兩類(lèi)新的GM(1,1)殘差優(yōu)化模型的建立及預(yù)測(cè)

何 光，盧小麗

0 引言

灰色系統(tǒng)解決了小樣本及信息不全的問(wèn)題，大量應(yīng)用于生產(chǎn)生活領(lǐng)域，引起了廣泛的關(guān)注?；疑Ｐ图蠢秒x散隨機(jī)數(shù)，生成為較有規(guī)律的生成數(shù)，進(jìn)而建立起的微分方程模型。提高灰色模型的可靠性及預(yù)測(cè)精度一直處于不斷的實(shí)踐和探索中。目前，已有文獻(xiàn)通過(guò)殘差修正模型[1]、對(duì)初始數(shù)列的變換[2-5]及建立背景值修正的不等時(shí)距模型[6]等方式改進(jìn)模型預(yù)測(cè)的精度。然而在已有結(jié)論中，大多數(shù)只側(cè)重于分析某一方面（如殘差修正、初始數(shù)列的變換或背景值修正等）的改進(jìn)，而對(duì)于多方面的融合探討少有涉及。

在文[1]中提出的殘差修正模型基礎(chǔ)上，本文將結(jié)合函數(shù)變換的思想，建立新的GM(1,1)殘差優(yōu)化模型，以提高預(yù)測(cè)的精度和可靠性。

1 GM(1,1)模型及預(yù)測(cè)

設(shè)n個(gè)元素的初始數(shù)列x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))的AGO生成數(shù)列為

其中，a稱(chēng)為發(fā)展系數(shù)，b稱(chēng)為灰作用量，z1(k)稱(chēng)為白化背景值。

如果將x(0)(k)各時(shí)刻k視為連續(xù)變量t，則x(1)就可視為t的函數(shù)。記x(1)=x(1)(t)，x(0)(k)對(duì)應(yīng)于導(dǎo)數(shù)dx(1)/dt，背景值z(mì)(1)(k)對(duì)應(yīng)于x(1)(t)，則有GM(1,1)灰微分方程對(duì)應(yīng)的白微分方程：

該方程稱(chēng)為GM(1,1)的白化型。如果白化型模型的精度高，則表示所建立的GM(1,1)與真正的微分方程擬合較好。

結(jié)合GM(1,1)模型進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)，步驟如下。

第一步：由初始序列x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，得一次累加生成序列x(1)。

第二步：求x(1)的白化微分方程中的待定參數(shù)a和b，即[a ,b]T=[BTB]-1BTyn。

其中

第三步：將參數(shù)a,b代入還原后的模型，得到x(1)的估計(jì)值：

進(jìn)而計(jì)算出 x(0)(k)的估計(jì)值 x?(0)(k+1)=x?(1)(k+1)-x?(1)(k)。

第四步：模型檢驗(yàn)。分別計(jì)算殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)的相應(yīng)指標(biāo)，如符合精度要求，則可用于預(yù)測(cè)；否則，運(yùn)用殘差修正模型加以改進(jìn)。

2 已有的GM(1,1)殘差修正模型

2.1 傳統(tǒng)的GM(1,1)殘差修正模型

在灰色預(yù)測(cè)的模型檢驗(yàn)中，若殘差檢驗(yàn)不合格時(shí)，需建立殘差修正模型。設(shè)殘差q(0)(k)= | x(1)(k)-x?(1)(k)| ，得殘差列

對(duì)q(0)建立GM(1,1)模型，將得到的預(yù)測(cè)值處理后，加入原模型得殘差修正模型：

根據(jù)i的取值差異得到不同的殘差修正模型。

2.2 改進(jìn)的殘差修正模型

文[1]中提出了兩種改進(jìn)的殘差修正模型：模型I和模型II。

模型 I：設(shè)殘差為 q(0)(k)=x(0)(k)-x?(0)(k)，對(duì) q(0)建立GM(1,1)模型，將得到的預(yù)測(cè)值，加入原模型得修正模型：

模型II：設(shè)殘差為q(0)(k)= | x(0)(k)-x?(0)(k)| ，對(duì) q(0)建立GM(1,1)模型，將得到的預(yù)測(cè)值，加入原模型得修正模型：

