魚雷射擊隨機誤差分析的幾個問題

李長文, 任行者, 王 鵬

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魚雷射擊隨機誤差分析的幾個問題

李長文, 任行者, 王 鵬

(海軍潛艇學(xué)院科研部軟件中心, 山東青島, 266071)

借助直航魚雷直進射擊的描述, 研究了射擊命中問題的隨機誤差及其相關(guān)性的概念, 指出了基于目標(biāo)運動要素觀測值或真值計算成功概率的不同。就客觀概率情形, 基于誤差向量函數(shù)的1階近似或2階近似研究了計算概率的解析方法, 以及關(guān)于正態(tài)隨機向量的一般二次函數(shù)分布的均值、方差和特征函數(shù)計算公式的一個定理, 給出了2階近似情形計算概率的解析方法, 數(shù)值實驗發(fā)現(xiàn), 就直航魚雷直進射擊成功的客觀概率而言, 兩種方法均有較高精度, 且1階近似方法優(yōu)于2階近似方法。

直航魚雷; 隨機誤差; 客觀概率; 解析方法

0 引言

直航、聲自導(dǎo)、尾流自導(dǎo)魚雷射擊的目的通常是為了滿足無誤差假設(shè)下的命中或自導(dǎo)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的條件, 當(dāng)目標(biāo)運動要素觀測值相對實際值或魚雷運動參數(shù)實際值相對設(shè)定值有觀測誤差時, 在假設(shè)這些誤差為隨機誤差的條件下, 將面對一系列問題, 以往的研究一般關(guān)注命中或發(fā)現(xiàn)概率的計算, 對誤差的選取及假設(shè)有一定隨意性, 且不區(qū)分基于觀測值與真值所計算概率的不同, 計算的方法一般以仿真為主, 有些解析方法精度不足, 未見關(guān)于用解析方法進行較精確的快速計算的相關(guān)研究。事實上, 魚雷射擊的隨機誤差分析將涉及隨機誤差源、誤差的相關(guān)性、命中或自導(dǎo)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的主觀或客觀概率、計算概率的仿真與解析方法等幾個問題, 本文試圖對這些問題進行系統(tǒng)討論, 為簡單起見, 以直航魚雷直進射擊為例, 這些論述同樣適用于聲自導(dǎo)或尾流自導(dǎo)魚雷轉(zhuǎn)角射擊, 只是其數(shù)學(xué)描述相對復(fù)雜, 本文只為說明一些概念與方法, 實際應(yīng)用時還有待于做進一步深入研究。

1 直進射擊的隨機誤差源

假設(shè)潛艇用直航魚雷以直進射擊方式攻擊等速直航目標(biāo), 目標(biāo)位置點與瞄準(zhǔn)點相同, 位于長度L的目標(biāo)艦船的中點處, 目標(biāo)運動要素觀測值以當(dāng)前時刻相對態(tài)勢 (,,)或絕對態(tài)勢 (,,,) 描述, 其中為目標(biāo)距離,為目標(biāo)速率,為目標(biāo)舷角,為目標(biāo)航向,為目標(biāo)方位, 下面的計算公式中用標(biāo)準(zhǔn)單位。

無誤差條件下魚雷發(fā)射后以設(shè)定速率V勻速直線運動, 且魚雷與目標(biāo)的運動可以看成同一水平面上的運動, 攻擊決策者以發(fā)射魚雷時刻的運動要素觀測值(,,)及V計算射擊參數(shù)直進射擊的提前角

= arcsin(sin) (1)

式中,=/V為目標(biāo)速率與魚雷速率之比, 不考慮誤差的作用, 以提前角發(fā)射的魚雷將與瞄準(zhǔn)點相遇, 這個提前角存在的條件為 (< 1)或(= 1, ||

