。

這個模型一個有趣的特征是，只要資本折舊率為正數(shù)，那么將永遠(yuǎn)無法達(dá)到合意資本存量水平kˉ。這是因?yàn)椋绻F(xiàn)在的資本存量正好等于合意資本存量，那么就不需要投資，調(diào)整成本為0。而如果現(xiàn)在的資本存量不等于合意資本存量，需要進(jìn)行投資，使得資本存量到達(dá)合意的水平，即投資等于0時的水平，i=0，此時資本存量k等于合意資本存量kˉ。但是此時經(jīng)濟(jì)并不一定處于均衡水平，因?yàn)殚L期均衡要求的是i·=0，k·=0，它只發(fā)生在資本的邊際機(jī)會成本等于資本的邊際收益時。如果k=kˉ時經(jīng)濟(jì)不處于均衡水平，那么這個狀態(tài)無法維持，所以只有當(dāng)i·=0，k·=0且i=0時，經(jīng)濟(jì)的長期均衡點(diǎn)和合意資本存量水平重合。從圖中可以看出，只有δ=0時，即k·=0軌跡線與橫軸重合時，長期均衡的穩(wěn)態(tài)水平資本存量k?才等于合意資本存量 kˉ。 δ ≠ 0，則 k?≠kˉ，合意資本存量永遠(yuǎn)無法達(dá)到。正的資本折舊率和零投資水平必然導(dǎo)致資本存量下降，不可能形成長期均衡。

1.3 對數(shù)線性化

傳統(tǒng)的關(guān)于投資的動態(tài)行為的論文一般都是通過相位圖來進(jìn)行研究，本文在此基礎(chǔ)上更進(jìn)一步通過對數(shù)線性化的辦法來得到精確的投資動態(tài)方程。通過相位圖我們得到了式（3）和式（13）所組成的動態(tài)系統(tǒng)是鞍點(diǎn)均衡的?，F(xiàn)在為了進(jìn)一步的分析，對這個非線性的動態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行對數(shù)線性化。使用i和k的對數(shù)重新表達(dá)（3）式和（13）式，可得方程組：

在穩(wěn)態(tài)中d[log(i)]dt=d[log(k)]dt=0，我們有：

圍繞由（16）和（17）式所決定的穩(wěn)態(tài)值水平，把（14）和（15）所組成的動態(tài)方程組取一階二元泰勒展開：

設(shè)由（14）、（15）式所組成的方程組的Jacobian矩陣的特征值為ε，則ε為特征方程的根。特征方程為：

這個方程有兩個異號的實(shí)根：

令

log(i)的對數(shù)線性化的通解有如下形式：

其中，μ1和μ2是任意積分常數(shù)。由于已知動態(tài)系統(tǒng)是鞍點(diǎn)均衡，則在 ε1＞0，ε2＜0的條件下，μ1=0；否則均衡將不穩(wěn)定。常數(shù)μ2由初始條件決定：

其中，i0是投資的初始值。

將 μ1=0和（21）式代入（20）式可以得到log(it)的時間路徑為：

收斂系數(shù) β 定義為 β=-d(γi)d[log(i)]，γi=i·i。

將（22）式對t求導(dǎo)得到γi再與（22）式聯(lián)立可以解出收斂系數(shù)β=-ε2。

式（22）可以寫為：

對于任何t≥0，log(it)是初始值log(i0)和穩(wěn)態(tài)值log(i?)的一個加權(quán)平均，初始值上的權(quán)重以β速率指數(shù)下降。收斂速度β依賴于折現(xiàn)率和折舊率。

