懸掛建筑結(jié)構(gòu)原型模型的隨機(jī)振動(dòng)優(yōu)化

施明征 涂永明 王志蘭

(1東南大學(xué)建筑設(shè)計(jì)研究院，南京 210096)(2東南大學(xué)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096)

懸掛建筑結(jié)構(gòu)原型模型的隨機(jī)振動(dòng)優(yōu)化

施明征1涂永明2王志蘭2

(1東南大學(xué)建筑設(shè)計(jì)研究院，南京 210096)(2東南大學(xué)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096)

以隨機(jī)振動(dòng)為基礎(chǔ)，將白噪聲作為地面加速度激勵(lì)，進(jìn)行懸掛建筑結(jié)構(gòu)原型模型的動(dòng)力響應(yīng)優(yōu)化分析.研究了無約束(即不限制懸掛次結(jié)構(gòu)阻尼比ξ2的上限值)條件下懸掛建筑主結(jié)構(gòu)的最優(yōu)調(diào)諧比fopt、次結(jié)構(gòu)最優(yōu)阻尼比ξ2，opt、主結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)方差χa1和主結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差χx1等參數(shù)與懸掛質(zhì)量比μ之間的關(guān)系，以及在約束(即限制ξ2的上限值)條件下，χa1和fopt與μ之間的關(guān)系.結(jié)果表明:對具有大懸掛質(zhì)量比(μ≈1)的懸掛建筑的主結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)方差進(jìn)行無約束優(yōu)化分析時(shí)，可以近似假定ξ1=0來求解fopt和ξ2，opt;而對相對位移響應(yīng)方差優(yōu)化，采用該假定將帶來顯著的誤差甚至是錯(cuò)誤，無約束條件下，χa1隨著μ的增大而不斷改進(jìn).約束優(yōu)化分析表明，ξ2的上限越大，則χa1和χx1均越小.為了保證懸掛建筑結(jié)構(gòu)的整體動(dòng)力穩(wěn)定性，不需要對主結(jié)構(gòu)設(shè)置阻尼器，但需要對懸掛次結(jié)構(gòu)(懸掛樓層)設(shè)置阻尼器.

懸掛建筑結(jié)構(gòu);原型模型;隨機(jī)振動(dòng);白噪聲

懸掛建筑結(jié)構(gòu)作為一種新型減振結(jié)構(gòu)體系，已日益受到建筑工程界的關(guān)注.將懸掛方式應(yīng)用于房屋結(jié)構(gòu)中，不僅具有強(qiáng)烈的藝術(shù)表現(xiàn)力，而且符合結(jié)構(gòu)的自然傳力原理，能充分利用高強(qiáng)材料的物理力學(xué)性能，以細(xì)長的拉桿替代粗大的柱子，擴(kuò)大建筑使用率，提高結(jié)構(gòu)抗震和抗風(fēng)性能［1］.

1 懸掛建筑結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算模型

懸掛建筑結(jié)構(gòu)由主結(jié)構(gòu)、懸掛轉(zhuǎn)換層、懸掛吊桿及懸掛次結(jié)構(gòu)(懸掛樓層)組成［1-2］，如圖1所示.其中，懸掛樓層通過轉(zhuǎn)換層結(jié)構(gòu)懸掛于核心筒或者巨型框架等主結(jié)構(gòu)上，這種利用質(zhì)量巨大的懸掛樓層作為次結(jié)構(gòu)，達(dá)到振動(dòng)控制目的的結(jié)構(gòu)體系，稱為懸掛建筑減振體系［3-9］，其主要特點(diǎn)是把整個(gè)建筑設(shè)計(jì)成了一個(gè)超級懸掛質(zhì)量調(diào)頻阻尼系統(tǒng)［1］，即 SuperSTMD(super suspended tuned mass damper).SuperSTMD的振動(dòng)控制模型如圖2所示.在懸掛建筑結(jié)構(gòu)中，懸掛次結(jié)構(gòu)的各樓層被設(shè)計(jì)為一個(gè)整體，簡化為集中質(zhì)量m2［6-10］，而支撐次結(jié)構(gòu)的主結(jié)構(gòu)(如核筒或者巨型框架柱)以及連接主、次結(jié)構(gòu)的懸掛轉(zhuǎn)換層結(jié)構(gòu)(例如轉(zhuǎn)換大梁)可以簡化為集中質(zhì)量m1，在懸掛次結(jié)構(gòu)與主結(jié)構(gòu)之間應(yīng)設(shè)置減振耗能裝置［1，3-9，11-13］.圖 2 中，k1及c1表示主結(jié)構(gòu)的剛度及阻尼系數(shù)，k2及c2表示懸掛次結(jié)構(gòu)的總抗側(cè)剛度及阻尼系數(shù).