1, ||≤arcsin(1/)], 其中最后一個條件對應(yīng)兩個提前角, 上述公式計算的是使魚雷與目標(biāo)相遇時間較小的一個。另一個提前角為p–arcsin(sin), 在魚雷速度實際上大于目標(biāo)速度的條件下, 可不考慮上述計算提前角的定義域, 以下只討論這一情形, 即假設(shè)< 1。

設(shè)目標(biāo)運動要素有觀測誤差, 觀測值(,,,)與其對應(yīng)的真值(,,,)之差為(D,D,D,D), 即=+D,=+D,=+D,=+D, 則目標(biāo)舷角觀測值為=(+p–), 真值為=(+p–),()表示將變?yōu)?–p,p)上與終邊相同角的函數(shù), 假設(shè)誤差不改變目標(biāo)舷別, 則目標(biāo)舷角觀測誤差為

D=–=D–D(2)

可見目標(biāo)舷角誤差是方位誤差及航向誤差的函數(shù), 計算概率時不便將其作為一個獨立誤差項。

因為目標(biāo)運動要素觀測值一般由目標(biāo)運動要素解算過程給出, 對于純方位情形當(dāng)前時刻的目標(biāo)運動要素由初始時刻的目標(biāo)運動要素、解算時間、觀測站在解算過程中的機動狀態(tài)決定, 發(fā)射魚雷時刻目標(biāo)運動要素觀測誤差向量(D,D,D)或(D,D,D,D)的統(tǒng)計規(guī)律可以用重復(fù)試驗的方式進行研究, 這個統(tǒng)計規(guī)律可以用(D,D,D,D)的聯(lián)合概率分布表示。數(shù)值實驗發(fā)現(xiàn), 純方位方法給出的目標(biāo)運動要素觀測誤差各分量D,D,D,D不是相互獨立的, 因此, 在研究魚雷攻擊成功概率這類問題時, 忽略目標(biāo)運動要素解算過程, 而從直接假設(shè)目標(biāo)運動要素觀測誤差為相互獨立的零均值正態(tài)隨機誤差開始, 這一做法與實際不符。后面還將說明, 即使接受發(fā)射魚雷時刻目標(biāo)運動要素觀測誤差為相互獨立的這一前提, 以(D,D,D)而不是以(D,D,D,D)表達這些誤差是不合理的。

設(shè)魚雷實際速率為V, 實際速率相對設(shè)定速率的誤差記為DV=V–V,DV的統(tǒng)計規(guī)律可以用給定設(shè)定值V條件下的重復(fù)試驗進行研究, 研究結(jié)果是客觀的, 假設(shè)為DV~(0,),為已知常數(shù)。

魚雷計劃航向設(shè)定的基準(zhǔn)為發(fā)射魚雷時刻觀測的目標(biāo)方位線, 這個航向為C=+, 魚雷按計劃航向發(fā)射后, 其運動過程除速率誤差外, 還有魚雷航向誤差, 設(shè)為DC,DC作為實際航向與設(shè)定航向之差, 其統(tǒng)計規(guī)律可以用重復(fù)試驗的方法進行研究, 研究的結(jié)果是客觀的, 假設(shè)為DC~(0,),為已知常數(shù)。

魚雷實際航向為C=++DC, 魚雷實際航向相對發(fā)射魚雷時刻目標(biāo)實際方位的角=C–=–DC+D, 實際提前角誤差

D=–=D–DC(3)

從式(2)、式(3)可以看出,D與D關(guān)于D正相關(guān)。雖然可以用(,,) 表示發(fā)射魚雷時刻的相對態(tài)勢, 但以往只用(D,D,D) 表示發(fā)射態(tài)勢的觀測誤差, 進而假設(shè)提前角誤差就是魚雷航向誤差DC, 且與這些誤差相互獨立, 與實際不符。正是出于這一考慮, 目標(biāo)運動要素誤差應(yīng)以(D,D,D,D)表示, 直航魚雷直進射擊的隨機誤差源可選為 (D,D,D,D,DV,DC)。

