非等時距Verhulst修正模型及其在直升機(jī)故障率預(yù)測中的應(yīng)用

張宏斌，曹學(xué)峰，孫世霞，王進(jìn)才

(陸軍航空兵學(xué)院航電和兵器工程系，北京 101114)

0 引言

可靠性、維修性定量要求是影響裝備可靠性、維修性的關(guān)鍵因素之一，它直接關(guān)系到系統(tǒng)的效能和全壽命周期費用的優(yōu)劣［1］。因此，對于新機(jī)可靠性研究而言，可靠性指標(biāo)定量的確定具有重要意義。

直升機(jī)累計故障率是表征直升機(jī)可靠性的一個重要指標(biāo)。累計故障率的大小直接反映了直升機(jī)可靠性的高低，可以為維修計劃、訓(xùn)練保障、器材供應(yīng)等裝備管理工作提供參考依據(jù)。但是，在目前直升機(jī)可靠性研究工作中，尤其是新裝備部隊的機(jī)型，其可靠性數(shù)據(jù)不易獲得，且數(shù)據(jù)量極少。同時，影響直升機(jī)累計故障率的因素眾多，各因素間的關(guān)系也無法確定。由此造成了新型直升機(jī)累計故障率預(yù)測過程中小樣本、貧信息的問題。

灰色系統(tǒng)理論［2］是由我國學(xué)者鄧聚龍教授于1982年創(chuàng)立的一門學(xué)科，該理論以“小樣本、貧信息”不確定系統(tǒng)為研究對象，通過將灰色信息轉(zhuǎn)化為白色信息提取有價值的數(shù)據(jù)，實現(xiàn)對系統(tǒng)的正確認(rèn)知。隨著灰色理論的不斷發(fā)展，灰色理論被廣泛地應(yīng)用于產(chǎn)品壽命預(yù)測［3］、故障間隔時間預(yù)測［4］等工作中。同時，隨著灰色理論應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)大，一些新的問題也隨之產(chǎn)生，特別是針對非等距問題［5－7］，已經(jīng)有多位學(xué)者進(jìn)行了研究，并取得了一定的成果。

但是，直升機(jī)累計故障率預(yù)測具有其自身特點:1)故障率分布不同于GM(1，1)模型曲線;2)故障間隔時間不等，且跨度較大，而GM(1，1)模型在長期預(yù)測情況下誤差較大［8］;3)隨著故障間隔時間的增長，累計故障率終值將會趨近于1，而GM(1，1)模型終值是趨于發(fā)散的。

綜上，本文針對直升機(jī)累計故障率預(yù)測特點及灰色理論應(yīng)用中出現(xiàn)的問題，提出了直升機(jī)累計故障率預(yù)測非等距Verhulst修正模型。首先對Verhulst模型原始數(shù)據(jù)進(jìn)行等距處理，然后根據(jù)預(yù)測結(jié)果為模型添加預(yù)測誤差修正項，從而實現(xiàn)對直升機(jī)累計故障率的準(zhǔn)確預(yù)測。

1 Verhulst模型原型

Verhulst模型具有如下特點:

1)要求原始數(shù)據(jù)為“S”型;

2)要求原始數(shù)據(jù)是等間隔的;

3)預(yù)測結(jié)果最終趨于一個恒值。

Verhulst模型的表達(dá)式為:

式中:a—常數(shù)，代表發(fā)展系數(shù);b—常數(shù)，代表灰色作用量。

模型的解為:

式中:x(0)(t1)—x(1)(tn)的初始值;t1—初始時刻。

由式(2)可見，Verhulst模型的解x(1)(tn)隨時間tn變化呈“S”型，在開始端x(1)(tn)由初值x(0)(t1)隨時間tn增長而緩慢增長，中間段增長較快，在末端隨著tn→+∞，x(1)(tn)，將會達(dá)到一個恒定值——灰色發(fā)展系數(shù):a/b。具體如圖1所示。

圖1 Verhulst模型曲線

該曲線與直升機(jī)累計故障率曲線相近。因此，可以應(yīng)用Verhulst模型進(jìn)行直升機(jī)累計故障率預(yù)測。但是，由于直升機(jī)累計故障率統(tǒng)計特點及Verhulst模型對原始數(shù)據(jù)的要求，需要對Verhulst模型進(jìn)行改進(jìn)才能實現(xiàn)對直升機(jī)累計故障率的準(zhǔn)確預(yù)測。

2 非等距Verhulst修正模型

針對Verhulst模型在非等距預(yù)測中的應(yīng)用問題已經(jīng)有多位學(xué)者進(jìn)行了研究，如:偶昌寶等［9］通過在區(qū)間上求積分對灰色背景值求取方法改進(jìn)實現(xiàn)了對非等時距沉降量的預(yù)測;胡威等［10］則通過增加系數(shù)項對灰色背景值求取進(jìn)行改進(jìn)，對未來網(wǎng)絡(luò)安全形勢進(jìn)行了預(yù)測;鄧成發(fā)等［11］通過增加時間影響因子實現(xiàn)了對面板堆石壩沉降的預(yù)測。但是，上述方法在應(yīng)用過程中需要經(jīng)過大量計算，且模型比較復(fù)雜。因此，本文提出了一種對原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行等距化處理，然后通過誤差修正進(jìn)行直升機(jī)累計故障率預(yù)測的非等時距Verhulst修正模型。

2.1 非等時距原始數(shù)據(jù)序列等距處理

設(shè)t1，t2，…tn為直升機(jī)故障間隔時間序列，記f(1)(ti)，i=1，2，…，n為其對應(yīng)的直升機(jī)累計故障率觀測序列，且ti+1－ti≠ti+2－ti+1，i=1，2…n?？梢?，直升機(jī)累計故障率序列為非等時距序列。

下面對原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行等距處理。

設(shè)時間序列平均間隔值為:

設(shè)αi為時間序列間隔權(quán)重，則有:

時間序列變?yōu)?

