航天器橢圓軌道自主交會的魯棒滑模控制

盧 山，夏永江

（1.上海航天控制工程研究所，上海 200233；2.上海航天技術(shù)研究院，上海 201109）

0 引言

!隨著載人航天技術(shù)逐步成熟和空間站發(fā)展的需要，空間交會對接技術(shù)的作用將越來越重要。自20世紀(jì)60年代以來，世界上已進(jìn)行了100多次空間交會對接活動。從技術(shù)發(fā)展角度看，交會對接技術(shù)將逐步向自主交會對接（AR＆D）方向發(fā)展［1－2］。一方面，對一些載人交會對接難度大、成本高的任務(wù)，利用自主交會技術(shù)可有效節(jié)約成本，降低任務(wù)風(fēng)險(xiǎn)，提高任務(wù)的可行性；另一方面，對有人參與的交會活動，利用自主交會技術(shù)可減輕航天員的壓力，并通過手動與自動方式的組合，提高任務(wù)的可靠性。

早期的交會對接控制多采用C－W脈沖制導(dǎo)，包括R－bar、V－bar、最優(yōu)二脈沖、多脈沖制導(dǎo)等［3－5］。但上述各種交會控制均為開環(huán)，制導(dǎo)精度較低，不適于航天器的自主交會。對此，對人工勢函數(shù)法、模糊控制法、滑移算法等多種基于C－W方程的閉環(huán)控制方法進(jìn)行了研究［6－8］。但基于C－W方程的開環(huán)控制和上述閉環(huán)控制方法均僅適于圓軌道，這源于相對動力學(xué)方程（即C－W方程）的局限性。

因橢圓軌道的相對運(yùn)動方程存在時(shí)變參數(shù)，需依據(jù)航天器自身的軌道信息計(jì)算獲得，故針對運(yùn)行于橢圓軌道上的目標(biāo)星進(jìn)行自主交會須實(shí)時(shí)獲得絕對軌道的信息。但在某些特殊條件下，如兩星飛行軌跡超出地面測控站的監(jiān)測范圍，或在火星等行星附近進(jìn)行自主交會，地面站無法實(shí)時(shí)傳送定軌信息，或針對失效的航天器進(jìn)行自主交會，兩星無法建立通信聯(lián)系等時(shí)，主動星就無法獲得時(shí)變參數(shù)的大小，因此需設(shè)計(jì)不依賴這些參數(shù)的自主交會控制律。目前，針對目標(biāo)航天器運(yùn)行于橢圓軌道，且缺少絕對軌道信息的自主交會對接研究較少。文獻(xiàn)［9］利用全系數(shù)自適應(yīng)控制方法設(shè)計(jì)了相應(yīng)的控制律，實(shí)現(xiàn)了僅依靠相對狀態(tài)信息的自主交會，但需設(shè)計(jì)多個(gè)增益因子，增加了控制律設(shè)計(jì)的復(fù)雜性。

為此，本文根據(jù)目標(biāo)航天器運(yùn)行于橢圓軌道的兩星相對運(yùn)動方程，在僅依賴相對運(yùn)動信息的條件下，對用不確定系統(tǒng)的魯棒滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)自主交會控制律，以實(shí)現(xiàn)參數(shù)未知時(shí)的自主交會進(jìn)行了研究。

1 橢圓軌道相對運(yùn)動方程

設(shè)空間交會中，兩星的相對位置關(guān)系如圖1所示。圖中：T，A分別為目標(biāo)航天器和追蹤航天器。定義軌道坐標(biāo)系So：原點(diǎn)為目標(biāo)航天器質(zhì)心；z軸沿徑向指向地球；x軸垂直于z軸且沿速度方向；y軸與x、z軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

圖1 相對位置矢量Fig.1 Relative position vector

兩星的相對運(yùn)動方程的矢量形式為

式中：rT，rA分別為目標(biāo)航天器和追蹤航天器相對地球的位置矢量；Δr為追蹤航天器相對目標(biāo)的位置矢量；μ為地球引力常數(shù)；u為追蹤航天器的控制加速度；t為時(shí)間。

將式（1）在目標(biāo)航天器的軌道坐標(biāo)系中展開，可得完整的兩星相對動力學(xué)方程為

若目標(biāo)航天器運(yùn)行于圓軌道，且兩星相對距離與目標(biāo)航天器至地球距離之比為小量，則式（2）中為常值，方程右邊只保留一階小量，可簡化為線性常系數(shù)相對運(yùn)動方程，即C－W方程［10］。若目標(biāo)航天器運(yùn)行于橢圓軌道，則均為時(shí)變量，式（2）保留一階小量可得橢圓軌道的相對運(yùn)動方程（Lawden方程）

根據(jù)式（3）的相對運(yùn)動方程設(shè)計(jì)自主交會的控制律，必然要求獲知目標(biāo)航天器軌道參數(shù)，但此3個(gè)量均為時(shí)變，如無法實(shí)時(shí)獲得，就需設(shè)計(jì)不依賴其的自主交會控制律。

2 不確定系統(tǒng)魯棒滑?？刂?/h2>

將式（3）中的時(shí)變參數(shù)視為不確定量，構(gòu)成一不確定相對運(yùn)動系統(tǒng)，則可用不確定系統(tǒng)的魯棒滑?？刂评碚搶?shí)現(xiàn)參數(shù)未知時(shí)的自主交會。

首先將Lawden方程寫成狀態(tài)方程形式

式中：

整理式（4）可得

式中：η＝DX；ΔA＝BD。此處：

變結(jié)構(gòu)滑模控制對系統(tǒng)的參數(shù)和干擾不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性，其設(shè)計(jì)一般分為兩個(gè)獨(dú)立步驟：

a）選擇理想滑動模態(tài)超平面（滑動面）；

b）設(shè)計(jì)某種控制律將系統(tǒng)的狀態(tài)驅(qū)動至滑動面上，并將該狀態(tài)保持在滑動面上，使之漸近趨向系統(tǒng)的平衡點(diǎn)［1、11］。