圖1 核筒懸掛建筑結(jié)構(gòu)剖面簡圖

圖2 懸掛減振體系控制模型

圖2中的懸掛減振體系控制模型在地震動(dòng)作用下的動(dòng)力方程為［14］

式中，質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C及剛度矩陣K分別為

x為相對于地面的位移向量為懸掛樓段與主體結(jié)構(gòu)的連接剛度，與吊桿兩端的約束有關(guān)，L為懸掛點(diǎn)與懸掛樓段質(zhì)心的距離.

設(shè)絕對位移為xt，則xt=x+1xg.由此可以得到

設(shè)懸掛建筑結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)受到諧振動(dòng)激勵(lì)，即其中，Ha為絕對加速度頻率響應(yīng)函數(shù)向量.由此可以得到

類似地，可以得到懸掛結(jié)構(gòu)的相對位移頻率響應(yīng)函數(shù)向量 Hx={Hx1，Hx2}T，其中

2 懸掛建筑結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)激勵(lì)響應(yīng)

地震動(dòng)作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)是隨機(jī)振動(dòng)，而地震動(dòng)加速度譜Sa通常是一個(gè)非常復(fù)雜的函數(shù)，為了便于理論上分析，假定

式中，S0為常數(shù)，即白噪聲譜.

根據(jù)白噪聲的定義，可以得到懸掛建筑結(jié)構(gòu)的絕對加速度和相對位移的響應(yīng)譜，記為

當(dāng)j=1時(shí)，表示主結(jié)構(gòu)的響應(yīng);j=2表示懸掛次結(jié)構(gòu)的響應(yīng).所以，由式(5)～ (9)，Raj，Rxj可以表示為Ψ/Ω的形式.Ω可改寫為

式中，D0=f2，D1=2f(ξ1f+ ξ2)，D2=1+(1+ μ)f2+4fξ1ξ2，D3=2［ξ1+(1+ μ)fξ2］，D4=1;而 Ψ 可統(tǒng)一記為 Ψ =E0+iE1β －E2β2－iE3β3，其中對應(yīng)的系數(shù)列于表1中.

表1 頻率響應(yīng)幅值函數(shù)分子系數(shù)

因此，式(11)和(12)右側(cè)的積分部分可以記為

式(13)是一個(gè)有理函數(shù)的積分，可以采用留數(shù)方法計(jì)算，即

將表1中的系數(shù)和 Ω分別代入式(14)和(15)，可以得到各類情況下的方差響應(yīng).式(14)的計(jì)算結(jié)果如表2所示，其中，下標(biāo)a1和a2分別對應(yīng)于懸掛建筑主結(jié)構(gòu)和次結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)，x1和x2分別對應(yīng)于懸掛建筑主結(jié)構(gòu)和次結(jié)構(gòu)的相對位移響應(yīng).式(15)的計(jì)算結(jié)果為

根據(jù)表2及式(16)，式(11)和(12)可以改寫為

表2 白噪聲響應(yīng)函數(shù)的分子表達(dá)式

3 懸掛建筑結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)的優(yōu)化分析

3.1 無約束優(yōu)化分析

由于對平穩(wěn)過程的激勵(lì)分析比較復(fù)雜，因此，本文針對懸掛建筑主結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，以得出相應(yīng)的優(yōu)化參數(shù)，為保障主結(jié)構(gòu)的安全可靠提供建議.當(dāng)j=1時(shí)式(17)和式(18)即為懸掛建筑主結(jié)構(gòu)的絕對加速度響應(yīng)和相對位移響應(yīng)的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù).

該優(yōu)化問題是一個(gè)無約束的極值問題.取得極值的必要條件是優(yōu)化函數(shù)的駐點(diǎn)存在，即

式中分別表示主結(jié)構(gòu)絕對加速度方差響應(yīng)(k=1)和相對位移方差響應(yīng)(k=2).

