基于矩陣束算法的極點(diǎn)提取分析*

徐 利， 鄒傳云， 陳 民， 何 毅

0 引言

從目標(biāo)瞬態(tài)響應(yīng)中提取其自然諧振復(fù)頻率即極點(diǎn)是現(xiàn)代目標(biāo)識(shí)別的一種重要方法。極點(diǎn)提供了源無關(guān)特性，僅與散射體目標(biāo)結(jié)構(gòu)有關(guān)，因此目標(biāo)極點(diǎn)準(zhǔn)確提取是目標(biāo)識(shí)別的關(guān)鍵所在。在眾多的極點(diǎn)提取方法如矩陣束算法(MPM，Matrix Pencil Method )[1-2]、Prony法、E脈沖法（E-pulse）中，由于矩陣束算法對(duì)噪聲具有較強(qiáng)的抑制能力和高精度的數(shù)據(jù)擬合能力而得到廣泛應(yīng)用[3-6]。

極點(diǎn)提取的準(zhǔn)確性受到目標(biāo)極點(diǎn)模數(shù)、奇異值分解(SVD，Singular Value Decomposition)參數(shù)及噪聲的影響較大。為了提高極點(diǎn)提取精確度，結(jié)合實(shí)例，提出了目標(biāo)極點(diǎn)模數(shù)及SVD參數(shù)的取值方法，并分析了不同信噪比情況下，噪聲信號(hào)極點(diǎn)提取的誤差。

1 矩陣束算法

根據(jù)極點(diǎn)展開法(SEM，Singularity Expansion Method)理論，目標(biāo)電磁散射后時(shí)響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型可以表示成一系列衰減復(fù)指數(shù)和的形式：

式中，x(t)為信號(hào), n(t)為噪聲；Ri是復(fù)振幅（留數(shù)）；極點(diǎn) zi=αi+jωi(αi、ωi分別代表衰減因子和角頻率)；M為極點(diǎn)個(gè)數(shù)。

為獲得最佳的 M , R和iz，首先由噪聲數(shù)據(jù)()ykt△(t△是采樣間隔，k為采樣點(diǎn)數(shù))構(gòu)造Hankel矩陣Y：

式中，N為數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)數(shù)，L是函數(shù)束參數(shù)。

其次，對(duì) Y進(jìn)行奇異值分解[7]以獲得特征矢量及特征值：

式中，矩陣U、V分別為Y的左奇異矩陣和右奇異矩陣，由矩陣 YHYHH、YHHYH的特征矢量組成，上標(biāo)H表示共軛轉(zhuǎn)置。對(duì)角矩陣∑由Y的特征值組成。

由于σc按照從大到小順序排列，比較每個(gè)σc和最大奇異值的比值直至滿足 σcσmax≈1 0-P(P代表計(jì)算精度，默認(rèn)值為采樣數(shù)據(jù)的小數(shù)位數(shù)), 即可確定M的取值。

然后，構(gòu)造濾波矩陣 V ′= ［ v1, v2,… ,vM］, 分別去掉 V ′的第一行和最后一行得到V2'，V1'，取∑的前M列 ∑ ′，則：

求得iM 和iZ后 ，系數(shù)iR可利用最小二乘法計(jì)算得到，具體式為：

2 極點(diǎn)提取的參數(shù)選取

目標(biāo)散射信號(hào)的極點(diǎn)不僅與噪聲有關(guān)，還受到M、P的影響。在一定噪聲范圍內(nèi)，M、P的不同組合，使得提取的極點(diǎn)和真實(shí)極點(diǎn)之間存在較大偏差，而且還可能出現(xiàn)虛假、寄生極點(diǎn)。選擇正確的極點(diǎn)數(shù)M，才能利用奇異值分解改善極點(diǎn)提取效果[8]。

2.1 目標(biāo)極點(diǎn)M可預(yù)知時(shí)，P的確定

首先，取P的默認(rèn)值為起始值，以一定的步長減小 P，反復(fù)運(yùn)行矩陣束算法，直到提取極點(diǎn)的個(gè)數(shù)與M相同為止，此時(shí)的P即為所求值。

為驗(yàn)證方法的有效性，用3對(duì)留數(shù)、極點(diǎn)對(duì){(11，1 ± 2 π × 2 j )，( 7 ejπ/2，2 ± 2 π × 3 j )，( 2 0ejπ，5±2π ×12j)}構(gòu)造衰減指數(shù)和正弦信號(hào)，對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)如圖1所示。

對(duì)此衰減正弦信號(hào)加入20 dB的高斯白噪聲模擬噪聲信號(hào)。圖2 給出了具有3對(duì)極點(diǎn)的正弦衰減噪聲信號(hào)在P的不同取值時(shí)，極點(diǎn)分布情況。

