傅里葉變換計(jì)算全息彩色再現(xiàn)

孫 萍，王 眾，羅玉晗，魏祎雯

（北京師范大學(xué)a.物理系；b.北京市應(yīng)用光學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100875）

傅里葉變換計(jì)算全息彩色再現(xiàn)

孫 萍a，b，王 眾a，b，羅玉晗a，b，魏祎雯a，b

（北京師范大學(xué)a.物理系；b.北京市應(yīng)用光學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100875）

通過(guò)博奇編碼獲得傅里葉變換計(jì)算全息圖，將其加載在空間光調(diào)制器上進(jìn)行光學(xué)再現(xiàn)，分析了影響再現(xiàn)像分辨率和色彩還原性的因素.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：基元尺寸與再現(xiàn)像的大小與中心位置成反比；單色光波長(zhǎng)與再現(xiàn)像的大小與中心位置成正比；濾光片三基色的透過(guò)率不同和半高全寬將分別影響再現(xiàn)像的色彩還原性和分辨率；CMOS三基色的光譜靈敏度不同也是再現(xiàn)像色彩失真的原因之一.基元尺寸和波長(zhǎng)的影響用比例系數(shù)修正，濾光片與CMOS的影響用權(quán)重系數(shù)修正，實(shí)現(xiàn)了彩色再現(xiàn)像的色彩不失真合成.

傅里葉變換計(jì)算全息；博奇編碼；三基色；彩色再現(xiàn)像

1 引 言

計(jì)算全息在匹配濾波、波前整形、虛擬物體重構(gòu)、空間光互連等光信息處理領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用［1－3］.然而，目前卻多采用單色激光束照明，得到的是計(jì)算全息圖的單色再現(xiàn)像，這給器件的應(yīng)用帶來(lái)了一些限制，犧牲了不同波長(zhǎng)所能攜帶的信息［4］.傅里葉變換計(jì)算全息圖是對(duì)物波函數(shù)傅里葉變換得到的頻譜的振幅和相位進(jìn)行編碼，生成譜的透射函數(shù)作為全息圖，然后利用光學(xué)傅里葉特性還原圖像.事實(shí)上，在合成傅里葉變換彩色再現(xiàn)像時(shí)，各個(gè)單色再現(xiàn)像的位置和大小不一致，導(dǎo)致直接合成的再現(xiàn)像分辨率低，并且存在倍率色差［5］.因此，需要建立一種方法來(lái)調(diào)整單色再現(xiàn)像的位置和大小，從而獲得清晰的再現(xiàn)像.目前常用的方法有3種：第一，分別用三基色光記錄全息圖，在數(shù)字再現(xiàn)時(shí)對(duì)再現(xiàn)像進(jìn)行調(diào)整，使其與波長(zhǎng)匹配［3］；第二，根據(jù)波長(zhǎng)調(diào)整全息圖，數(shù)字再現(xiàn)則用常規(guī)方法合成彩色再現(xiàn)像［2］；第三，再現(xiàn)階段的調(diào)整，根據(jù)波長(zhǎng)對(duì)全息圖不同采樣再現(xiàn)［6］.盡管以上方法各具特色，但仍需完善.近年來(lái)，空間光調(diào)制器（Spatial light modulator，SLM）技術(shù)在全息領(lǐng)域中發(fā)揮了巨大的作用［7］.本文采用博奇（Burch）編碼方法［8］獲得傅里葉變換計(jì)算全息圖，基于空間光調(diào)制器用三基色光進(jìn)行光學(xué)再現(xiàn)，研究單色光波長(zhǎng)和全息圖基元對(duì)光學(xué)再現(xiàn)像質(zhì)的影響，以及濾光片和CMOS性能對(duì)再現(xiàn)像質(zhì)的影響.在此基礎(chǔ)上，基于三基色相加原理，實(shí)現(xiàn)了計(jì)算全息彩色再現(xiàn)像的不失真合成.