根據(jù)時間序列間隔權(quán)重對對應(yīng)的直升機(jī)累計故障率觀測序列進(jìn)行等距處理:

因為直升機(jī)累計故障率原始數(shù)據(jù)序列曲線與Verhulst模型曲線相近，即已經(jīng)符合“S”型，因此按照Verhulst模型建模方法，取原始數(shù)據(jù)序列為:f(1)(ti)，i=1，2，…n。

其1－IAGO序列為f(0)(ti):

其灰色背景值:

應(yīng)用最小二乘法求取非等時距Verhulst模型參數(shù)序列:

式中:a—白化系數(shù)(發(fā)展系數(shù));b—灰色作用量。

且構(gòu)造:

通過對非等時距Verhulst模型求解可得:

2.2 誤差修正項的確定

由式(12)可見，隨著故障間隔時間tx增長，非等時距Verhulst模型終值趨近于灰色發(fā)展系數(shù):a/b，而直升機(jī)累計故障率終值趨近于1，這就意味著a/b將直接影響到非等時距Verhulst模型長期預(yù)測的精度，且最終誤差為:1－a/b。為此，需要對非等時距Verhulst模型進(jìn)行修正。

任何預(yù)測模型在短期預(yù)測內(nèi)誤差一般較小，隨時間不斷增長，預(yù)測誤差也將不斷增大，因此本文以時間為誤差修正系數(shù)因子構(gòu)造非等時距Verhulst模型預(yù)測誤差修正系數(shù)f′。

即:

式中:F(tx)—故障間隔時間tx的函數(shù)。

且F(tx)∈［0，1］，即在時間序列最初點處修正誤差為0，而在故障間隔時間趨于無窮大時修正誤差達(dá)到最大值1－a/b。

按上述要求構(gòu)造F(tx)有:

則修正后的非等時距Verhulst模型解為:

3 實例

表1中的數(shù)據(jù)是從參考文獻(xiàn)［12］中提取的某型直升機(jī)累計故障率數(shù)據(jù)。

表1 某型直升機(jī)累計故障率數(shù)據(jù)

由表1可見，某型直升機(jī)故障間隔時間為非等時距序列。且其累計故障率曲線與Verhulst曲線相近。因此，應(yīng)用本文所提出的方法進(jìn)行故障率預(yù)測。

由式(4)可得平均故障間隔時間為:

按式(5)、式(6)對原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行等距處理后，建立非等時距Verhulst模型并取前5個數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行建模及預(yù)測。

可求得模型參數(shù):

a= －1.0425，b= －1.1138。

則:a/b=0.94。

由式(13)可得誤差修正系數(shù)為:

非等時距Verhulst模型及非等時距Verhulst修正模型對原始數(shù)據(jù)序列擬合、預(yù)測結(jié)果見表2，擬合比較曲線如圖2所示。

表2 非等時距Verhulst模型及非等時距Verhulst修正模型預(yù)測結(jié)果比較

圖2 非等時距Verhulst模型及非等時距Verhulst修正模型擬合曲線比較

由表2數(shù)據(jù)可見，非等時距Verhulst模型平均預(yù)測精度達(dá)到了93.69%，非等時距Verhulst修正模型平均預(yù)測精度達(dá)到了94.1%，精度相差不多。但是在長期預(yù)測過程中，例如故障間隔時間為1284.8小時和1515.43小時時，非等時距Verhulst模型預(yù)測精度為92.78%，而非等時距Verhulst修正模型預(yù)測精度為:98.75%，要高于非等時距Verhulst模型。同時，當(dāng)故障間隔時間進(jìn)一步增長，直升機(jī)累計故障率將趨近于1，而非等時距Verhulst模型預(yù)測精度勢必進(jìn)一步降低。

4 結(jié)論

1)非等時距Verhulst修正模型通過對原始數(shù)據(jù)序列的時間序列求取平均值，并以此確定等時距處理時的權(quán)重，實現(xiàn)了Verhulst模型在非等時距預(yù)測中的應(yīng)用。

2)根據(jù)Verhulst模型終值趨于灰色發(fā)展系數(shù)，而直升機(jī)故障率終值趨于1的特點，通過對非等時距Verhulst模型添加預(yù)測誤差修正項，提高了模型預(yù)測精度，解決了模型終值趨于灰色發(fā)展系數(shù)的局限性，對于中長期預(yù)測具有重要的意義。

3)通過本文實例可見，本文所提方法具有結(jié)構(gòu)簡單，初始數(shù)據(jù)易于處理，預(yù)測值無需還原計算，中長期預(yù)測精度較高等特點。該方法還可應(yīng)用于其他具有累計故障率相似分布形式的裝備、產(chǎn)品累計故障率預(yù)測中，為“小子樣、貧信息”系統(tǒng)累計故障率預(yù)測提供了一種新的方法。

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