2 魚雷命中目標(biāo)的條件及概率

以發(fā)射魚雷時刻目標(biāo)實際位置點為坐標(biāo)原點, 目標(biāo)運動方向為軸正方向,軸向右旋轉(zhuǎn)90°的方向為軸正方向建立一個直角坐標(biāo)系, 以發(fā)射魚雷時刻為0時刻,時刻魚雷位置點對應(yīng)的復(fù)數(shù)記為(), 則

不考慮航程的限制, 令() 的虛部為0, 可得魚雷到達目標(biāo)航線的時刻, 進一步計算這一時刻目標(biāo)到魚雷的有向線段的數(shù)量

x=(5)

魚雷命中目標(biāo)的條件

Con =x?[ –L/ 2,L/ 2 ] (6)

Con 取值1 (表示命中)或0(表示不命中)。

對于決策現(xiàn)場之外能控制(,,)以及V取值的人, (,,)和V可以看成是已知的, 假設(shè)魚雷攻擊的決策者總是在一定時間利用目標(biāo)運動要素觀測值計算射擊參數(shù)并發(fā)射魚雷, 則x可表示為(,,,V,D,D,D,DV,DC)的函數(shù), 其中(D,D,D,DV,DC) 為統(tǒng)計規(guī)律已知的隨機誤差向量, 因此Con為統(tǒng)計規(guī)律確定的0~1兩點分布的隨機變量, 這時可以用=con表達攻擊成功的可能性, 即成功的概率, 其作用為在觀測到攻擊結(jié)果之前, 對攻擊成功的可能性預(yù)先進行的度量。這個概率可以用給定(,,,V)條件下的重復(fù)試驗進行驗證, 是客觀的, 可以用于特定假設(shè)條件下作戰(zhàn)效能的評估, 但不能直接用于攻擊決策的支持。計算客觀概率時, 觀測值是目標(biāo)運動要素真值及隨機誤差的函數(shù), 因為射擊參數(shù)是觀測值及設(shè)定值的函數(shù), 所以仿真計算時需重復(fù)計算。

魚雷攻擊的現(xiàn)場決策者, 一般不知(,,)而只知(,,) 及V, 這時只能將x表示為(,,,V,,,,D,D,D,DV,DC)的函數(shù), 其中(D,DV,DC)為統(tǒng)計規(guī)律已知的隨機誤差向量, (,,)是客觀存在但未知的常數(shù), 關(guān)鍵是(,,)的取值是判定Con所必需的, 這時Con是一個含有隨機成分的不確定問題。

以往的做法是, 利用=–D,=–D,=– (D–D), 而(D,D,D,D,DV,DC)的統(tǒng)計規(guī)律是已知的, 則認(rèn)為,,是統(tǒng)計規(guī)律已知的隨機變量, 并且在仿真計算時用相應(yīng)分布的偽隨機應(yīng)變數(shù)代替這些隨機誤差, 而用觀測值與這些偽隨機數(shù)之差(對于零均值正態(tài)情形, 之和亦無所謂)表示真值, 就可以計算所謂的概率。這一做法的不當(dāng)之處為關(guān)于目標(biāo)運動要素誤差的統(tǒng)計規(guī)律, 以目標(biāo)速率誤差為例, 當(dāng)說D=–~(0,)這類結(jié)論時, 其實質(zhì)是固定, 進行相同條件下的重復(fù)試驗, 則觀測值表現(xiàn)出以為均值的正態(tài)分布統(tǒng)計規(guī)律。這一實質(zhì)不能改寫為當(dāng)已知一次觀測值時, 真值是一個隨機變量, 且服從以這個觀測值為均值的正態(tài)分布, 均方差為。究其原因, 首先, 將真值作為一個隨機變量只是一種觀點, 并不符合實際; 其次, 即使認(rèn)為真值是隨機變量, 由于觀測值的不可控制性, 幾乎不可能進行相同觀測值條件下關(guān)于真值的重復(fù)試驗, 即幾乎總是面對只有一個樣本的問題, 想象的~(,) 是無法驗證的。