2 實(shí)驗(yàn)原理

2.1 傅里葉變換計(jì)算全息圖的記錄

傅里葉變換全息圖的記錄光路如圖1所示.用準(zhǔn)直單色平面波垂直照明物體O（xo，yo），經(jīng)傅里葉變換透鏡L做傅里葉變換后，在透鏡的后焦面上得到O（xo，yo）的頻譜O（x，y）.O（x，y）與一離軸平面參考波R（x，y）在透鏡后焦面上發(fā)生干涉后，得到物體的傅里葉變換全息圖.物光波復(fù)振幅O（x，y）和離軸的平面參考光波可以分別表示為［9］

式中為載頻系數(shù)，α為參考光與光軸的夾角，λ為入射光波長(zhǎng).線性記錄條件下并忽略不重要的常數(shù)因子，離軸全息的透過(guò)率函數(shù)為

在全息圖透過(guò)率函數(shù)所包含的3項(xiàng)中，第三項(xiàng)通過(guò)對(duì)余弦型條紋的振幅和相位調(diào)制，記錄了物光波的全部信息.第一、二項(xiàng)是均勻的偏置分量，從物光波信息傳遞的角度來(lái)說(shuō)是多余的.博奇編碼以常量為偏置項(xiàng)，使全息圖透過(guò)率函數(shù)為實(shí)值非負(fù)函數(shù)，其表達(dá)式為［7］

式中，A（x，y）為歸一化振幅.只要選取合適的載頻系數(shù)a，就可以將物體的±1級(jí)衍射像分離.這樣由于每個(gè)基元都是實(shí)的非負(fù)值，因此在制作全息圖時(shí)，只需要在每個(gè)單元中用開(kāi)孔大小或灰度等級(jí)來(lái)表示該實(shí)的非負(fù)值即可.

圖1 傅里葉變換全息圖記錄光路

用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)傅里葉變換全息圖的流程為：1）輸入待編碼的數(shù)字圖像O（xo，yo）；2）對(duì)O（xo，yo）進(jìn)行離散傅里葉變換；3）利用式（3）把離散傅里葉變換譜編碼成全息圖的透過(guò)率.

2.2 傅里葉變換全息圖的光學(xué)再現(xiàn)

傅里葉變換全息圖光學(xué)再現(xiàn)光路如圖2所示.在單色平行光照射下，加載在空間光調(diào)制器SLM上的傅里葉變換計(jì)算全息圖，經(jīng)過(guò)透鏡L2作逆傅里葉變換，零級(jí)像、真實(shí)像和共軛像將分別出現(xiàn)在L2的后焦面上，在后焦面放置光電成像器件CMOS記錄各級(jí)再現(xiàn)像.

圖2 光學(xué)再現(xiàn)光路

圖3（a）為64pixel×64pixel的字母“H”圖像.用Matlab編程，采用博奇編碼方法對(duì)其進(jìn)行編碼，得到計(jì)算全息圖3（b），全息圖再經(jīng)過(guò)傅里葉逆變換，得到數(shù)字再現(xiàn)像圖3（c）.

圖3 字母H的傅里葉變換計(jì)算全息圖和數(shù)字再現(xiàn)像

2.3 彩色傅里葉變換全息圖的光學(xué)再現(xiàn)

根據(jù)色度學(xué)中色光的相加原理，彩色圖像總光強(qiáng)為三基色圖像的光強(qiáng)之和，即

式中，IR，IG，IB分別為紅、綠、藍(lán)三基色的光強(qiáng).光學(xué)再現(xiàn)光路如圖2所示，用白光照明，用三基色濾光片選擇紅、綠、藍(lán)3個(gè)通道，分別得到對(duì)應(yīng)的單色再現(xiàn)像.由于再現(xiàn)時(shí)的波長(zhǎng)和編碼時(shí)的基元大小不同，濾光片的透過(guò)率和CMOS的光譜靈敏度不同，使得再現(xiàn)像存在色差，分辨率也下降.

