利用環(huán)分解和分圓類的差集偶構(gòu)造

林麗英，鄭鷺亮，張勝元

（1．福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建福州350007；2．福建信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用語言系，福建福州350007；3．福建醫(yī)科大學(xué)基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院，福建福州350001）

利用環(huán)分解和分圓類的差集偶構(gòu)造

林麗英1，2，鄭鷺亮3，張勝元1

（1．福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建福州350007；2．福建信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用語言系，福建福州350007；3．福建醫(yī)科大學(xué)基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院，福建福州350001）

基于環(huán)分解并結(jié)合分圓類方法，構(gòu)造兩類參數(shù)為（pq，q，pkf，kf，kf）（q＝ef＋1為素?cái)?shù)冪）和的差集偶，推廣了李建周等的研究結(jié)果．

差集偶；二進(jìn)序列偶；分圓類；環(huán)分解

在信號(hào)設(shè)計(jì)領(lǐng)域中，研究者成功地設(shè)計(jì)了許多類具有循環(huán)自相關(guān)和互相關(guān)特性地陣列，同時(shí)又具有良好循環(huán)自相關(guān)特性最佳離散信號(hào)陣列、陣列族，而這些陣列、陣列族往往與一些區(qū)組設(shè)計(jì)具有等價(jià)關(guān)系．趙曉群等［1］提出一類新的最佳信號(hào)——最佳二進(jìn)陣列偶．為了給基于偶的最佳信號(hào)設(shè)計(jì)提供有效的數(shù)學(xué)工具，許成謙［2］提出了一類新的區(qū)組設(shè)計(jì)——差集偶，并證明了最佳二進(jìn)陣列偶與一類特殊的差集偶是等價(jià)的，為應(yīng)用差集偶這種新的區(qū)組設(shè)計(jì)方法研究最佳二進(jìn)陣列偶提供了理論依據(jù)．基于差集偶理論設(shè)計(jì)出的新擴(kuò)頻通信地址碼，將使擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的設(shè)計(jì)有更廣泛的地址碼選擇范圍．基于差集偶的研究背景，構(gòu)造具有一定參數(shù)的差集偶就很有必要 ．黃丹蕓［3］利用pq分圓法構(gòu)造了差集偶；李建周等［4］基于分圓類方法給出差集偶的構(gòu)造．本文利用分圓類并結(jié)合環(huán)分解的方法給出兩類差集偶的構(gòu)造，推廣了文［5］的結(jié)果．

1 定義及性質(zhì)

定義1［2］設(shè)Zn＝｛0，1，…，n－1｝是模n剩余類加群．U和V是Zn中的兩個(gè)子集，｜U｜＝k1，｜V｜＝k2，｜U∩V｜＝e．

若Zn中的任意非零元在差表｛u－v｜u≠v，u∈U，v∈V｝中恰好出現(xiàn)l次，則稱（U，V）為Zn上的（n，k1，k2，e，l）的差集偶（difference set pairs），記作DSP（n，k1，k2，e，l）．

（U，V）構(gòu)成DSP（n，k1，k2，e，l）等價(jià)于對(duì)任意非零元r∈Zn，方程x－y＝r（mod n）恰有l(wèi)個(gè)解（x，y），其中x∈U，y∈V．

顯然，若存在DSP（n，k1，k2，e，l），則以下必要條件

成立．

例1 在Z5中，U＝｛0，1｝，V＝｛2，4｝構(gòu)成DSP（5，2，2，0，1）．

定義2［5］設(shè)q＝ef＋1是一個(gè)奇素?cái)?shù)，F(xiàn)q為q階有限域．F＊q＝Fq／｛0｝．又設(shè)ω為Fq的本原元，ε＝ωe．令

定義3［5］設(shè)q＝ef＋1是一個(gè)奇素?cái)?shù)，對(duì)0≤i，j≤e－1，令

或等價(jià)于

（i，j）e稱為e階分圓數(shù)（cyclotomic number）．當(dāng)無需指明e時(shí)，也常將（i，j）e簡(jiǎn)記為（i，j）．