3 兩類(lèi)新的GM(1,1)殘差修正模型

鄧聚龍教授指出建立GM(1,1)模型的前提是初始數(shù)列x(0)為光滑離散函數(shù)[7]。x(0)的光滑性決定了模型預(yù)測(cè)的可靠性和精確度。于是結(jié)合已有的殘差修正模型，通過(guò)對(duì)預(yù)測(cè)數(shù)列先進(jìn)行光滑度的處理，然后作灰色建模和預(yù)測(cè)。

殘差優(yōu)化模型1的具體步驟如下：

第一步：對(duì)初始序列x(0)進(jìn)行光滑度處理，得到序列w(0)?？蛇x用以下方案：

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化T1:ln x(0)(k)；

(2)冪函數(shù)轉(zhuǎn)化T2:(x(0)(k))t,t∈(0,1]；

另外，還可以考慮負(fù)指數(shù)函數(shù)、負(fù)指數(shù)函數(shù)-冪函數(shù)轉(zhuǎn)化等方法。

第二步：對(duì)w(0)建立GM(1,1)模型，然后利用函數(shù)轉(zhuǎn)化的逆運(yùn)算，將其預(yù)測(cè)值 w?(0)還原為 x?(0)。

第三步：設(shè)殘差為q(0)(k)= | x(0)(k)-x?(0)(k)| ，對(duì) q(0)建立GM(1,1)模型，將得到的預(yù)測(cè)值，加入原模型進(jìn)行修正。

在優(yōu)化模型1的基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)一步改善殘差，得到優(yōu)化模型2。具體步驟如下：

第一步：對(duì)初始序列x(0)進(jìn)行光滑度處理，得到序列w(0)。

第二步：對(duì)w(0)建立GM(1,1)模型，然后將其預(yù)測(cè)值w?(0)還原為 x?(0)。

第三步：設(shè)殘差為q(0)(k)= | x(0)(k)-x?(0)(k)| ，對(duì)殘差序列作光滑度處理后，再建立GM(1,1)模型；最后將得到的結(jié)果還原處理后，加入原模型予以修正。

4 應(yīng)用實(shí)例

以文[1]中Fibonacci數(shù)列為例，初始數(shù)列為：x(0)={x(0)(k)}={1,1,2,3,5,8,13}，其中 k=0,1,2,…,6。易知該數(shù)列為光滑的[8]，可用灰色模型進(jìn)行預(yù)測(cè)和分析。根據(jù)文[1]的結(jié)論，作者提出了兩種改進(jìn)的誤差修正模型對(duì)數(shù)列x(0)做出預(yù)測(cè)，其結(jié)果在精度上要優(yōu)于傳統(tǒng)的殘差修正模型，其中第二種改進(jìn)模型效果更好。這里我們將運(yùn)用優(yōu)化模型1對(duì)數(shù)列x(0)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與文[1]中的結(jié)果進(jìn)行比較。

首先，分別運(yùn)用T1、T2和T3對(duì) x(0)進(jìn)行光滑度處理。運(yùn)用T1和T3時(shí)，為使運(yùn)算有意義，需先將原數(shù)列化為 y(0)(k)=x(0)(k)+3后，再進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)，最后用x(0)(k)=y(0)(k)-3還原；運(yùn)用T2和T3時(shí)，取t為0.5。

然后通過(guò)優(yōu)化模型1，可分別得出三種處理方式的預(yù)測(cè)情況，見(jiàn)表1。

表1 三種光滑度處理方法的預(yù)測(cè)結(jié)果

從表1中數(shù)據(jù)可看出，選用T2處理后，除x(0)(1)=1的預(yù)測(cè)值誤差過(guò)大外，對(duì)其余各項(xiàng)x(0)(k)(k=2,3,…,9)的擬合情況明顯優(yōu)于T1和T3；并且這種精度優(yōu)勢(shì)從預(yù)測(cè)項(xiàng)k=7開(kāi)始，表現(xiàn)的尤為突出，體現(xiàn)出預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性高。綜合比較下，選擇T2作為初始數(shù)列x(0)的光滑度轉(zhuǎn)換方式，并將結(jié)果與文[1]中預(yù)測(cè)效果最好的模型II比較，見(jiàn)表2。