3 實(shí) 驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)光路見(jiàn)圖2.在實(shí)驗(yàn)中，將用博奇編碼的傅里葉變換計(jì)算全息圖加載在SLM上（CGI－770101電尋址，大恒新紀(jì)元科技股份有限公司），其總像素?cái)?shù)為1 024×768，像元大小為26μm× 26μm.采用彩色CMOS接收再現(xiàn)像，其總像素?cái)?shù)為1 280×1 024，像元大小為5.2μm× 5.2μm.單色光源為He－Ne激光器（波長(zhǎng)為632.8nm），實(shí)驗(yàn)中采用空間濾波器濾波，再用透鏡L1準(zhǔn)直，形成均勻平行光束.白光源為亮度均勻且在0～150W之間連續(xù)可調(diào)的鎢燈，實(shí)驗(yàn)時(shí)不需要空間濾波器，只需要L1準(zhǔn)直，形成平行光束.三基色濾光片的波長(zhǎng)分別為442.4，532.0，635.2nm.CMOS攝像頭與電腦連接，通過(guò)控制軟件將CMOS接收到的圖像保存下來(lái).

3.2 改變編碼基元尺寸

所謂基元，就是指若干個(gè)像素構(gòu)成的全息圖基本單位，1個(gè)基元中各像素點(diǎn)的值相等，如圖4所示，本文采用正方形基元，并設(shè)邊長(zhǎng)為b.

為了定量研究編碼過(guò)程中基元對(duì)再現(xiàn)像大小的影響，首先用單色光進(jìn)行全息圖的光學(xué)再現(xiàn).實(shí)驗(yàn)光路見(jiàn)圖2，實(shí)驗(yàn)采用的物體為64pixel× 64pixel的字母“H”圖像［圖3（a）］，其傅里葉變換計(jì)算全息圖如圖3（b）所示，將全息圖加載到SLM上.分別選擇基元邊長(zhǎng)b＝26，52，104，130，156，182μm，記錄再現(xiàn)像.圖5給出基元分別為26，52，104μm的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

圖4 博奇編碼全息圖基元

圖5 不同基元大小的再現(xiàn)像實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.3 改變光學(xué)再現(xiàn)波長(zhǎng)

依然采用圖2光路.白光源發(fā)出的光通過(guò)濾光片后成為準(zhǔn)單色光，再經(jīng)透鏡L1成為平行光，單色平行光照射到SLM上，被調(diào)制的光通過(guò)傅里葉透鏡L2，就會(huì)在其焦平面上再現(xiàn)出物像，經(jīng)CMOS接收，就得到了單色再現(xiàn)像.通過(guò)更換濾光片得到不同波長(zhǎng)的再現(xiàn)像.在調(diào)節(jié)光路時(shí)，要使得SLM和CMOS處于透鏡L2的前后焦面上，若以紅光為基準(zhǔn)調(diào)節(jié)光路，則更換藍(lán)光或綠光濾光片時(shí)，若不調(diào)節(jié)焦距，圖像會(huì)變得模糊；調(diào)節(jié)焦距后，圖像清晰.

同一幅計(jì)算全息圖，用紅、綠、藍(lán)三基色光波再現(xiàn)的結(jié)果如圖6所示.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對(duì)于不同波長(zhǎng)的光，不僅經(jīng)過(guò)透鏡后的成像位置不同，而且成像的幾何尺寸也會(huì)隨波長(zhǎng)而改變.圖6中紅、綠、藍(lán)光波再現(xiàn)像的總像素?cái)?shù)分別為618× 702，530×584和420×488.

圖6 不同波長(zhǎng)的再現(xiàn)像

4 結(jié)果分析與討論

4.1 編碼基元尺寸對(duì)再現(xiàn)像的影響

若以再現(xiàn)像橫向尺寸l表征再現(xiàn)像大小，做基元邊長(zhǎng)b與l的曲線關(guān)系，得到如圖7所示的結(jié)果.對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行擬合，得到函數(shù)關(guān)系：l＝9.547×103b－1，擬合相關(guān)系數(shù)約為1.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，再現(xiàn)像大小與基元尺寸成反比.由于再現(xiàn)像的中心位置在l／2處，故再現(xiàn)像的中心位置也與基元尺寸成反比關(guān)系.可以依據(jù)再現(xiàn)像與基元的關(guān)系，在設(shè)計(jì)計(jì)算全息圖時(shí)，通過(guò)調(diào)整全息圖的大小和位置，在光學(xué)再現(xiàn)時(shí)達(dá)到三基色單色再現(xiàn)像的精確重合，合成彩色再現(xiàn)像.