引理1［5］設(shè)g∈Hek，則方程

的解的個(gè)數(shù)為（i－k，j－k）．

引理2［5］分圓數(shù)有如下5點(diǎn)性質(zhì)：

1）（i′，j′）＝（i，j），其中i′≡i（mod e），j′≡j（mod e）；

2）（i，j）＝（e－i，j－i）；

定義4［2］設(shè)Zn＝｛0，1，…，n－1｝是模n剩余類加群．U＝｛u1，u2，…，uk｝是Zn的k元子集，則U的平移、采樣和伴隨分別為

1）U＋t＝｛u1＋t，u2＋t，…，uk＋t｝；

2）qU＝｛qu1，qu2，…，quk｝，（q，v）＝1；

3）U＊＝｛n－u1，n－u2，…，n－uk｝．

引理3［2］設(shè)Zn＝｛0，1，…，n－1｝是模n剩余類加群，（U，W）是Zn上的一個(gè)DSP（n，k1，k2，e，l），則有

1）（U＋t，V＋t），（qU，qW）為Zn上的一個(gè)DSP（n，k1，k2，e，l），（q，v）＝1；

2）（ˉU，W）為Zn上的一個(gè)DSP（n，n－k1，k2，k2－e，k2－l）；

3）（U，ˉW）為Zn上的一個(gè)DSP（n，k1，k2，k1－e，k1－l）；

4）（ˉU，ˉW）為Zn上的一個(gè)DSP（n，n－k1，n－k2，n－k1－k2＋e，n－k1－k2＋l）．

2 新的差集偶的構(gòu)造

定理1 設(shè)q＝ef＋1為素?cái)?shù)冪，F(xiàn)q為q階有限域．F＊q＝Fq／｛0｝．又設(shè)ω為Fq的本原元，Hei為Fq的e階分圓類，p為整數(shù)，且（p，q）＝1．

定義：

則（U，V）構(gòu)成Zp×Zq上的一個(gè)DSP（pq，q，pkf，kf，kf）．

證明 容易驗(yàn)證｜U｜＝ef＋1＝q，｜V｜＝pkf，｜U∩V｜＝kf．

由（p，q）＝1及中國剩余定理［6］可得Zpq?Zp×Zq．

下證（U，V）構(gòu)成Zp×Zq上的一個(gè)DSP（pq，q，pkf，kf，kf）．

對(duì)于任意g∈Zp×Zq／（0，0），要證（U，V）構(gòu)成Zp×Zq上的一個(gè)DSP（pq，q，pkf，kf，kf），只需證方程x＋g≡y（mod pq）恰有kf個(gè)解對(duì)（x，y）∈（U，V），相當(dāng)于只需證明Δ＝｜（U＋g）∩V｜＝kf即可．記

因此有

其中：0≤x≤p－1；1≤y≤p；0≤z≤k－1．

情形1 當(dāng)g∈｛a｝×Hek（0≤a≤p－1，0≤k≤e－1）時(shí)，有

?。┊?dāng)jz＝k時(shí)，由于在Δ0，x中除了｜（0，0）＋g∩｛a｝×Hek｜＝1（即Δ0，x＝1）之外，其余Δ0，x＝0（x≠a），因此有

ⅱ）當(dāng)jz≠k時(shí)，由于所有Δ0，x＝0，因此有

情形2 當(dāng)g＝（a，0）（0≤a≤p－1）時(shí)，由于所有Δ0，x＝0，而在Δy，z中，除｜｛l｝×Hei＋g∩｛l＋a｝× Hei｜＝f（即Δ（l＋a＋1）i＝f），其余Δy，z＝0．因此有

綜上可得

所以，對(duì)于g∈Zp×Zq／（0，0），方程x＋g≡y（mod pq）的解的個(gè)數(shù)恰有kf個(gè)解對(duì)（x，y）∈（U，V）從而（U，V）構(gòu)成Zp×Zq上的一個(gè)DSP（pq，p，pkf，kf，kf）．

