對個人外匯理財產(chǎn)品初始價格的研究

陳 穎，王小靈

(南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院， 江蘇 南京 210046)

0 引言

20世紀(jì)90年代中后期以來, 個人外匯理財業(yè)務(wù)逐漸成為國內(nèi)銀行的主要金融衍生產(chǎn)品[1-3]。近年來, 國內(nèi)銀行又陸續(xù)推出了品種繁多的個人外匯理財新產(chǎn)品。 我們知道所有這些產(chǎn)品的收益率主要受外匯利率、匯率波動的影響,因此購買此類產(chǎn)品的投資者一般是對未來匯率走勢有明確預(yù)期。 徐承龍等研究了在兩國利率均為常數(shù)情況下, 通過偏微分方程的方法，對交通銀行“智匯寶”理財產(chǎn)品的合約價值進(jìn)行了定價[4], 但他未考慮違約的情況。 本文將在此基礎(chǔ)之上, 以工行“兩得利”外匯理財產(chǎn)品為例，考慮違約的情況對該理財產(chǎn)品的合約價值進(jìn)行定價。

1 模型建立

為簡化問題，設(shè)存款為1單位A外匯。 并作如下假設(shè)：

1) 美元對外匯的匯率為S(t) (1單位美元兌換1單位A外匯的數(shù)量)服從幾何Brown運(yùn)動

(1)

其中σ1為波動率,r2為美元的無風(fēng)險利率,rt為A外匯的無風(fēng)險利率, 且滿足Vasicek模型

drt=a(θ-rt)dt+σ2dWt

(2)

P(r,t;T)=A(T)e-rB(t)

(3)

2)設(shè)V為一單位A外匯存款合約的價值,V是關(guān)于匯率St，A外匯隨機(jī)利率rt和時間t的函數(shù), 即V=V(S,r,t)。 理財產(chǎn)品合約的初始時刻記為t=0, 合約到期日記為t=T。V0=V(S0,r,0)為初始時刻該理財產(chǎn)品的合約價值[1]。

3) A外匯存款的協(xié)定年利率為正的常數(shù)r4, 協(xié)定匯率為正的常數(shù)K。期權(quán)金的年收益率為正的常數(shù)r3。

4)市場是公平的、透明的, 即不存在無風(fēng)險套利機(jī)會。

5)銀行只有在到期日t=T才支付給客戶收益, 即不考慮銀行違約。 如果客戶沒有贖回本金, 那么到期日, 客戶的最終收益主要取決于銀行是否執(zhí)行期權(quán)。 客戶到期日的收益為

(4)

6)如果客戶在合約存續(xù)期內(nèi)選擇贖回本金, 則客戶可以獲得一部分A外匯本金。 假設(shè)客戶的違約強(qiáng)度λ為正的常數(shù), 違約時間t服從概率密度函數(shù)為q(t)=λe-λ(T-t)的分布, 那么該理財產(chǎn)品合約的價格就是依賴于違約時間的數(shù)學(xué)期望。 客戶在τ時刻的收益為V(S,r,t)=ω,這里ω為常數(shù)回收率, 0<ω<1。

7)市場是無摩擦的, 即不考慮稅收和交易費(fèi)用。構(gòu)造這樣的投資組合: 買入一份理財產(chǎn)品V, 賣出Δ1t份美元(折算為Δ1tS份A外匯)， 同時賣出Δ2t份A國零息票債券

π=V-Δ1tS-Δ2tP

(5)

選取適當(dāng)?shù)摩?t和Δ2t使得該投資組合在[t,t+dt]內(nèi)是無風(fēng)險的, 同時考慮到美元有利息收入Δ1tStr2dt, 故

πt+dt=Vt+dt-Δ1tSt+dt-Δ1tStr2dt-Δ2tPt+dt

(6)

根據(jù)無套利原理：dπt=rtπtdt，由(5)、(6)可得

dVt-Δ1tdSt-Δ1tStr2dt-Δ2tdPt=rt[Vt-Δ1tSt-Δ2tPt]dt

(7)