本文選擇的系統(tǒng)滑動平面為

式中：P為正定對稱矩陣，是代數(shù)Riccati方程的解，且有

此處：α為大于0的常數(shù)；Q為正定對角陣，均可由設(shè)計(jì)者選擇。

根據(jù)變結(jié)構(gòu)滑?？刂频亩x和設(shè)計(jì)步驟，系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動由兩部分構(gòu)成：第一部分是在變結(jié)構(gòu)控制律作用下，將系統(tǒng)狀態(tài)由狀態(tài)空間中的某點(diǎn)驅(qū)動至滑動面S（X，t）＝0上（滑動模態(tài)的可達(dá)性）；第二部分是系統(tǒng)在滑動面附近，并沿S（X，t）＝0的滑模運(yùn)動（滑動模態(tài)運(yùn)動的穩(wěn)定性）。系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)取決于上述兩部分。為改善系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)，對第一部分可設(shè)計(jì)某種控制律使系統(tǒng)狀態(tài)以有限的速度趨向滑動面。

2.1 到達(dá)運(yùn)動控制律

對式（6）求導(dǎo)，并代入式（5）可得

令到達(dá)運(yùn)動控制律為

將式（8）代入式（7）可得

其中，可先取

則有

選擇非線性狀態(tài)反饋控制

式中：ε為設(shè)計(jì)者選擇的趨近速率，且ε＞0；

此處：k＝max‖D（t）‖。

這樣，采用式（10）、（12）之和構(gòu)成的控制律以及式（6）的滑動面，系統(tǒng)的滑動模態(tài)為趨近可達(dá)。

證明：令Lyapunov函數(shù)V＝STS，則有

組合式（12）可得

綜合式（13）和式（14）右端的最后兩項(xiàng)，可得

將式（15）、（16）代入式（14），有

根據(jù)文獻(xiàn)［12］的Barbalat引理可知

因此，滑動模態(tài)是漸近可達(dá)。

2.2 滑動面穩(wěn)定性

考察系統(tǒng)在滑動面S＝BTPX＝0上的穩(wěn)定性。取Lyapunov函數(shù)V＝XTPX，則求導(dǎo)后可得

在滑動面上，有S＝BTPX＝0，則對任意常數(shù)α＞0，有

將式（7）代入式（20），可得

式中：λmin為Q的最小特征值。由此可知：系統(tǒng)在滑動面上具有漸近穩(wěn)定的滑動運(yùn)動。

3 仿真

取航天器初始軌道要素見表1，初始時(shí)刻追蹤星在x軸上落后目標(biāo)星1km，要求最終的相對位置為Xf＝［－10 0 0］Tm，相對速度為＝［000］Tm／s。表1中：a，e，i，Ω，ω分別為衛(wèi)星軌道半長軸、偏心率、傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)和近地點(diǎn)幅角。兩種不同情況的到達(dá)運(yùn)動和滑動面參數(shù)見表2。

表1 兩星初始軌道要素Tab.1 Initial orbit elements of two spacecrafts

表2 兩組仿真參數(shù)Tab.2 Two groups of simulation parameters

采用第一組參數(shù)時(shí)相對位置和相對速度分別如圖2、3所示。由圖可知：在此條件下可實(shí)現(xiàn)航天器的自主交會，交會所用時(shí)間為2.5×104s。主動航天器的三軸加速度如圖4所示。由圖可知：其最大值為10－4m／s2量級。整個(gè)交會過程共需速度增量為4.58m／s。

采用第二組參數(shù)時(shí)相對位置和相對速度分別如圖5、6所示。由圖可知：在此條件下自主交會所需時(shí)間較短，約5 300s，且因控制律參數(shù)的改變，增大了追蹤航天器的控制加速度（其量級為10－2m／s2），較第一組參數(shù)的最大加速度提高了2個(gè)量級，故其相對位置的變化速度也變快，自主交會共需速度增量35.29m／s，明顯大于第一種情況。

圖2 情況1的相對位置變化Fig.2 Relative position in case 1

圖3 情況1的相對速度Fig.3 Relative velocity in case 1

圖4 情況1的追蹤星控制加速度Fig.4 Control acceleration of the chase in case 1

圖5 情況2的相對位置Fig.5 Relative position in case 2

比較兩組不同參數(shù)結(jié)果可知：控制律參數(shù)選擇決定了自主交會所需時(shí)間，以及在交會期間所需最大加速度和總速度增量。若追蹤航天器為小衛(wèi)星，并選擇小推力發(fā)動機(jī)作為推力器，則可選擇交會時(shí)間較長的參數(shù)，這樣既能保證推力輸出要求符合實(shí)際推力器的工作能力，又可減少交會所消耗的燃料。若常規(guī)航天器和推力器，則可選擇交會時(shí)間較短的參數(shù)，提高任務(wù)的快速性，但交會消耗的燃料會相應(yīng)有所增加。

4 結(jié)束語

針對缺少絕對軌道信息情況時(shí)的橢圓軌道下自主交會任務(wù)，本文采用不確定系統(tǒng)的魯棒滑?？刂圃O(shè)計(jì)了自主交會的控制律。仿真結(jié)果表明：所設(shè)計(jì)的控制律能有效實(shí)現(xiàn)預(yù)期的交會目標(biāo)，可用于完成在無法實(shí)時(shí)定軌時(shí)的橢圓軌道自主交會任務(wù)。

圖6 情況2的追蹤星控制加速度Fig.6 Control acceleration of the chase in case 2

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