因?yàn)樵摌O值問題是一個(gè)實(shí)際問題，所以極值點(diǎn)一定存在.分別將表2中的φa1，φx1和式(16)代入式(17)～(19)，可以得到主結(jié)構(gòu)的絕對加速度響應(yīng)和相對位移響應(yīng)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，即

式中，Pkl，Qkl(k=1，2;l=0 ～6)分別為待定系數(shù)，k=1時(shí)表示加速度響應(yīng)優(yōu)化，k=2時(shí)表示相對位移響應(yīng)優(yōu)化.Pkl，Qkl系數(shù)表達(dá)式如表3所示.

表3 主結(jié)構(gòu)有阻尼時(shí)方差響應(yīng)優(yōu)化關(guān)系式系數(shù)

顯然，由式(20)及表3確定的2組代數(shù)方程組是高次非線性的，根據(jù)代數(shù)學(xué)的知識(shí)，該方程組不能求出解析解.因此，采用數(shù)值方法求解式(20).分別取 ξ1=0，0.02，0.05，0.10;令 μ =0.02為初始值，步長為0.02，終止于2.00.由此，絕對加速度方差響應(yīng)和相對位移方差響應(yīng)分別得到400個(gè)組合，根據(jù)每個(gè)組合計(jì)算出響應(yīng)最優(yōu)參數(shù)fopt及

圖3 白噪聲激勵(lì)下主結(jié)構(gòu)響應(yīng)優(yōu)化fopt-μ曲線

白噪聲激勵(lì)下主結(jié)構(gòu)響應(yīng)優(yōu)化的最優(yōu)調(diào)諧比fopt與懸掛質(zhì)量比μ的關(guān)系曲線如圖3所示，圖中箭頭表示ξ1增大方向.可以看到，fopt是μ的單調(diào)減函數(shù);μ 一定時(shí)，若 ξ1增大，則fopt減小.然而，對于主結(jié)構(gòu)絕對加速度響應(yīng)優(yōu)化，ξ1的變化對fopt的影響非常小;對于主結(jié)構(gòu)相對位移響應(yīng)優(yōu)化，ξ1的影響則比較顯著.這說明，在對主結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)進(jìn)行優(yōu)化分析時(shí)，可以采用令ξ1=0的簡化方法求解fopt;而對于相對位移響應(yīng)，采用該簡化會(huì)在μ較大時(shí)帶來顯著的誤差.這些優(yōu)化參數(shù)可以為實(shí)際工程提供參考.

類似地，次結(jié)構(gòu)最優(yōu)阻尼比ξ2，opt與懸掛質(zhì)量比 μ的關(guān)系曲線如圖4所示.由圖可見，ξ2，opt是 μ的單調(diào)增函數(shù);μ 一定時(shí)，ξ2，opt為 ξ1的單調(diào)增函數(shù).然而，對于絕對加速度響應(yīng)而言，ξ1對fopt的影響非常小;對相對位移響應(yīng)，ξ1的影響非常顯著.這意味著，采用令 ξ1=0 的簡化方法求解 ξ2，opt，對主結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)優(yōu)化分析是可行且足夠準(zhǔn)確的，但對于相對位移響應(yīng)分析，在μ較大時(shí)是錯(cuò)誤的.

圖4 白噪聲激勵(lì)下主結(jié)構(gòu)響應(yīng)優(yōu)化ξ2，opt-μ曲線

上述分析中，主結(jié)構(gòu)阻尼比ξ1=0的計(jì)算工況在實(shí)際工程中是不存在的，此處選取該工況，是由于傳統(tǒng)設(shè)置TMD或者STMD的小懸掛質(zhì)量比(μ?1)的高層建筑結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析方法中采用了主結(jié)構(gòu)阻尼比ξ1=0的基本假定.根據(jù)本文計(jì)算發(fā)現(xiàn)，該傳統(tǒng)分析方法(即假定ξ1=0)可以應(yīng)用于無約束優(yōu)化下的大懸掛質(zhì)量比(μ≈1)懸掛建筑結(jié)構(gòu)體系的主結(jié)構(gòu)絕對加速度響應(yīng)優(yōu)化，但不能用于主結(jié)構(gòu)的相對位移響應(yīng)優(yōu)化.因此傳統(tǒng)的小懸掛質(zhì)量比的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析方法只部分適用于懸掛建筑結(jié)構(gòu)體系.

