(h-m)-凸函數(shù)的一些不等式

黃 潔，徐 璇，張宇槐，楊 瑜

(浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州310012)

(h-m)-凸函數(shù)的一些不等式

黃 潔，徐 璇，張宇槐，楊 瑜*

(浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州310012)

研究了(h-m)-凸函數(shù)的一些不等式，利用分析的方法，獲得了(h-m)-凸函數(shù)不等式的4個(gè)結(jié)論，推廣了相應(yīng)文獻(xiàn)中的結(jié)果.

(h-m)-凸函數(shù);不等式;超相乘函數(shù)

1 引言

凸函數(shù)在各種不等式中起著重要的作用，近年來(lái)引起了不少學(xué)者的關(guān)注，參見(jiàn)文獻(xiàn)［1-3］.最近，文獻(xiàn)［4］給出了h-凸函數(shù)的定義并研究了h-凸函數(shù)的一些性質(zhì)和不等式.文獻(xiàn)［5］在文獻(xiàn)［4］的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了h-凸函數(shù)的一些不等式.而文獻(xiàn)［6］給出了(h-m)-凸函數(shù)的定義.受文獻(xiàn)［4-6］的啟發(fā)，本文研究(h-m)-凸函數(shù)的一些不等式，推廣了文獻(xiàn)［4］和［5］的相應(yīng)結(jié)果.

2 預(yù)備知識(shí)

令I(lǐng)和J是R上的區(qū)間，為證明本文的主要結(jié)果，我們需要如下的一些定義和引理，定義1-3參見(jiàn)文獻(xiàn)［4-6］.

定義1 設(shè)函數(shù)h:J→R是非負(fù)的且h≠0，f:I→R是非負(fù)的且對(duì)任意的x，y∈I和α∈(0，1)，都有

則稱(chēng)f:I→R是h-凸函數(shù).反之，稱(chēng)f:I→R是h-凹函數(shù).

定義2 函數(shù)h:J?R→R是非負(fù)的.當(dāng)f為非負(fù)且對(duì)任意的x，y∈ 0，[ ]b(b＞0)，m∈ 0，[ ]1和α∈(0，1)，都有

則稱(chēng)f:［0，b］→R是(h-m)-凸函數(shù).反之，稱(chēng)f:［0，b］→R是(h-m)-凹函數(shù).

定義3 函數(shù)h:J→R，若對(duì)任意的x，y∈J，有h(xy)≥h(x)h(y)成立，則稱(chēng)h:J→R是超相乘函數(shù).反之，稱(chēng)h:J→R是非超相乘函數(shù).

引理1 假設(shè)h:J→R是非負(fù)的超相乘函數(shù)，f:I→R是(h-m)-凸函數(shù)且m∈(0，1］，令x1，x2，x3∈I且x1＜x2＜x3，則

當(dāng)h是非負(fù)的非超相乘函數(shù)且滿(mǎn)足f:I→R是(h-m)-凹函數(shù)時(shí)，不等號(hào)反向.

證明 f是(h-m)-凸函數(shù)，令x1，x2，x3∈I且x1＜x2＜x3，則

又因?yàn)閔為非負(fù)的超相乘函數(shù)，故

同理得

令h(x3-x1)＞0，由于f為(h-m)-凸函數(shù)，不妨令(1)式中的

則

故(1)式化為兩邊同乘以h(x3-x1)即得(2)式.

3 主要結(jié)果和證明

下面，我們給出本文的主要結(jié)果.

定理1 ω1，…，ωn是正實(shí)數(shù)(n≥2)，當(dāng)h是非負(fù)的超相乘函數(shù)且滿(mǎn)足f是(h-m)-凸函數(shù)，m∈ [0 ，1]，x1，…，xn∈I，則

證明 因?yàn)閒是(h-m)-凸函數(shù)，當(dāng)n=2時(shí)，有

故(4)式成立.

假設(shè)當(dāng)n=k-1時(shí)，(4)式成立，即

因此，當(dāng)n=k時(shí)，

將(5)式代入(6)式得

又因?yàn)閔是非負(fù)的超相乘函數(shù)，所以由定義3知(7)式可化為

故當(dāng)n=k時(shí)，(4)式成立.

定理得證.

注1 當(dāng)m=1，即f是h-凸函數(shù)，定理1即文獻(xiàn)［4］中的定理19.

推論1 當(dāng)h是非負(fù)的超相乘函數(shù)且滿(mǎn)足f是(h-m)-凸函數(shù)時(shí)，x1，…，xn∈I，m∈［0，1］，則

定理2 假設(shè)w1，…，wn是正實(shí)數(shù)，(m0，M)?I，h:(0，∞)→R為非負(fù)的超相乘函數(shù)，并且f是(hm)-凸函數(shù)，對(duì)于任意的x1，…，xn∈(m0，M)，m∈(0，1］，則

當(dāng)h是非負(fù)的非超相乘函數(shù)且f是(h-m)-凹函數(shù)時(shí)，不等號(hào)反向.

證明 根據(jù)引理1，在式(3)中取x3=M，x2=xi和x1=m0得

注2 當(dāng)m=1時(shí)，即f是h-凸函數(shù)，定理2即為文獻(xiàn)［4］中的定理21.

定理3 設(shè)h:J?R→R是非負(fù)的超相乘函數(shù)，若對(duì)于任意的x1，x2，…，xn∈［0，b］(b＞0)，m∈(0，1］，f:［0，b］→R是(h-m)-凸函數(shù)，則

證明 因?yàn)閒:［0，b］→R是(h-m)-凸函數(shù)，則

而

由推論1知，(10)式可化為

將(11)式代入(9)式得

定理得證.

注3 當(dāng)m=1，即f是h-凸函數(shù)，定理3即為文獻(xiàn)［5］中的定理11.

則

證明 因?yàn)閒:［0，b］→R是(h-m)-凸函數(shù)，由推論1得

由(11)式得

將(13)式代入(12)式得

定理得證.

注4 當(dāng)m=1，即f是h-凸函數(shù)，定理4即為文獻(xiàn)［5］中的定理12.

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Some Inequalities For(h-m)-Convex Functions

HUANG Jie，XU Xuan，ZHANG Yuhuai，YANG Yu
(School of Science and Technology，Zhejiang International Studies University，Hangzhou 310012，China)

This paper studies some inequalities for(h-m)-convex functions.By applying the method of analysis，four conclusions on the inequalities of(h-m)-convex functions are obtained.And the results extend to some related results in the relevant literature.

(h-m)-convex functions;inequality;supermultiplicative function

O178.1

A

2095-2074(2012)03-0080-05

2012-04-15

黃潔(1990-)，女，浙江紹興人，浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2010級(jí)本科生;徐璇(1994-)，女，浙江臺(tái)州人，浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2010級(jí)本科生;張宇槐(1992-)，男，浙江紹興人，浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2010級(jí)本科生.

*通訊作者:楊瑜(1981-)，男，浙江安吉人，浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授，理學(xué)博士.