圖7 不同基元對(duì)應(yīng)的再現(xiàn)像橫向尺寸

4.2 波長(zhǎng)對(duì)再現(xiàn)像的影響

若將三基色分別對(duì)應(yīng)的再現(xiàn)像直接疊加，將得到如圖8（a）所示的彩色再現(xiàn)像，可以明顯看到再現(xiàn)像存在很大色差，圖像模糊.

圖8 再現(xiàn)像實(shí)驗(yàn)結(jié)果

分別測(cè)量三基色再現(xiàn)像的橫向尺寸l和縱向尺寸h，測(cè)量結(jié)果見(jiàn)表1.結(jié)果表明，在其他條件不變的情況下，再現(xiàn)像的大小與波長(zhǎng)成正比，波長(zhǎng)越長(zhǎng)，再現(xiàn)像越大，中心位置偏離零級(jí)越遠(yuǎn).若將單色再現(xiàn)像乘上一個(gè)系數(shù)，可使得不同波長(zhǎng)的單色再現(xiàn)像大小一致.具體方法是：假設(shè)紅光再現(xiàn)像大小一定，綠光再現(xiàn)像乘以比例系數(shù)1.20，藍(lán)光再現(xiàn)像乘以比例系數(shù)1.43，然后再進(jìn)行疊加.此時(shí)得到的再現(xiàn)像如圖8（b）所示，可以看到再現(xiàn)像的色差有所減小，分辨率也有所提高.

表1 三基色再現(xiàn)像的尺寸與波長(zhǎng)的關(guān)系

大多數(shù)文獻(xiàn)也只是考慮到了波長(zhǎng)這一影響因素［10－11］，但是，光電成像器件（CMOS或CCD）的光譜靈敏度少有人考慮［3］.若采用白光源再現(xiàn)，濾光片性能的影響也應(yīng)考慮.

4.3 濾光片和CMOS對(duì)再現(xiàn)像的影響

實(shí)驗(yàn)中使用的三基色濾光片的透過(guò)率曲線如圖9所示，可見(jiàn)，三基色濾光片的透過(guò)峰都有一定的寬度，它們的相對(duì)半高全寬分別為1.5%，2.1%和2.5%，半高全寬的存在將降低再現(xiàn)像的清晰度.另外，三基色的峰值透過(guò)率不同，即輸出光強(qiáng)在不同的波長(zhǎng)處不同，這是再現(xiàn)像存在色差的原因之一.因此需要修正，具體辦法是以紅光為基準(zhǔn)進(jìn)行歸一化，則綠光和藍(lán)光的再現(xiàn)像分別乘以強(qiáng)度權(quán)重系數(shù)1.17和1.23.

圖9 三基色濾光片的透過(guò)率曲線

實(shí)驗(yàn)中所采用的彩色CMOS，其光譜靈敏度響應(yīng)曲線如圖10所示.在相同的輻照度下，波長(zhǎng)為635.2nm，532.0nm，442.4nm處的輸出信號(hào)分別為輸入信號(hào)的47%，51%，39%，對(duì)不同波長(zhǎng)表現(xiàn)出靈敏度不同，這是導(dǎo)致再現(xiàn)像存在色差的另一個(gè)原因.因此也需要修正，具體辦法是以綠光為基準(zhǔn)進(jìn)行歸一化，則紅光和藍(lán)光的再現(xiàn)像分別乘以感光權(quán)重系數(shù)1.09和1.31.