而對(5)運(yùn)用多維Ito公式[3], 可得

(8)

由假設(shè)(1)中的(3)式，則

(9)

(10)

如果考慮違約風(fēng)險，違約時間τ服從概率密度函數(shù)為q(τ)=λe-λ(T-τ)的分布, 那么該理財產(chǎn)品合約的價值就是依賴于違約時間的數(shù)學(xué)期望[3]。

2 模型的求解

為方便起見，將以上方程的解分解為兩部分[5]：

V(S,r,t)=V1(S,r,t)-V2(S,r,t)

(11)

由(10)(11)可得，V1,V2分別滿足

(12)

(13)

顯然方程(12)有解

V1(S,r,t)=[1+(r3+r4)T]P(r,t;T)

(14)

它可以看做t=T時刻固定收益V1(S,r,T)在當(dāng)前的貼現(xiàn)。

(15)

再令

W(y,t)=KG(y,t)

(16)

將式(16)帶入式(15)可得

(17)

方程(17)可看做推廣的看跌期權(quán)，則

W(y,t)=KN(d1)-ye-r2(T-t)N(d2)

(18)

其中

將式(18)帶入式(16)可得

(19)

故

(20)

從而由式(14)和式(20)可得

(21)

如果違約情況發(fā)生, 即τ

(22)

其中

3 數(shù)值分析

下面討論V0的價值與各參數(shù)之間的關(guān)系。

1)在不同違約強(qiáng)度下，初始時刻合約價值V0和初始匯率S0之間的關(guān)系。

取a=0.4,T=4,t=0,θ=0.1,σ1=0.15,σ2=0.25,K=0.7,r=0.03,ρ=0.25,

r3=0.12,r4=0.002,r2=0.001,w=0.9,運(yùn)用MATLAB作圖1所示：

從上圖可以看出, 初始匯率越大, 則合約價值越高。 這是因為初始匯率越大, 銀行執(zhí)行期權(quán)的概率就越小, 而客戶可以獲得穩(wěn)定的期權(quán)費(fèi), 故合約價值會變高。 同時可以看出, 客戶的違約強(qiáng)度越高, 合約價值越低。 這是因為客戶一旦違約, 不僅損失了期權(quán)費(fèi)和固定利息, 而且只能收回部分本金。

2)在不同回收率水平下，初始時刻合約價值V0和匯率波動率σ1之間的關(guān)系。

取a=0.4,T=3,t=0,θ=0.1,σ2=0.3,K=0.7,r=0.03,ρ=0.25,r3=0.12

r4=0.002,r2=0.001,λ=0.005,S0=0.6,運(yùn)用MATLAB作圖2所示：

圖1 V0的價值與各參數(shù)之間的關(guān)系 圖2 價值V0和匯率波動率σ1之間的關(guān)系

由上圖可得, 匯率波動率越大, 合約價值越低。 這是因為匯率波動率越大, 銀行執(zhí)行期權(quán)的可能性越大, 客戶承擔(dān)的風(fēng)險變大, 合約價值變低。 同時可以看出, 美元回收率越高,合約價值越高。 這是因為回收率是最低收益的保證, 回收率越大, 客戶違約的成本就越小,合約價值就越高。

[參考文獻(xiàn)]

[1] Hull, J. M. and White, A..The impact of default risk on the prices of options and other derivative securities[J] .Journal of Finance,1995,40(1):53-85.

[2] Duffie D., Singleton K..Modeling Term Structures of Default Bonds [J],Review of Financial studies,1999,12(4):687-720.

[3] 姜禮尚.期權(quán)定價的數(shù)學(xué)模型和方法[M].2版.北京: 高等教育出版社,2003.

[4] 姜禮尚, 徐承龍, 任學(xué)敏,等.金融衍生產(chǎn)品定價的數(shù)學(xué)模型與案例分析[M].北京:高等教育出版社, 2008(6):106-114.

[5] 張寄洲.金融數(shù)學(xué)教程[M].北京：人民郵電出版社，2006:82-89.