2 不確定性時投資的時間路徑

2.1 理論模型

現(xiàn)在假定廠商能夠根據(jù)他們現(xiàn)有的信息集單獨(dú)的決定到達(dá)穩(wěn)態(tài)水平(i?,k?)的最可能的路徑。假設(shè)廠商可以使用現(xiàn)在可以得到的所有信息，包括相關(guān)變量的過去值，基于理性預(yù)期去預(yù)測未來值。此時產(chǎn)出不再是資本的一個確定的函數(shù)，產(chǎn)出變成隨機(jī)的。由于現(xiàn)存資本的重新變賣涉及到巨大的折舊，即已安置的資本重新變賣是很困難的，因此投資具有不可逆性。當(dāng)市場環(huán)境惡化時，如果廠商不能削減現(xiàn)有資本存量，那么延遲投資或等待新信息是廠商最有利的選擇，因此不確定性的本身就有阻礙投資的作用。Pindyck(1988)發(fā)現(xiàn)投資與不確定性有負(fù)相關(guān)性，廠商在高度變動的市場相對于較穩(wěn)定的市場有更低的資本存量。Bertola和Caballero(1994)表明在不確定性和不可逆性限制下，在微觀水平上總投資序列是光滑且穩(wěn)定的。

現(xiàn)在假設(shè)總產(chǎn)出是給定的，那么一個風(fēng)險(xiǎn)中性的廠商的價值最大化問題就變成了一個成本最小化問題，即價值最大化等價于資本積累方程約束下的成本最小化。在這里我們使用損失函數(shù)方法，代表性廠商被假設(shè)為最小化其未來現(xiàn)金流量的損失。而這個損失我們把它分成兩個部分：一部分是現(xiàn)有資本存量與資本存量目標(biāo)水平之間的差異造成的不均衡損失；另一部分為投資的調(diào)整成本。Sargent(1978,1987)指出目標(biāo)函數(shù)為二次函數(shù)時，能夠產(chǎn)生線性策略函數(shù)，使得隨機(jī)最優(yōu)問題可以求出解析解。因此二次調(diào)整成本成為研究的熱點(diǎn)。Sargent(1978)，Kennan（1979），Nickell（1985），Dolado et al(1991)，Gregory et al(1993)，Engsted和Haldrup（1994）等發(fā)展了線性二次型調(diào)整成本模型（LQAC），F(xiàn)anelli(2000)給出了該模型的估計(jì)與檢驗(yàn)的方法。

本文首次將損失函數(shù)設(shè)置成線性二次型調(diào)整成本模型。利用線性二次型在求解隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃上的優(yōu)勢，可以得到精確的解析解。

考慮在離散時間下（t=1,2,…）經(jīng)濟(jì)法人所面對的不確定性下的序列決策問題。經(jīng)濟(jì)法人選擇一個序列，使得跨期損失函數(shù)的期望最小化：

其中0＜R＜1，為折現(xiàn)因子；0＜δ＜1是資本折舊率。在這里k?t不是資本存量的均衡水平，而是廠商的資本存量長期目標(biāo)水平，是長期中的合意資本存量。 為不均衡損失和調(diào)整成本之間的相對權(quán)重。Et為廠商在時間t處的條件期望算子。所有的變量仍然采用人均的形式。該最優(yōu)化問題的一階必要條件為：

這個一階條件同時也是隨機(jī)歐拉方程，它決定了資本存量的最優(yōu)路徑。為了簡化分析，假設(shè)資本折舊率為0，即δ=0。并對（26）式兩端同時取t時刻的條件期望，可以得到：

其中，?=-(1+θ-1+R-1)＜0，B為由 B-jEtxt=Etxt+j定義的期望差分算子。該方程中的特征多項(xiàng)式有兩個互不相同的實(shí)根，因此（27）式可以表示為：

其中，λ1+λ2=-? ，λ1λ2=R-1。這兩個等式確保方程的根 λ1和 λ2都為正。此外，由待定系數(shù)法可知(λ1-1)(λ2-1)=-1＜0，表明了這兩個根中有一個大于1，另一個小于1。令 λ1＜1，λ2＞1，解（28）式可得，λ2為不平穩(wěn)根，則資本存量的運(yùn)動方程為：