主結(jié)構(gòu)絕對加速度及相對位移的響應(yīng)方差χa1－μ 和 χx1－μ 的關(guān)系曲線見圖 5.可以看到，主結(jié)構(gòu)加速度優(yōu)化響應(yīng)隨著μ的增大而趨于一個(gè)共同的“極限”，而相對位移優(yōu)化響應(yīng)在μ＞0.4之后就近似于水平.可見，從理論意義上的優(yōu)化角度而言，加速度響應(yīng)的優(yōu)化值隨著μ的增大而不斷改進(jìn)，而相對位移的最優(yōu)值在μ大于一定數(shù)值(例如μ＞0.4)后就趨于穩(wěn)定.

圖5 白噪聲激勵(lì)下主結(jié)構(gòu)響應(yīng)優(yōu)化χa1-μ和χx1-μ曲線

在主結(jié)構(gòu)阻尼比ξ1一定的條件下，當(dāng)懸掛質(zhì)量比μ大到一定的程度后，其對響應(yīng)優(yōu)化效果的影響越來越小.可以認(rèn)為，μ=1的減振效果已經(jīng)很好.

3.2 約束優(yōu)化分析

懸掛建筑結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的無約束優(yōu)化可以從數(shù)學(xué)上得到較為完美的解答，然而，在實(shí)際工程中，某些無約束優(yōu)化最優(yōu)解無法實(shí)現(xiàn).例如，主結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的優(yōu)化參數(shù)穩(wěn)定性很差，當(dāng)懸掛質(zhì)量比μ＞1之后，fopt減小并迅速趨于0，如圖3(b)所示;而ξ2，opt卻迅速增大，很快就不收斂了，如圖 4(b)所示.在實(shí)際工程中不可能使ξ2，opt無限制增大，或者使fopt趨于0.

由圖 4 可見，對于不同數(shù)值的 ξ1，ξ2，opt是 μ 的單調(diào)增函數(shù)，考慮到實(shí)際工程中，μ通常較大，例如當(dāng) μ =1.0，相應(yīng)的 ξ2，opt就較大，這在實(shí)際工程中很不經(jīng)濟(jì).因此本文中取 ξ2的上限值 ξ2，lim=0.20，以替代最優(yōu)值 ξ2，opt.

白噪聲激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)約束優(yōu)化問題可以記為

一般地，解決約束優(yōu)化問題的基本方法主要有懲罰函數(shù)法、可行方向法、梯度投影法、既約梯度法、二次逼近法等.因?yàn)槭?21)的約束條件是線性的，因此可以采用上述各種方法求解;本文采用既約梯度法求解，采用編制計(jì)算機(jī)程序的方法計(jì)算優(yōu)化參數(shù)，取ξ1=0.02和0.05，初始值μ=0.02，步長為 0.02，終止于 2.00;ξ2=0.02，0.05，0.10，0.15，0.20.由此，主結(jié)構(gòu)的絕對加速度響應(yīng)和相對位移響應(yīng)如圖6和圖7所示，圖中箭頭 表示ξ2增大方向.

圖6 ξ2受約束時(shí)主結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)優(yōu)化fopt-μ及χx1-μ曲線

圖7 ξ2受約束時(shí)主結(jié)構(gòu)相對位移響應(yīng)優(yōu)化fopt-μ及χa1-μ曲線

由圖6和圖7可知，ξ2的上限越大，則加速度或者相對位移動(dòng)力響應(yīng)均越小.而且，fopt是μ的單調(diào)減函數(shù);μ 一定時(shí)，ξ1增大，fopt減小.ξ1對于主結(jié)構(gòu)相對位移響應(yīng)優(yōu)化的影響較大，而對絕對加速度響應(yīng)影響較小.

圖6中，χa1－μ曲線從一條“漸近線”出發(fā)，隨著μ的增大，而各自分離，不再相交.對于圖7中的χx1－μ 曲線，因?yàn)榇谓Y(jié)構(gòu)無法達(dá)到最優(yōu)阻尼比 ξ2，opt，因而隨著ξ2的減小，曲線不收斂.這也說明，從相對位移響應(yīng)優(yōu)化的角度，隨著μ不斷增大，減振效果不提高反降低.相對位移響應(yīng)不能收斂的性質(zhì)，在圖7的中fopt－μ曲線族中同樣表現(xiàn)得非常明顯.其原因是最優(yōu)調(diào)諧比fopt太小，而且迅速趨于0(甚至出現(xiàn)負(fù)值)，使得剛度矩陣奇異，迭代無法收斂.從圖7中還可以發(fā)現(xiàn)，ξ1越大，ξ2越小，則動(dòng)力響應(yīng)優(yōu)化越容易導(dǎo)致剛度矩陣退化，從而使迭代計(jì)算發(fā)散;而這一現(xiàn)象在圖6中不容易被發(fā)現(xiàn).因此，對于實(shí)際懸掛建筑主結(jié)構(gòu)，通常不需要對主結(jié)構(gòu)設(shè)置額外的阻尼器，而需要對懸掛次結(jié)構(gòu)(懸掛樓層結(jié)構(gòu))設(shè)置阻尼器，以保證懸掛結(jié)構(gòu)的整體動(dòng)力穩(wěn)定性.