就這類現(xiàn)象, 針對目標(biāo)速率真值未知而又需要的問題, 統(tǒng)計學(xué)上的Bayes 學(xué)派所采取的是如下一系列觀點和做法: 1) 將其當(dāng)作不確定性問題, 無論其是否具有嚴(yán)格意義下的統(tǒng)計規(guī)律, 主觀上通過假設(shè)真值為隨機變量描述這個不確定性; 2) (,)是一個2D隨機向量,(,)將被看成是關(guān)于的條件分布; 3) (,)的聯(lián)合分布是未知的, 然而關(guān)于目標(biāo)速率真值總應(yīng)有些先驗知識, 只要用概率分布密度函數(shù)表達這些知識, 就可以給出(,) 的聯(lián)合分布密度; 4) 利用的一次觀測結(jié)果所得到的知識, 可以更新對的認(rèn)識, 即給出關(guān)于的后驗分布密度; 5) 所謂基于觀測值的射擊成功概率, 是利用真值關(guān)于觀測值后驗分布對應(yīng)的這個主觀上假想的統(tǒng)計規(guī)律計算的。這樣計算的概率含有主觀成分, 可稱為主觀概率, 主觀概率不能用重復(fù)試驗的方法驗證, 不能用于作戰(zhàn)能力的評估, 可以用于決策者信念的支持, 依靠主觀概率進行決策的正確性十分依賴于先驗知識的精確性。

可以證明, 若用“目標(biāo)速率真值取任何實數(shù)的可能性相同”描述先驗知識, 即關(guān)于無任何先驗知識且忘記了其不可能取負數(shù), 則關(guān)于的后驗分布為(,), 類似的結(jié)論對于關(guān)于,關(guān)于的后驗分布同樣成立, 即以往計算的概率是關(guān)于目標(biāo)運動要素真值無任何先驗知識的主觀概率, 只有魚雷運動誤差的統(tǒng)計規(guī)律是客觀的, 這時對于給定的目標(biāo)運動要素觀測值, 只需計算一次射擊參數(shù), 因而相對簡單。

3 概率計算

主觀概率和客觀概率的計算方法相同, 所不同的只是模型及誤差的概率分布, 其中客觀概率

=(x?(–L/ 2,L/ 2) ) (7)

式中,x,需要表示為

(9)

對于給定的,,,V, 令

= – 0.5L/,= 0.5L/(10)

=(, …,) (11)

其中

(, …,) = (D,D,DC,D,DV) (12)

(14)

則上述概率可以表述為一般形式

=(?[,] ) (15)

假設(shè)(D,D,DC,D,DV) 服從零均值正態(tài)分布, 即 (, …,)~(0,), 前面已經(jīng)說明D,D,D應(yīng)有一定相關(guān)性,不一定是對角矩陣, 若不考慮這些相關(guān)性, 則可以假設(shè)= diag(,,,,)。

計算概率的方法之一是蒙特卡洛法, 即仿真方法, 仿真方法計算的概率能客觀地反映實際情況, 因而可以作為實際應(yīng)用的參考, 以及作為對其他方法評價的標(biāo)準(zhǔn), 這是仿真方法的主要優(yōu)點。然而仿真方法計算的概率有一些不足, 主要表現(xiàn)為計算速度相對不足, 如為了得到一個數(shù)量級的計算精度, 可能需要成百倍地增加同一真值條件下的仿真次數(shù), 另外, 同一條件下的不同次仿真結(jié)果一般總有波動, 用仿真方法計算的等概率線一般不光滑, 不能滿足基于等概率線的其他問題的算法需要。為尋求快速準(zhǔn)確地計算, 可以考慮解析方法, 設(shè)想的方法有

=(17)

這是一個1重積分, 用數(shù)值方法可以實現(xiàn)快速準(zhǔn)確的計算。然而p()的解析公式一般很難給出, 因此, 可以考慮能用解決析公式表示的近似概率分布密度函數(shù), 即若?p(), 則