式（29）表明當(dāng)期資本存量依賴于前一期的值，同時也依賴于資本存量目標(biāo)水平的當(dāng)期和未來值的期望。對于投資來說，通過對（29）式的左右兩端同時乘以(B-1-1)可以得到一個類似的表達(dá)式：

其中 it=Δ kt+1，i?t=Δ k?t+1。因此當(dāng)期的投資被前一期的投資水平和合意投資水平的當(dāng)期和未來值的期望共同影響。然而投資的這個合意水平i?t是不可能被觀察到的。在跨期二次型調(diào)整成本模型的研究中，資本存量的目標(biāo)水平變量通常被假設(shè)為線性的依賴于一些嚴(yán)格外生的控制變量。因此，這里假設(shè)投資的這個合意水平i?t與一些控制變量線性相關(guān)。

2.2 投資的動態(tài)需求方程

經(jīng)典的假設(shè)是無論何時當(dāng)企業(yè)的外部市場環(huán)境改善時，廠商調(diào)整到一個更高水平的資本存量。在這里我們更進(jìn)一步地假設(shè)，需求影響對未來合意資本存量的預(yù)期。合意投資水平依賴于外生變量僅僅是我們定義合意水平i?t的一個結(jié)果。如果一個外生變量影響合意的資本存量，那么它也將在同方向上影響合意的投資水平。例如：如果發(fā)生一個好的沖擊，企業(yè)打算將合意資本存量在短期內(nèi)調(diào)整到一個更高的水平或企業(yè)在長期中面臨一個更高的資本更替需要，這些將使得合意投資增加。所以合意投資水平i?t與外生變量線性相關(guān)的假設(shè)將極大的簡化我們求出動態(tài)方程在實(shí)證研究中的應(yīng)用。我們有：

其中，Xt是由可觀測的控制變量組成的一個( )n×1向量，此處的β為一個( )n×1參數(shù)向量，εt是一個白噪聲分布。將（31）式代入（30）式，且有 Etεt= εt，Etεt+j=0，?j＞0，可以得到：

其中，βl(l=1,2,…,n)是向量 β′的行元素，xl,t是向量Xt的列元素。假設(shè)向量Xt中的每一個變量都是一個 p階自回歸過程，AR(p)：ψ(l)(L)xl,t=μl,t，其中L為差分算子。使用Wiener-Kolmogorov預(yù)測公式可得：

展開，（33）式可以得到：

其中π(j)(L)為滯后多項(xiàng)式。事實(shí)上，式（34）是一個動態(tài)需求方程，它表明當(dāng)期的投資需求與投資的滯后值以及控制變量的當(dāng)期和滯后值相關(guān)。若調(diào)整成本函數(shù)變的更凸和θ增加時，過去資本或投資的系數(shù)增加，進(jìn)而貼現(xiàn)率λ1R增加，這意味著廠商對遠(yuǎn)期賦予更重的權(quán)重，同時意味著需求對遠(yuǎn)期的投資水平的影響變的更大。這一模型也表達(dá)了投資與產(chǎn)出或需求之間的加速器關(guān)系。

3 結(jié)論

利用調(diào)整成本模型來分析投資的動態(tài)行為由來已久，但是基本上都是基于相位圖來進(jìn)行分析，無法得到精確的結(jié)果。本文擴(kuò)展了調(diào)整成本型的投資理論，研究并證明了在新古典分析框架中使用二次調(diào)整成本模型，投資和資本存量是鞍點(diǎn)均衡的，并首次使用對數(shù)線性化的辦法得到了精確的投資的動態(tài)方程和時間路徑。發(fā)現(xiàn)在一般條件下，企業(yè)的資本存量均衡水平一般不等于合意資本存量水平。另外本文揭示了不確定性是如何影響資本存量的，并且首次引入了線性二次型調(diào)整成本模型分析了投資與不確定性之間的關(guān)系，得到了不確定性下投資的動態(tài)方程。

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