圖1 由極點(diǎn)、留數(shù)構(gòu)造的正弦衰減信號(hào)

圖2 不同P值時(shí)，信號(hào)極點(diǎn)分布

由此可以看出，當(dāng)P取0.9時(shí)提取的極點(diǎn)、留數(shù)值與所給參數(shù)值相同，證明了該方法的有效性。

2.2 目標(biāo)極點(diǎn)未知時(shí),M、P的確定

假設(shè)目標(biāo)的極點(diǎn)個(gè)數(shù)為M。設(shè)置P由默認(rèn)值開始，并以一定的步長遞減，利用矩陣束算法獲得目標(biāo)不同M值時(shí)的極點(diǎn)、留數(shù)對(duì)(iZ,iR)；然后，利用極點(diǎn)、留數(shù)重構(gòu)目標(biāo)時(shí)域信號(hào)。定義歸一化均方誤差：

表征重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)的誤差。在M的范圍內(nèi)，通過遍歷求解MSE，其最小值對(duì)應(yīng)的M即為目標(biāo)極點(diǎn)個(gè)數(shù)。再選取與M對(duì)應(yīng)的P值，即可獲得準(zhǔn)確的極點(diǎn)、留數(shù)值。

以圖1所示的信號(hào)為目標(biāo)信號(hào)，應(yīng)用上述方法，獲得目標(biāo)極點(diǎn)數(shù)M與MSE的關(guān)系，如圖3所示。

圖3 M與MSE的關(guān)系曲線

由圖3可以看出， MSE是M的函數(shù)，并且隨著M的增大而逐漸減?。划?dāng)M為6時(shí)，MSE急劇衰減取得最小值；而后呈增大趨勢(shì)。由此表明，目標(biāo)極點(diǎn)數(shù)目M可以確定為6。通過選取適當(dāng)?shù)腜(此處為0.9)，可獲得精確的極點(diǎn)、留數(shù)值。

3 矩陣束算法抑制噪聲能力分析

矩陣束算法本身對(duì)噪聲具有一定的濾波作用，但是當(dāng)信噪比超過一定的范圍時(shí)，目標(biāo)極點(diǎn)提取準(zhǔn)確性會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。有些文獻(xiàn)給出了在確定的 P值下，實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)精確提取的信噪比門限值為30 dB。但是對(duì)于不同的應(yīng)用場(chǎng)合，如無芯標(biāo)簽、基于極點(diǎn)特征的雷達(dá)目標(biāo)識(shí)別，該門限值可以適當(dāng)降低。

以圖1所示的信號(hào)為參考信號(hào)，分別對(duì)其加入SNR為40 dB，30 dB，20 dB，10 dB的高斯白噪聲，分析了不同 P 值情況下目標(biāo)極點(diǎn)的分布及誤差分析，如圖4、表1所示。

圖4 不同信噪比時(shí)，目標(biāo)極點(diǎn)分布

圖4 表明，矩陣束算法在SNR為10 dB時(shí)，提取極點(diǎn)與原極點(diǎn)基本重合。表1給出了在該信噪比情況下，極點(diǎn)提取的數(shù)值分析。

表1 SNR為10 dB時(shí)，提取極點(diǎn)的參數(shù)

由表1可以得出，在SNR為10 dB時(shí)，極點(diǎn)衰減因子σ和頻率f的最大誤差分別為5.29%、0.55%，表明矩陣束算法實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)精確提取的噪聲門限值在10 dB時(shí)仍具有較高的可靠性。

4 結(jié)語

文中在矩陣束算法的基礎(chǔ)上分析了目標(biāo)極點(diǎn)數(shù)目M以及SVD參數(shù)P對(duì)極點(diǎn)提取精度的影響，并提出了一種確定了M、P的取值方法。仿真結(jié)果表明該方法對(duì)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)準(zhǔn)確提取的可行性，對(duì)基于目標(biāo)極點(diǎn)提取的研究有重要的參考價(jià)值。

由于實(shí)際數(shù)據(jù)中不可避免的會(huì)伴有噪聲干擾，通過對(duì)不同信噪比的噪聲信號(hào)進(jìn)行極點(diǎn)提取，分析了矩陣束算法抑制噪聲的能力，為矩陣束算法的應(yīng)用指定了范圍。然而，10 dB的噪聲處理能力在某些方面可能會(huì)限制矩陣束算法的應(yīng)用，以后的工作將著重研究對(duì)矩陣束算法的優(yōu)化，以提高其對(duì)低信噪比信號(hào)的去噪能力。

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