文化數(shù)學(xué)三題（之三）試論文化數(shù)學(xué)的建構(gòu)途徑

廣東省深圳市教育科學(xué)研究院 尚 強(qiáng) 胡炳生 （郵編：518001）

文化數(shù)學(xué)，其主要想法就是：用文化的各種元素對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行包裝，使數(shù)學(xué)文化化.將數(shù)學(xué)從科學(xué)課程轉(zhuǎn)變?yōu)槲幕n程.構(gòu)建文化數(shù)學(xué)，可以設(shè)想有以下途徑：

1 數(shù)學(xué)與歷史結(jié)合

數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)的歷史故事和歷史上有關(guān)數(shù)學(xué)的逸聞趣事講起.例如，講概率，可以從賭徒梅累提出的得分問題說起，講到帕斯卡和費(fèi)馬解決此問題的不同思路.這比從定義到定理、公式純理論的講法，一定會(huì)有趣得多.故事如下：

在17世紀(jì)的法國，有個(gè)深有文化素養(yǎng)的賭徒梅累，在賭博中遇到一個(gè)棘手的問題：得分問題.

這先要了解當(dāng)時(shí)歐洲賭博游戲的規(guī)則：一般是兩人的對(duì)奕，雙方各出同等賭資，放在一起作賭注.每局勝者得1分，事先約定先得幾分者為勝，勝者獲得全部賭資.梅累遇到的得分問題是：A、B二人各出金幣32枚作賭注.約定先得4分者獲勝，獲得全部64金幣.但是由于某種突然情況，當(dāng)A得2分，B得1分時(shí)，賭博不得不終止.試問：這時(shí)應(yīng)該按照什么比例來分配這64枚賭金？

梅累雖然是一個(gè)熟練的賭徒，但是不能解決這個(gè)從未遇到過的難題.于是他向法國天才數(shù)學(xué)家——帕斯卡（1624－1662）求救.而帕斯卡又把這個(gè)問題寫信給他的朋友，被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的費(fèi)馬（1601－1665）.

經(jīng)過思考和研究，帕斯卡和費(fèi)馬從不同的思路上給出了各自的解法.

費(fèi)馬的方法：設(shè)想賭局繼續(xù)進(jìn)行4局，總可以得出最后結(jié)果.他列舉出各種勝負(fù)可能情況，以決定個(gè)人的勝負(fù)可能性：

1.A勝4局，B全 負(fù)，這 只 有 一 種 情況 ——aaaa；

2.A勝3局，B勝1局，這有4種情況——aaab，aaba，abaa，baaa；

3.A勝2局，B勝2局，這有6種情況——aabb，abab，abba，baba，bbaa，baab；

4.A勝1局，B勝3局，這也有4種情況——bbba，babb，abbb，bbab；

5.B勝4局，A全負(fù)，這也只有一種情況 ——bbbb.

以上共有16種情況，其中有11種情況為A勝；其余5種情況B勝.從而A、B二人的勝率（機(jī)會(huì)）之比為11∶5.

因此，A應(yīng)得賭金的11／16；B應(yīng)得其余的5／16，即A應(yīng)得賭金的×64＝44個(gè)金幣，B得×64＝20個(gè)金幣.

帕斯卡則從從他發(fā)現(xiàn)的數(shù)字三角（帕斯卡三角）出發(fā)，設(shè)想：賭局開始，在數(shù)字三角的頂點(diǎn)上放一顆棋子，第一局若A勝，將棋子向左下移到第二行；若B勝則向右下移動(dòng)棋子到第二行.第一局后，不論誰勝，棋子都會(huì)移到第二行.第二局后，棋子一定回移到第三行上.只是若A勝棋子向左下移一格，B勝向右下移一格.依次類推，第三局，棋子移到第四行.第四局后，棋子移到第五行.

例如，若A勝3局，B勝1局，則棋子向左下移3次，向右下移1次.棋子移動(dòng)的路線有以下四條：

1（向左）→1（向左）→1（向左）→1（向右）→4；

1（向左）→1（向左）→1（向右）→3（向左）→4；

1（向左）→1（向右）→2（向左）→3（向左）→4；

1（向右）→1（向左）→2（向左）→3（向左）→4.

則不論如何，最后棋子都移到第五行的第二個(gè)數(shù)字4上.這個(gè)數(shù)字4，就是A勝3局，B勝1局的所有可能情況.

同理，第五行上第三個(gè)數(shù)字6，就是從頂點(diǎn)1移動(dòng)棋子到這個(gè)數(shù)字上的可能情況總數(shù).

因?yàn)锳若勝4局、3局、2局，A都先勝4局，故A勝；若A只勝1局，或全輸，B才能夠獲勝.

因此，對(duì)應(yīng)第五行上的前3個(gè)數(shù)字1，4，6就是A獲勝的所有可能情況；而第五行后兩個(gè)數(shù)字5，1則是B獲勝的所有可能情況.于是A、B獲勝的可能機(jī)會(huì)之比應(yīng)為：（1＋4＋6）∶（1＋4）＝11∶5.這與上面費(fèi)馬的結(jié)果完全相同.