因為, …,為以0為均值的正態(tài)隨機誤差, 為得到=(, …,) 的近似概率分布函數(shù), 可以考慮關(guān)于, …,的1階近似

?=(0) +?(0) (, …,)(19)

其中0 = 0表示1′5零向量,?(0)表示()在0點的梯度行向量

?(0) = (?/?, …,?/?)(20)

則的一個近似分布為(,), 其中

=(0) = 0 (21)

=?(0)?(0)(22)

對應(yīng)的計算概率公式

以下稱之為1階近似解析公式, 這個公式的計算速度不成問題。

當(dāng)用上述公式計算的概率不滿足精度要求時, 可以嘗試關(guān)于, …,的2階近似

?=+(, …,) (0.5)(, …)(24)

= (?/?x?x)|(25)

其中,表示函數(shù)()在0點的Hessian 矩陣。

是一個關(guān)于正態(tài)隨機向量的二次函數(shù), 其對應(yīng)近似分布密度還未見有現(xiàn)成的公式, 為此, 下面將其抽象為一個一般問題進行研究。

4 正態(tài)隨機向量一般二次函數(shù)的分布

設(shè)~(,),= (, …,),為階正定矩陣,為實常數(shù),= (, …,)為實常數(shù)向量,為實對稱矩陣, 記

=++(26)

則為正態(tài)隨機向量的一般二次函數(shù), 其分布由,,,,唯一確定, 下面的定理描述了這個分布的性質(zhì)。

定理關(guān)于=++, 成立公式

=+++a(27)

Var=++b+ 2(++a) (28)

其中,, Var,()依次表示隨機變量的均值、方差、特征函數(shù)。公式中的為滿足=的可逆矩陣, 可取為的Cholesky分解,,,a為的特征值,為滿足()= diag(,,a)的正交矩陣,,,b,的計算公式為

(,,b) = (+ 2)(30)

=++(31)

這個定理的證明此處略, 利用特征函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系

可得

(33)

其中

(35)

(36)

的取值可以結(jié)合關(guān)于|()|的估計給出, 一個簡單的估計為

=(38)

計算程序取= 10, 這一方法可解決正態(tài)隨機誤差向量(各分量不一定相互獨立、均值不必為0)函數(shù)的2階近似對應(yīng)的概率計算問題。

就直航魚雷直進射擊命中的客觀概率而言,= 0,= diag(,,,,),= g(0) = 0,=?(0),= 0.5, 以上述定理所述方法確定,,, 則

稱這一公式為2階近似解析公式, 被積函數(shù)()為以的變量的只與(,,,,)有關(guān)的函數(shù), 可以用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)值積分方法計算。

5 仿真試驗及對解析公式的評價

對于參數(shù)= 25 cab,= 25 kn,V= 50 kn,L= 150 m,= 2°,= 0.5°,= arctan(1/100) / 3,= 2 kn,= 1 kn, 取相同態(tài)勢的仿真次數(shù) N = 10,= 10 ~ 170°對應(yīng)的不同態(tài)勢下1階近似解析公式、2階近似解析公式計算的概率,與用仿真方法計算的概率滿足|–- | < 1/1000, |–- | < 1/1000, 考慮到仿真方法計算概率的波動性, 10次仿真方法計算概率只能保證小數(shù)點后3位的精度, 因此, 上述解析方法的精度應(yīng)遠小于1/1000。就直航魚雷直進射擊命中概率的計算而言, 試驗發(fā)現(xiàn), 1階近似解析公式比2階近似解析公式相對精確, 且計算速度快, 因此可選用公式= 2[0.5L/()] – 1計算直航魚雷直進射擊的命中概率。同時這也說明, 在隨機誤差分析中, 用1階近似確定正態(tài)隨機誤差函數(shù)的近似分布是一種可行的方法。