4 結(jié)論

1)傳統(tǒng)的設(shè)置TMD或者STMD系統(tǒng)的小懸掛質(zhì)量比高層結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析方法只部分適用于大懸掛質(zhì)量比的結(jié)構(gòu)體系.即根據(jù)無約束條件對懸掛建筑的主結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)進(jìn)行優(yōu)化分析時(shí)，可以采用傳統(tǒng)分析方法(假定 ξ1=0)求解fopt和ξ2，opt;而對于相對位移響應(yīng)，采用該方法求解fopt和ξ2，opt會(huì)在μ較大時(shí)帶來顯著的誤差甚至是錯(cuò)誤.

2)從無約束優(yōu)化角度而言，懸掛建筑主結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)的優(yōu)化值隨著μ的增大而不斷改進(jìn)，而相對位移的最優(yōu)值在μ大于一定數(shù)值(例如μ＞0.4)后就趨于穩(wěn)定.

3)從約束優(yōu)化(即限制ξ2的上限值)角度而言，ξ2的上限越大，則懸掛建筑的主結(jié)構(gòu)的加速度或者相對位移響應(yīng)均越小.在設(shè)計(jì)建造懸掛建筑時(shí)，為了保證懸掛建筑結(jié)構(gòu)的整體動(dòng)力穩(wěn)定性，不需要對主結(jié)構(gòu)設(shè)置阻尼器，即不需要增大ξ1，而需要對懸掛次結(jié)構(gòu)(懸掛樓層)設(shè)置阻尼器，盡量增大 ξ2.

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Stochastic vibration optimization of prototype model of suspended building structure

Shi Mingzheng1Tu Yongming2Wang Zhilan2

(1Architectural Design and Research Institute，Southeast University，Nanjing 210096，China)
(2Key Laboratory of Concrete and Prestressed Concrete Structure of Ministry of Education，Southeast University，Nanjing 210096，China)

On the basis of stochastic theory，the optimization of dynamic responses of prototype model of suspended building structure was carried out using white noise as ground vibration input.The relationships between four parameters，i.e.the optimal tuning ratio of main structure of building structurefopt，the optimal damping ratio of auxiliary structure ξ2，opt，the acceleration response variance of main structure χa1as well as the displacement response variance of main structure χx1，and the suspended mass ratio μ were analyzed in the case of the unconstrained optimization where the upper limit value of the damping ratio of auxiliary structure ξ2is not limited.Moreover，the relationship between χa1and μ as well as that betweenfoptand μ were analyzed in the case of constraint optimization where the upper limit value of ξ2is limited.The results show that:the damping ratio of main structure can approximately be assumed as zero，i.e.ξ1=0，to solvefoptand ξ2，optin the case of the unconstrained optimization of acceleration response variance of main structure of suspended building with the inherent large suspended mass ratio(μ≈1);however，this assumption could bring large error or even be a mistake in the case of the optimization of displacement response variance.Under the condition of unconstrained optimization，χa1improves with the increase of μ.Moreover，under the condition of constraint optimization，the larger the upper limit value of ξ2is，the smaller the χa1and χx1are.The dampers should not be installed in the main structure but it is needed in the auxiliary structure or in the suspended floors to ensure the global stability of suspended building structure under dynamic excitation.

suspended building structure;prototype model;stochastic vibration;white noise

TU973

A

1001－0505(2012)06-1157-07

10.3969/j.issn.1001 －0505.2012.06.025

2012-05-30.

施明征(1964—)，男，高級工程師，Shimingzheng5182@sina.com.

施明征，涂永明，王志蘭.懸掛建筑結(jié)構(gòu)原型模型的隨機(jī)振動(dòng)優(yōu)化［J］.東南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，42(6):1157-1163.［doi:10.3969/j.issn.1001 －0505.2012.06.025］