到此，梅累的得分問題，便徹底解決.

若用排列、組合符號(hào)表示，那么上述結(jié)果可以表示為：

比較兩人的思路和解法，雖然后者思路要復(fù)雜一些，但是利用排列組合，可以將以上問題的解決，推廣到一般情況.例如，A、B二人各需再勝m局、n局，那么，終局的棋子應(yīng)該落在第m＋n＋！行上，且二人獲勝機(jī)會(huì)之比為：

由此，可以引出排列、組合的課題.然后即可進(jìn)入概率的正題.這樣從數(shù)學(xué)事件和故事開始，可以引起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

若對(duì)于初中學(xué)生講，則不必一次講完，先講個(gè)故事的大概.只作為引子，總是可以的.目的在于引起學(xué)生求知欲望.

2 數(shù)學(xué)與文藝結(jié)合

數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)詩歌、數(shù)學(xué)圖畫講起.例如，從孫子問題和孫子歌講起，引導(dǎo)出同余和同余式.又例如，從哥斯尼堡的七橋圖畫，引導(dǎo)圖論的意義和有關(guān)知識(shí).

例如，可以引唐代詩人王之渙“登鸛雀樓”詩句“欲窮千里目，更上一層樓”發(fā)問？更上一層樓，就能看到千里之外的景色嗎？——不能.那么“欲窮千里目，須上幾層樓”呢？這就變成一個(gè)有趣數(shù)學(xué)問題.可以引出勾股定理、幾何圓的有關(guān)知識(shí)和求解二次方程等數(shù)學(xué)知識(shí).也可以引導(dǎo)學(xué)生自己來思考和解決；或者師生共同探討解決.

圖1－1

首先將實(shí)際問題抽象化.把地球抽象成一個(gè)球，而將高樓和人的視線所在的地球截面假設(shè)為一個(gè)圓.如圖1－1所示，高樓為AB，O為地球球心，人的視線為AC.連接OC，構(gòu)成直角三角形ACO.再設(shè)地球半徑為R＝6370km，樓高為x，依據(jù)勾股定理，便有關(guān)系式：AC2＋OC2＝AO2即 5002＋R2＝（R＋x）2，或x2＋2Rx－5002＝0.將R＝6370代入上式，得x2＋12740x－250000＝0.這是一元二次方程，據(jù)求根公式，便求得其解為：x≈16（km）.假如每層樓高度為4m，那么，該樓就有4900層.按照這位先生的計(jì)算，那么，王之渙的這首詩的后兩句，就要改成“欲窮千里目，須上四千九百層樓”，另外還要加注解：“假設(shè)每層樓高4m”.

3 數(shù)學(xué)與生活結(jié)合

數(shù)學(xué)，從生活中的實(shí)際問題講起.小學(xué)生識(shí)數(shù)教育，可以從民間諺語“凡事要作到心中有數(shù)”說起.認(rèn)識(shí)數(shù)字“3”，可以從《三字經(jīng)》中：天地人“三才”，日月星“三星”等說起.

講概率，從機(jī)會(huì)說起.舉出學(xué)生生活中的關(guān)于投擲硬幣、擲骰子和彩票中獎(jiǎng)等例子.和學(xué)生一同探討和分析研究.然后再上升到一般理論.

幾何作圖，可以與幾何商標(biāo)圖形進(jìn)行聯(lián)系.要學(xué)生舉出他見到的集合圖形商標(biāo)的例子.舉出典型的著名商標(biāo)，來加以討論，以此來引出幾何作圖的意義和作法.例如經(jīng)常見到的下述幾何商標(biāo)圖形，不加說明，學(xué)生都能說出它們的商標(biāo)名稱.

面對(duì)這些幾何圖形商標(biāo)，可以問學(xué)生，這些幾何商標(biāo)是什么幾何圖形？是如何制作的？有什么特點(diǎn)？有什么文化意義？由此，可以說明幾何作圖的意義和基本幾何作圖，幾何作圖規(guī)范作法.進(jìn)一步，還可以引導(dǎo)有興趣的學(xué)生進(jìn)行幾何圖形商標(biāo)設(shè)計(jì).例如，可以要學(xué)生為班級(jí)設(shè)計(jì)一個(gè)用幾何圖形表示的班徽.

4 數(shù)學(xué)與問題解決結(jié)合

數(shù)學(xué)，從問題解決的奇思妙想講起.例如，不等式，可以從用等式“夾逼”出不等式的奇思妙想，來引起學(xué)生興趣.關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)，歷史上的趣題很多.例如，可以從帕斯卡、費(fèi)馬解決“得分問題”，哈代解決“色盲遺傳”的經(jīng)典問題，引起學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的興趣和驚喜.

我們來看看哈代是如何解決色盲這個(gè)難題的.