由表2中的比較結(jié)果可知，本文所建立的優(yōu)化模型1的平均相對(duì)誤差為4.38%，與文[1]中模型II的5.13%相比，有明顯的改進(jìn)。同時(shí)從圖1中可看出，當(dāng)k＞2時(shí)，優(yōu)化模型1的殘差絕對(duì)值均小于或等于文[1]中的模型II的結(jié)果，其擬合精度更高。而且對(duì)于k=7的預(yù)測(cè)項(xiàng)，優(yōu)化模型1的相對(duì)誤差絕對(duì)值僅為0.05%，遠(yuǎn)小于1%，與文[1]中模型II的3.16%相比，其預(yù)測(cè)的可靠性更強(qiáng)。

表2 兩種改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果比較

圖1 兩類(lèi)模型的殘差比較

綜上所述，經(jīng)過(guò)一次光滑度處理得到的優(yōu)化模型1無(wú)論從整體的誤差率方面，還是在預(yù)測(cè)前景上，均優(yōu)于文[1]中的模型II。最后，考慮優(yōu)化模型2，模型2的兩次光滑度處理均采用冪函數(shù)轉(zhuǎn)化。通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析得，在初始數(shù)列的處理中取t=0.5，以及在殘差序列的處理中取t接近1（如t=0.05）時(shí)，擬合效果較好。其預(yù)測(cè)情況與優(yōu)化模型1比較，見(jiàn)表3。

表3 優(yōu)化模型1和2的預(yù)測(cè)情況比較

表3中，從整體情況分析，由前7項(xiàng)的擬合值，可計(jì)算出優(yōu)化模型1和2的平均相對(duì)誤差分別為4.38%和4.15%，模型2的誤差率較低；而由前9項(xiàng)擬合效果看，模型2的誤差率也低于模型1。表明經(jīng)過(guò)兩次光滑化處理后，模型2的精度比模型1有一定的提高，略?xún)?yōu)于模型1。當(dāng)3＜k≤9時(shí)，兩類(lèi)模型相對(duì)誤差的絕對(duì)值均控制在1%以?xún)?nèi)，精度很高；特別是在k＞6以后的預(yù)測(cè)值，結(jié)果令人滿(mǎn)意。

圖2 優(yōu)化模型1和2的殘差比較

另外，從兩類(lèi)模型的殘差絕對(duì)值（圖2）情況可看出，隨著預(yù)測(cè)項(xiàng)數(shù)的增大，當(dāng)k＞5時(shí)，兩者的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)差異不大。表明優(yōu)化模型2在預(yù)測(cè)方面比模型1的優(yōu)勢(shì)并不明顯，仍有值得改善和思考的地方。

5 結(jié)論

在文[1]提出的改進(jìn)殘差修正模型的背景下，運(yùn)用函數(shù)轉(zhuǎn)化先對(duì)初始數(shù)列進(jìn)行光滑度處理，得到優(yōu)化模型1；然后在模型I的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)殘差序列也作光滑度處理，得到優(yōu)化模型2。然后通過(guò)實(shí)例，將優(yōu)化模型1和2與文[1]中的模型II比較，結(jié)果分析如下。

第一，與文[1]中的改進(jìn)模型相比，優(yōu)化模型1不僅在平均相對(duì)誤差上更低，而且其優(yōu)勢(shì)在預(yù)測(cè)值方面體現(xiàn)得更明顯，未來(lái)預(yù)測(cè)值的精度和可靠性均優(yōu)于文[1]的模型II；

第二，優(yōu)化模型2比優(yōu)化模型1的平均相對(duì)誤差有進(jìn)一步的改進(jìn)，特別在預(yù)測(cè)方面，模型2的結(jié)果優(yōu)于模型1；

第三，在實(shí)例中，優(yōu)化模型1和2中的光滑度處理均選擇了冪函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，當(dāng)面對(duì)不同問(wèn)題時(shí)，需要根據(jù)具體情況選擇合適的函數(shù)轉(zhuǎn)換。

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