隨機延遲微分方程隨機θ方法的幾乎處處指數穩(wěn)定

張 玲

(大慶師范學院 數學科學學院, 黑龍江 大慶 163712 )

1 引言與預備

在這篇文章不做特別的說明，我們令|x|是歐幾里得范數，令(Ω,F,P)是完備的概率空間，并具有滿足通常條件的代數流{Ft}t≥0。

引理1[2]：對于t≥0，令A(t),U(t)是兩個Ft可測的增過程，并且A(0)=U(0)=0 a.s.，令M(t)是實值的局部鞅，并且M(0)=0a.s.，令ζ是非負F0可測的隨機變量。假設X(t)是非負并且對于t≥0有X(t)=ζ+A(t)-U(t)+M(t)。如果limt→∞A(t) <∞a.s.，那么對于幾乎所有的ω∈Ω,有

limt→∞X(t) <∞和limt→∞U(t) <∞

也就是，X(t)和U(t)都收斂到有限的隨機變量。

引理2[3]：對于i=1,2，…，令{Ai},{Ui}是兩個非負的隨機變量序列，使得Ai和Ui是Fi-1可測的并且A0=U0=0a.s.，令Mi是實值的局部鞅并且M(0)=0a.s. ，令ζ是非負F0可測的隨機變量。假設{Xi} 是一個非負半鞅并且有分解

Xi=ζ+Ai-Ui+Mi

如果limi→∞Ai<∞a.s.，那么對于幾乎所有ω∈Ω, limi→∞Xi<∞ 和limi→∞Ui<∞,也就是，Xi和Ui都收斂到有限的隨機變量。

我們考慮n維的隨機延遲微分方程

(1)

其中f,g:C(Rn×Rn;Rn)，并且w(t)是一個維納過程。為了研究穩(wěn)定性，我們假設f(0,0)=g(0,0)=0。下面給出研究問題的條件局部Lipchitz條件：

(2)

下面是本篇文章的主要結果，首先給出解析解的穩(wěn)定性結果，之后給出方程(1)的隨機θ方法，并且應用半鞅收斂定理來證明這個方法得到的數值解是幾乎處處指數穩(wěn)定的。

2 解析解和數值解的穩(wěn)定性

我們首先給出方程(1)的隨機θ方法

(3)

(4)

定義2[5]稱離散的方程(3)的數值解xk是幾乎處處指數穩(wěn)定的，如果存在一個常數η>0，對于有界隨機變量ξ(kh),k=-m,-m+1，…0，使得

(5)

下面的定理給出了隨機微分方程(1)解析解的幾乎處處穩(wěn)定。

定理1：在假設3滿足的情況下，假設有四個非負常數λ1,λ2,λ3,λ4，對于所有的x,y∈Rn和t≥0，使得

2xTf(x,0)≤-λ1|x|2

(6)

|f(x,y)-f(x,0)|≤λ2|y|

(7)

|g(x,y)|2≤λ3|x|+λ4|y|

(8)

成立，如果

λ1>2λ2+λ3+λ4

(9)

其中γ>0是下面式子唯一的根

λ1-λ2-λ3-γ=(λ2+λ4)eγτ

下面讓我們討論隨機延遲微分方程隨機θ方法數值解的穩(wěn)定性，假設f滿足線性增長條件，也就是，存在一個K>0，使得

|f(x,y)|2≤K(|x|2+|y|2)

(10)

(11)

證明：由(3)得

(12)

對于任意的整數C>1，我們有

C(k+1)h|xk+1|2-Ckh|xk|2=C(k+1)h(|xk+1|2-|xk|2)+(C(k+1)h-Ckh)|xk|2

(13)

把(12)代入(13)，并且由條件(6)-(10)我們得到

(14)

其中

我們把(14)不等式兩側進行求和得

(15)

因為

把上面三個式子代入(15)，當1-a2>0時，

其中

讓我們先討論下面這個函數

φ(C)=(a1+λ3h)Ch+a2+a4Cmh+(a3+λ4h)C(m+1)h

因此，對于任意的C≥1，我們得到φ'(C)>0。得到

φ(1)=-(λ1-2λ2-λ3-λ4-2Kh)h

選擇μ使得C=eμ并且1-C-h=1-e-μh。下面定義函數

(16)

(17)

通過γ的定義，(16)和(17)得到

進一步有

3 結語

綜上所述，本文給出了隨機延遲微分方程解析解和數值解的幾乎處處指數穩(wěn)定，我們應用的是隨機θ方法，證明的方法建立在連續(xù)和離散鞅收斂定理上，以往別人做的技巧是應用了切比雪夫不等式和大數定律，在這篇文章中主要應用鞅收斂定理，直接給出了隨機延遲微分方程數值解的幾乎處處指數穩(wěn)定的性質，這為以后繼續(xù)研究隨機微分方程解析解和數值解的性質奠定了一定基礎，并提供理論根據。

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