在20世紀(jì)之初，歐洲人發(fā)現(xiàn)人的色盲是能夠遺傳的.于是，有人提出懷疑：因?yàn)樯みz傳，是不是有一天全人類都會(huì)成為色盲呢？這可是個(gè)大問題.色盲雖然不是嚴(yán)重疾病，但是如果一個(gè)人是色盲，那么他就不能從事許多種職業(yè).所以誰也不愿是色盲.不過，這是個(gè)極其困難的問題.要判斷人的色盲遺傳的可能究竟有多么大，會(huì)不會(huì)遺傳給全人類，按照當(dāng)時(shí)的科學(xué)水平，是不可能解決的，因?yàn)槿说难劬κ侨松眢w上最復(fù)雜的器官；同時(shí)，遺傳性牽涉到遺傳基因，而此時(shí)基因尚不知為何物.色盲的遺傳性無從研究.那怎么辦呢？人們把這個(gè)棘手的問題提到了英國著名代數(shù)學(xué)家哈代（1977－1947）面前，請(qǐng)他用數(shù)學(xué)方法來解決.哈代是個(gè)純粹數(shù)學(xué)家，從不搞實(shí)際應(yīng)用數(shù)學(xué)問題.而這次卻破例答應(yīng)試試看.他首先了解了關(guān)于人類的男女性別的知識(shí)：男女性別是由于本身的染色體不同決定的，男女都有23對(duì)染色體，其中有一對(duì)決定性別的染色體.這性別染色體，男性為“X，Y”，女性則是“X，X”.其次又對(duì)色盲遺傳的情況，進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查發(fā)現(xiàn)了人類色盲的遺傳性有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

1.男女色盲都有；

2.但是女性色盲比男性色盲比例小得多；

3.如果母親是色盲，那么所剩生的子女中，男性肯定是色盲，而女性則可能色盲，也可能不色盲.

根據(jù)以上實(shí)際情況，他進(jìn)行分析后得出初步結(jié)論是：

第一，由于男女色盲都有，所以色盲肯定是性染色體中的“X”出了問題，即有缺陷的染色體“X”（不妨記為“X－”）是色盲的元兇.因?yàn)槿绻侨旧wY缺陷的原因，那么女性是不會(huì)有色盲的.

第二，為什么女性色盲比男性色盲少呢？——一定是因?yàn)榕杂袃蓚€(gè)染色體“X，X”，如果其中一個(gè)有缺陷，另一個(gè)正常，它可以不色盲.因此，人只要有一個(gè)正常的染色體X，就不色盲.

于是，男人可以分為兩類：F（正常）、S（色盲）；女人分為三類：Z（正常）、C（次正常）和K（色盲）.

為了使問題簡(jiǎn)化，我們可以作如下合理假設(shè)：

第一，在兩類男子和三類女子之間的配對(duì)是隨機(jī)的；

第二，異常染色體（X－）在男女人體中的比例相同，設(shè)為p（q＝1－p）；

第三，父母與子女兩代人中的男女人數(shù)之比為1：1.

在這些假設(shè)下，父代男、女中的色盲比例分別為（p＋p2）／2.之所以被2除，因?yàn)槟信几髦徽伎側(cè)丝谝话?

于是，父代中父母配對(duì)有以下六類：

（1）（F，Z）—— 父母均無色盲；

（2）（F，C）—— 父親正常，母親次正常；

（3）（F，K）—— 父親正常，母親色盲；

（4）（S，Z）—— 父親色盲，母親正常；

（5）（S，C）—— 父親色盲，母親次正常；

（6）（S，K）—— 父母親均色盲.

以下來分析各類夫婦的后代子女中色盲所占比例.

第一類，顯然子女中沒有色盲.

第二類夫婦（F，C）的子女情況如下表：

四種情況子女染色體配對(duì)中，僅有一類是色盲，占子女人數(shù)的1／4.故在子代總?cè)丝谥械谋壤秊?pq2／4＝pq2／2.

依次計(jì)算其他四類夫婦子女中色盲所占比例，分別為p2q／2、0、p2q和p3.

注意到p＋q＝1，合起來，子代中色盲所占的比例為：

到此.我們驚訝地發(fā)現(xiàn)：原來子代中的色盲比例，與父母那一代色盲比例完全一樣，沒有升高的跡象.于是大家都松了一口氣！大家不必?fù)?dān)心因?yàn)檫z傳原因人類全都成為色盲.這是絕對(duì)不會(huì)的.

數(shù)學(xué)家用其數(shù)學(xué)智慧和數(shù)學(xué)方法，徹底解決了這個(gè)大難題.數(shù)學(xué)的力量真夠神奇！

文化數(shù)學(xué)的建設(shè)，是一個(gè)巨大、系統(tǒng)工程.以上只是窺豹之一斑.但只要我們努力去想，努力去做，堅(jiān)持不懈，從低年級(jí)數(shù)學(xué)課程做起，從小學(xué)一年級(jí)數(shù)學(xué)做起，一步步，積少成多，把學(xué)校數(shù)學(xué)課程進(jìn)行文化包裝，相信是一定會(huì)成功的.