6 結(jié)束語

本文以直航魚雷直進射擊為例討論了以往魚雷射擊隨機誤差分析不太關(guān)注的幾個問題。主要結(jié)論及問題有, 目標(biāo)運動要素誤差應(yīng)以目標(biāo)的距離、速率、航向、方位誤差表示, 只用目標(biāo)的距離、速率、舷角誤差表示將導(dǎo)致魚雷實際航向相對計劃航向的誤差與舷角誤差的相關(guān)性被忽略; 基于目標(biāo)運動要素真值已知計算的概率是客觀的, 對于現(xiàn)場魚雷攻擊決策者, 雖然魚雷運動誤差的統(tǒng)計規(guī)律可以看成已知的, 基于觀測值計算的概率必含有主觀成份, 與所使用的目標(biāo)運動要素真值的先驗知識有關(guān)且不能用重復(fù)試驗的方法驗證, 且不能用于作戰(zhàn)效能評價, 只能用于決策信念的支持; 若關(guān)于目標(biāo)運動要素?zé)o任何先驗知識, 則主觀概率的計算比較簡單; 將魚雷命中或自導(dǎo)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的條件表示為隨機誤差向量函數(shù)對應(yīng)的隨機變量屬于特定的區(qū)間, 利用函數(shù)的1階、2階Taylor近似公式可以給出的近似分布, 然后可用一重積分對應(yīng)的解析公式近似計算概率, 其中在誤差向量為正態(tài)分布的條件下, 1階近似對應(yīng)的計算公式可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表示, 2階近似對應(yīng)的計算公式利用了專門為此研究的一個定理, 若要求解析公式計算的概率與仿真方法計算的概率之差小于1/1000, 通常1階近似解析公式就可滿足要求, 這已為直進射擊及其他射擊方式的計算應(yīng)用所證實, 就直航魚雷直進射擊而言, 1階近似優(yōu)于2階近似; 不考慮解算過程導(dǎo)致的目標(biāo)運動要素觀測誤差的聯(lián)合分布, 隨便假設(shè)目標(biāo)運動要素各觀測誤差項相互獨立的做法與實際不符, 有關(guān)數(shù)值試驗也使用了這一假設(shè), 因此這些方法和結(jié)論的可用性、系統(tǒng)性還有待進一步研究。

[1] 《現(xiàn)代數(shù)學(xué)手冊》編纂委員會. 現(xiàn)代數(shù)學(xué)手冊(隨機數(shù)學(xué)卷) [M]. 武漢: 華中科技大學(xué)出版社, 2000.

[2] 主觀概率.百度百科[EB/OL]. [2012-07-01]. http://baike.baidu. com/view/703605.htm.

[3] Jeffrey R. Subjective Probability[M]. United Kingdom: The Press Syndicate of the University of Cambridge, 2002.

[4] 于寅. 高等工程數(shù)學(xué)[M]. 武漢: 華中科技大學(xué)出版社, 2001.

[5] 周概容. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]. 北京: 高等教育出版社, 1984.

(責(zé)任編輯: 許 妍)

Discussion about Random Error Analysis of Torpedo Shooting

LI Chang-wen, REN Xing-zhe, WANG Peng

(Software Center of Science and Research Department, Navy Submarine Academy, Qingdao 266071, China)

Through the description of straightforward shooting of a straight running torpedo, the random error and some concepts of hitting problem are studied, and the difference between success probabilities based on true value and observed value of target movement element is pointed out. For objective probability, two analytic methods of computing probability are proposed based on the first order or second order approximation of the function of random error vector. According to a theorem about the formulas to compute the mean value, variance and eigenfunction of a common second order function of normal distributed random vector, an analytic method with the second order approximation is given. Results show that the two analytic methods have high precision, and the first order approximation method is better than the second order one in the case of computing the objective hitting probability of torpedo straightforward shooting.

straight running torpedo; random error; objective probability; analytic method

TJ630; E920.2

A

1673-1948(2012)06-0443-06

2012-05-01;

2012-07-05.

李長文(1962-), 男, 碩士, 副教授, 研究方向為隨機過程、運籌學(xué).