例2 當(dāng)e＝6，p＝2，k＝3，f＝1時(shí)，有

構(gòu)成Z2×Z7中的DSP（14，7，6，3，3）．

定理2 對(duì)任意正整數(shù)k，e，當(dāng)k≥e且e｜k（k＋1）時(shí)，存在

證明 因e｜k（k＋1），而gcd（e，k＋1）＝1，則可設(shè)e＝pq，且k＝pp1，k＋1＝qq1，其中g(shù)cd（e，k）＝p，gcd（e，k＋1）＝q．則有p≤q1，p1≥q．如若不然，即p＞q1，k＋1＝qq1＜qp＝e，與假設(shè)條件k≥e矛盾．同理可證

以下在Zp1q1中構(gòu)造差集偶．

由gcd（p1，q1）＝1及中國剩余定理［6］，可得環(huán)分解Zp1q1?Zp1×Zq1．從而將Zp1q1轉(zhuǎn)化為在Zp1×Zq1中構(gòu)造差集偶．

令U＝Zp1×｛1，2，…，p｝，V＝｛1，2，…，q｝×Zq1，容易計(jì)算｜U∩V｜＝pq＝e．

要證在Zp1q1中（U，V）構(gòu)成（p1q1，k，k＋1，e，e）的差集偶，只需證?a∈Zp1q1，方程a≡x－y恰有e個(gè)解（x，y），x∈U，y∈N．

?a∈Zp1q1，a＝（a1，a2），a1∈Zp1，a2∈Zp2，令xi，j＝（i＋a1，j），yi，j＝（i，j－a2），i＝1，2，…，q；j＝1，2，…，p．則xi，j∈U，yi，j∈V，且（xi，j，yi，j）都滿足方程x－y≡a．即對(duì)?a∈Zp1q1方程x－y≡a的解至少有e個(gè)．

又由于k（k＋1）＝ep1q1，于是對(duì)?a∈Zp1q1方程x－y≡a的解恰好有e個(gè)．

證畢．

例3 當(dāng)e＝2，k＝5時(shí)，定理2中的p＝1，q＝2，p1＝5，q1＝3，則

構(gòu)成Z3×Z5中的DSP｛15，5，6，2，2）．

［1］ 趙曉群，王仲文，賈世樓．最佳二進(jìn)陣列偶理論研究［J］．電子學(xué)報(bào)，1999，27（1）：34－37．

［2］ 許成謙．差集偶與最佳二進(jìn)陣列偶的組合研究方法［J］．電子學(xué)報(bào)，2001，29（1）：87－89．

［3］ 黃丹蕓．利用模pq分圓方法構(gòu)造差集偶與最佳二進(jìn)陣列偶［J］．福建師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，24（6）：9－12．

［4］ 李建周，柯品惠，張勝元．基于分圓類方法的差集偶構(gòu)造［J］．福建師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，25（4）：1－4．

［5］ 沈?yàn)M合設(shè)計(jì)理論［M］．上海：上海交通大學(xué)出版社，2008：108－110．

［6］ STINSON D R．密碼學(xué)原理與實(shí)踐［M］．2版．馮登國，譯．北京：電子工業(yè)出版社，2003：137－140．

Constructions for Difference Set Pairs Based on Ring Decomposition

LIN Li－ying1，ZHENG Lu－liang2，ZHANG Sheng－yuan3

（1．School of Mathematics and Computer Science，F(xiàn)ujian Normal University，F(xiàn)uzhou 35007，China；2．Department of Applied Language，F(xiàn)ujian Polytechnic of Information Technology，F(xiàn)uzhou 350001，China；3．School of Basic Medical Science，F(xiàn)ujian Medical University，F(xiàn)uzhou 350007，China）

Two types of difference set pairs are constructed by means of ring decomposition and cyclotomic classes．The obtained difference set pairs have parameters as follows：（pq，q，pkf，kf，kf）（q＝ef＋1is prime power）andk＋1，e，e）．The result improves the one made by Li Jian－zhou et al．

difference set pair；binary sequence pair；cyclotomic class；ring decomposition

O 157．2

A

（責(zé)任編輯：錢筠 英文審校：黃心中）

1000－5013（2012）04－0456－04

2011－12－02

林麗英（1979－），女，講師，主要從事組合數(shù)學(xué)和密碼學(xué)方向的研究．E－mail：yingzilly＠163．com．

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11026008）