基于非線性函數(shù)的非平穩(wěn)盲源分離步長算法

李著成

（北京聯(lián)合大學(xué)商務(wù)學(xué)院，北京 100025）

自然梯度算法是盲源分離的一種經(jīng)典算法，但由于其固定步長的應(yīng)用，造成了兩個重要的算法性能指標(biāo)收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。一般來說，大的步長收斂速度較快，但穩(wěn)態(tài)誤差較大;反之，小的步長收斂速度較慢，但穩(wěn)態(tài)誤差較小。特別在分離非平穩(wěn)盲源時，這種矛盾會尤為明顯［1－2］。

1 系統(tǒng)模型和算法公式

假設(shè)有n個相互統(tǒng)計獨(dú)立的未知源信號s（t）=［s1（t），s2（t），…，sn（t）］T，t為離散時間，經(jīng)過未知的傳輸信道A∈ Rm×n后得到m個觀測信號x（t）=［x1（t），x2（t），…，xm（t）］T（通常情況下m≥n），寫成矩陣形式為

盲源分離的任務(wù)是只根據(jù)觀測信號x（t），通過某種學(xué)習(xí)算法得到的分離矩陣W∈Rn×m，使得

其中各分量之間盡可能地獨(dú)立，依此將y（t）=［y1（t），y2（t），…，yn（t）］T作為對源信號的一個估計，若

式中:G為全局矩陣;I為n×n維單位矩陣。則y（t）=s（t），那么源信號得到徹底恢復(fù)［3］。

盲源分離的系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 盲源分離的系統(tǒng)模型

基于互信息（Mutual Information，MI）的自然梯度盲源分離算法［4］最早由 Amari，Cichoki等人提出，代價函數(shù)為

由表4主成分綜合得分可知，各土壤樣本養(yǎng)分含量由高到低的排列順序?yàn)?7→28→18→25→23→15→40→24→27→11→33→7→32→1→5→26→3→9→12→10→14→48→2→29→16→31→41→34→38→37→44→4→45→47→21→46→36→20→30→6→13→19→8→43→22→39→35→49→42。

式中:Pi（yi（t））為yi（t）的概率密度函數(shù);det（·）表示矩陣的行列式。按照式（5）更新分離矩陣

式中:μ為步長因子;f（y（t））=［f1（y1（t）），f2（y2（t）），…，fn（yn（t））］T為估計信號y（t）的非線性函數(shù)，理想情況下有

式（4）對處理類似聲音、語言、生物醫(yī)學(xué)和機(jī)械振動等非平穩(wěn)信號不是很理想，對其進(jìn)行如下的修改［4－6］:

W（t+1）=W（t）+μ［Λ －f（y（t））yT（t）］W（t）（7）式中:Λ是一個對角陣，其元素為矩陣f（y（t））y（t）T對角線上的元素，即 Λ =diag［f（y（t））yT（t）］（diag［·］表示由矩陣對角線元素構(gòu)成的對角陣）。

2 基于非線性函數(shù)的步長算法

為了克服收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾，考慮采用變步長的辦法，使步長隨著算法分離的實(shí)際情況做動態(tài)的變化，本文提出一種基于非線性函數(shù)的步長算法，通過某種誤差的相關(guān)值e（t）e（t－1）去調(diào)節(jié)步長，表達(dá)式為

式中:e（t）是穩(wěn)態(tài)誤差;β＞0和α＞0為算法參數(shù)，這兩個值的選擇對算法性能會產(chǎn)生一定影響。

對于非平穩(wěn)源信號，算法收斂后分離信號y應(yīng)該滿足［4］

式中:E［·］為數(shù)學(xué)期望。這意味著為了滿足式（9），分離信號的幅度在算法執(zhí)行過程中會不斷自動調(diào)整。

假設(shè)

它的分量形式應(yīng)滿足

由此可以得到誤差的一種表達(dá)式為

結(jié)合式（8）和式（12），新的變步長算法為

值得注意的是，μ（t）如果選擇的太大，對算法的穩(wěn)定性會造成較大的影響。因此，必須考慮步長μ（t）的上界

式中:μup（t）為μ（t）的上界。此時，μ（t）的取值為

如果步長不超過μup（t），則按照式（13）的步長，如果超過了μup（t），步長應(yīng)選取為μ=μup（t）。

3 MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)

假設(shè)n=m=2，未知非平穩(wěn)源信號s（t）=［s1（t），s2（t）］T為用Soundblaster卡采集的2路語音信號，其波形如圖2所示，μ =0.006，β =0.05，α =3。圖3為源信號經(jīng)過隨機(jī)混合矩陣A混合后生成的觀測信號x（t）=［x1（t），x2（t）］T的波形圖。圖3與圖2相比較，波形圖發(fā)生了明顯的改變。

為驗(yàn)證提出算法的有效性，分別用新舊兩種算法對上述觀察信號進(jìn)行分離，分離效果通過盲源分離技術(shù)常用的一種算法評價指標(biāo)——串音誤差Cte（Cross－talk error）來鑒定，其表達(dá)式為

圖4為經(jīng)過新算法分離出的源信號的估計信號y（t）=［y1（t），y2（t）］T的波形圖。將圖4與圖2進(jìn)行比較，可直觀地看出新算法已基本完成對源信號的恢復(fù)，y1對應(yīng)于s1，幅度和相位發(fā)生了改變;y2對應(yīng)于s2，相位沒變但幅度發(fā)生了改變，這些改變是由盲源分離的不確定性決定的，在實(shí)際應(yīng)用中，只要保持波形不變，這是完全可以接受的。圖5是基于非線性函數(shù)的步長算法與固定步長算法的Cte比較圖，表1為兩種算法的更新次數(shù)與Cte的對應(yīng)值。結(jié)合圖5和表1可知，新算法與舊算法相比，分離效果有了明顯改善，收斂速度較快而穩(wěn)態(tài)誤差較小，固定步長算法分離出源信號需更新200次左右，而新的自適應(yīng)算法只需135次，收斂速度明顯加快，而且此時新的步長算法的Cte=0.04，固定步長算法的Cte=0.08，可見穩(wěn)態(tài)誤差也有一定程度的改善。

表1 兩種算法的更新次數(shù)與Cte的對應(yīng)值

關(guān)于式（13）中α和β值的選擇，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)也發(fā)現(xiàn)了一定的規(guī)律。一般地，0＜α＜1，β＞1，如果要求收斂速度快，就應(yīng)選擇一個較大的β值，如果要求穩(wěn)態(tài)誤差小，就應(yīng)選擇一個較小的α值，β影響全局而α影響局部。

4 小結(jié)

收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差一直是盲源分離算法研究的熱點(diǎn)之一。本文在對自然梯度算法進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，提出了一種新的基于非線性函數(shù)的步長算法，在加快算法收斂速度的同時兼顧減小穩(wěn)態(tài)誤差，克服了傳統(tǒng)固定步長算法的缺點(diǎn)，通過計算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)證明了該算法的有效性。

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［2］OU Shifeng，GAO Ying，JIN Gang，et al.Variable step－size algorithm for blind source separation using a combination of two adaptive separation system［C］//Proc.15th International Conference on Natural Computation，2009.Tianjin，China:IEEE Press，2009:649－652.

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