圖10 CMOS光譜靈敏度曲線

對(duì)圖8（b）合成前的紅、綠、藍(lán)3幅圖像再分別乘以系數(shù)1.09，1.17，1.23×1.31進(jìn)行修正，得到圖8（c）.由于再現(xiàn)像右側(cè)靠近零級(jí)，故圖像中右側(cè)光強(qiáng)較強(qiáng).由于濾光片透過(guò)率具有一定的寬度，因此，再現(xiàn)像的邊緣比較模糊.

4.4 一般彩色物體再現(xiàn)像

根據(jù)三基色原理，自然界的任意一種顏色都可以由紅、藍(lán)、綠3種顏色合成得到，若原始圖像為如圖11（a）所示的紫色字母“H”，采用如圖2所示的光路，考慮到編碼基元大小、再現(xiàn)時(shí)所用波長(zhǎng)、濾光片的透過(guò)率和CMOS的光譜響應(yīng)這4個(gè)因素的影響，用數(shù)字圖像處理技術(shù)，按照上面所述的辦法對(duì)再現(xiàn)像進(jìn)行修正，可以得到如圖11（b）所示的再現(xiàn)像.原始圖像和再現(xiàn)像的紅、綠、藍(lán)三基色的灰度分別為220，25，180和222，28，180，因此，在考慮了多種因素之后，經(jīng)過(guò)修正處理的再現(xiàn)像與原始圖像色彩基本不失真.

圖11 原始圖像和合成的彩色再現(xiàn)像

5 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)影響再現(xiàn)像分辨率和色彩還原性的因素進(jìn)行分析，得到以下結(jié)論：基元尺寸與再現(xiàn)像的大小與中心位置成反比；單色光波長(zhǎng)與再現(xiàn)像的大小與中心位置成正比；濾光片三基色的透過(guò)率不同影響再現(xiàn)像的色彩還原性，半高全寬影響分辨率；CMOS三基色的光譜靈敏度不同影響再現(xiàn)像的色彩還原性.提出修正的方法，即基元尺寸和波長(zhǎng)的影響用比例系數(shù)修正，濾光片與CMOS的影響用權(quán)重系數(shù)修正.對(duì)再現(xiàn)像進(jìn)行修正以后，彩色再現(xiàn)像基本不失真.若采用三基色激光再現(xiàn)，彩色再現(xiàn)像的分辨率會(huì)得到增強(qiáng).

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Color reconstructed image of Fourier computer－generated hologram

SUN Pinga，b，WANG Zhonga，b，LUO Yu－h(huán)ana，b，WEI Yi－wena，b
（a.Department of Physics；b.Beijing Area Major Laboratory of Applied Optics，Beijing Normal University，Beijing 100875，China）

The Fourier computer－generated holograms loaded on a spatial light modulator were optically reconstructed.The hologram was encoded with the method of Burch encoding.The factors affecting color reconstructed image of Fourier computer－generated hologram，such as resolution and color reproduction were analyzed.Experimental results showed that the cell size was inversely proportional to the size and central location of the reconstructed images；monochromatic wavelength was proportional to the size and central location of the reconstructed image；the transmittance and half－width of trichromatic filters affected the color reproduction and resolution；spectral sensitivity of CMOS was one of the reasons causing chromatic aberration.The influences of cell size and the wavelength could be eliminated using proportional coefficient and those of filters and CMOS could be eliminated using weight coefficient.The synthesis of the color reconstructed images without distortion was realized using the correction method in this paper.

Fourier computer－generated hologram；Burch encoding；trichromatism；color reconstructed image

O436

A

1005－4642（2012）10－0001－05

［責(zé)任編輯：任德香］

“第7屆全國(guó)高等學(xué)校物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)研討會(huì)”論文

2012－05－29；修改日期：2012－06－20

北京自然科學(xué)基金項(xiàng)目（No.4102031）；北京市大學(xué)生科學(xué)研究與創(chuàng)業(yè)行動(dòng)計(jì)劃項(xiàng)目資助

孫 萍（1963－），女，吉林懷德人，北京師范大學(xué)物理系高級(jí)工程師，博士，研究方向?yàn)樾畔⒐鈱W(xué).