距離空間的距離函數(shù)與誘導(dǎo)距離函數(shù)的關(guān)系以及應(yīng)用

陳淼超

(巢湖學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 巢湖238000)

0 引言

距離空間是歐幾里得空間的推廣，被稱為最基本最重要的抽象空間。距離空間的概念起源于德國數(shù)學(xué)家G.康托爾創(chuàng)立的集合論，由法國數(shù)學(xué)家弗雷歇爾于1906年首先給出定義的。1914年豪斯多夫在距離空間的理論方面增添了許多成果，特別是證明了每一個距離空間能夠并且只能夠按一種方式擴(kuò)展成一個完全的距離空間。1925年，原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家烏雷松在他去世后發(fā)表的論文中證明了每一個可分離的距離空間同胚于希爾伯特放團(tuán)體的一個子集等重要結(jié)果，此后距離空間理論隨著拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展而相繼前進(jìn)，其中，拓?fù)淇臻g的距離化問題是一個比較重要的問題，20世紀(jì)50年代日本，原蘇聯(lián)，美國數(shù)學(xué)家獲得一系列重要結(jié)果，得到拓?fù)淇臻g可距離化的充要條件[1]。

1 具體模型

在二維歐式空間中，根據(jù)兩點間距離公式以及平面曲線弧長公式，我們就可以對一些曲線求出長度[2]。在黎曼幾何中，考慮平面上給定了一個區(qū)域Ω，若給了一個度量函數(shù)ρ，就可以定義關(guān)于區(qū)域Ω中的點，在度量ρ下的距離函數(shù)dρ[3]。仿照黎曼幾何的做法，設(shè)X為一個距離空間，ρ為X的一個距離函數(shù)，?P,Q∈X,令ΓX(P,Q)為X中連接P與Q的所有可求長連續(xù)曲線的集合，這里γ(α)=P,γ(β)=Q我們定義P與Q的誘導(dǎo)距離函為：dρ(P,Q)=inf{ρ(γ):γ∈ΓX(P,Q)}.這樣，我們就給出了一個新的距離函數(shù)dρ(P,Q)，我們稱它為誘導(dǎo)距離函數(shù)[4]。

2 主要結(jié)論及其證明

證明：設(shè)分割T:α=t0

Pi=r(ti),P0,P1,…Pn∈X

那么就得到

因此，如果將原分割加密一個點s得到一個新的分割

T1:α=t0

其中s對應(yīng)曲線上的點為Q，則

而

因為(X,d)為一個距離空間。所以

d(Pj,Q)+d(Q,Pj+1)≥d(Pj,Pj+1)

定理2：設(shè)(X,ρ)為距離空間，dρ為X上的誘導(dǎo)距離函數(shù)，對?P,Q∈X，則在距離空間(X,ρ)中，有：dρ(P,Q)≥ρ(P,Q)。

證明：在X中任給一條連接P,Q的可求長的連續(xù)曲線γ.所以

ρ(γ*)=sup{LT}≥

又根據(jù)定理1知

即

ρ(γ*)≥ρ(P,Q)

又因為

dρ(P,Q)=inf{ρ(γ)}

所以對?ε>0,?γ*，使ρ(γ*)

所以dρ(P,Q)+ε>ρ(P,Q)

由ε的任意性知：

dρ(P,Q)≥ρ(P,Q)

3 應(yīng)用

例1：設(shè)X=R2,P=(x1,y1),Q=(x2,y2)為R2中任意兩點，定義

ρ(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|

易證(X,ρ)構(gòu)成一個距離空間：

①?P,Q∈X.ρ(x,y)=|x1-x2|+|y1-y2|≥0

若ρ(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|=0?x1=x2,y1=y2?P=Q

反之，若P=Q?x1=x2,y1=y2?ρ(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|=0

②ρ(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|=|x2-x1|+|y2-y1|=ρ(Q,P)

③?P,Q,R∈X.設(shè)Q=(x3,y3),有

ρ(Q,R)+ρ(R,P)=|x2-x3|+|y2-y3|+|x3-x1|+|y3-y1|

≥|x1-x2|+|y1-y2|

=ρ(P,Q)

綜合上述① ② ③，可得(X,ρ)是一個距離空間。

令R=(x2,y1)∈X，取γ*=γ1∪γ2。其中

顯然，γ*連續(xù)可求長，γ*(0)=P,γ*(1)=Q

做分割：T*:0=t0

對于曲線γ1(t),對應(yīng)曲線上的點為γ1(ti)(i=0,1,…m)

顯然，γ1(t0)=P,γ1(tm)=R

對于曲線γ2(t),對應(yīng)曲線上的點為γ2(ti)(i=m,m+1,…n)

顯然，γ2(tm)=R,γ2(tn)=Q

?分割T，可作T*=T∪{1}為T的加密，由定理1可知LT≤LT*.所以

ρ(γ*=|x1-x2|+|y1-y2|=ρ(P,Q)

又對γ*，使得

ρ(γ*)≥inf{?ρ(γ):γ∈Γρ(P,Q)}=ρ(P,Q)

而由定理4有

dρ(P,Q)≥ρ(P,Q).所以dρ(P,Q)=ρ(P,Q)

由上述例子可以得到下面的結(jié)論：

推論1：設(shè)有距離空間(X,ρ)，dρ為X上的誘導(dǎo)函數(shù)。對于X,?P,Q∈X,若存在一連續(xù)曲線γ連接P,Q兩點，且使得ρ(γ)=ρ(P,Q)。

例2：設(shè)X=S3={(x,y,z)|x2+y2+z2=1},其中P(x1,y1,z1)與Q(x2,y2,z2)為X中任意兩點。對?P,Q∈X,通過旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換可將P,Q轉(zhuǎn)到XOZ面上。

易證(X,d)構(gòu)成一個距離空間。

證明：?γ(t):[α,β]→X的連續(xù)映射

γ(t)=(x(t),y(t),z(t)),t∈[α,β]

假設(shè)x′(t),y′(t),z′(t)連續(xù)

代入上式有：

而dd(α,β)=inf{d(γ(t))},可知dd(α,β)為球S3在XOZ面上，我們不妨將P,Q兩點旋轉(zhuǎn)使P點落在X軸上，設(shè)此時OX到OQ的角為φ，做這樣的旋轉(zhuǎn)對過P,Q兩點在XOZ面上的那個大圓的劣弧長度并沒有影響。

根據(jù)上述旋轉(zhuǎn)后有：

即P,Q兩點的誘導(dǎo)距離大于P,Q兩點的距離。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 劉炳初．泛函分析[M]．北京:科學(xué)出版社,1998．

[2] 陳景良．近代分析數(shù)學(xué)概要[M]．北京：清華大學(xué)出版社，1987．

[3] 陳熙駒，斯廷路．拓?fù)鋵W(xué)的首要概念[M]．將守方,等譯．上海：科學(xué)技術(shù)出版社．1984．

[4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析:上冊[M]．北京:高等教育出版社．1991．

[5] 李慶忠．復(fù)變函數(shù)[M]．北京:科學(xué)出版社．2000.