形狀記憶合金超彈性分段線性模型及其阻尼特性

鄭繼周，張 艷

(1.山東農業(yè)大學 機電學院，山東 泰安 271018;2.山東農業(yè)大學 信息學院，山東 泰安 271018)

作為一種重要的功能材料，形狀記憶合金(Shape memory alloy，SMA)最基本的宏觀響應特性之一是在不同溫度和應力條件下的相變超彈性。相變超彈性是指處于奧氏體狀態(tài)的SMA，當加載應力超過彈性極限后，繼續(xù)加載將發(fā)生由應力誘發(fā)的馬氏體相變;當應力去除后，馬氏體部分先彈性恢復，然后向奧氏體逆相變，應變可完全恢復。在加卸載過程中，應力應變關系出現(xiàn)遲滯效應，使其具有較高的能量耗散能力。利用該特性，可以制作SMA耗能阻尼器，用于結構振動的被動控制。

在SMA超彈性遲滯環(huán)形成過程中，材料內部存在正/逆相變，應力、應變、溫度、馬氏體含量之間存在較強的非線性關系，使分析計算與工程應用極為困難。為解決這一困難，學者們提出了若干簡化計算模型。Lagoudas［1－2］對已有的多項式模型進行簡化，假設 SMA應力應變之間呈線性關系，提出多線性模型，并運用簡化模型對裝有SMA阻尼器的隔震結構進行地震反應分析。任文杰［3］在Lagoudas多線性一維本構模型基礎上，建立了基于頻率效應的 SMA線性本構模型。Thomson［4］構造了具有彈塑性行為的超彈性分段線性化模型;秦惠增［5］從Tanaka本構模型出發(fā)，提出SMA超彈性應力應變線性化模型。Du［6］在Brinson模型基礎上建立了分段線性超彈性本構模型。

以現(xiàn)有線性化模型為基礎，考慮溫度、馬氏體含量等參量的影響，首先建立無相變、完全相變和不完全相變情況下SMA超彈性分段線性本構關系表達式，進而探討影響SMA耗能能力、損耗因子、等效剛度等特性的因素，并將SMA作為阻尼材料應用到經典的質量－彈簧－阻尼單自由度振動模型中，研究振幅、彈簧剛度等對系統(tǒng)隔振效果的影響。

1 SMA超彈性的分段線性化模型

如圖1所示，SMA超彈性的相變過程基本由6個階段構成:① 奧氏體彈性拉伸階段oda;② 奧氏體向馬氏體相變階段ab;③ 馬氏體彈性拉伸階段bb″;④馬氏體彈性卸載階段b″bc;⑤馬氏體向奧氏體逆相變階段cd;⑥奧氏體彈性卸載階段do。完全卸載后變形可以完全恢復。

圖1 SMA超彈性應力應變關系分段線性模型Fig.1 Piecewise linear constitutive relation for super-elasticity of SMA

設 εa、εb、εc、εd分別為 a、b、c、d 各點的應變，根據不同的相變情況，可把SMA的應力應變關系表述為如下分段線性化形式。

(1)無相變發(fā)生的情況(σ≤σAsS)。所加載荷不至于引起相變時，SMA處于完全奧氏體狀態(tài)，馬氏體含量為零。應力應變之間為線性關系，對應于oda直線段，其表達式為σ=EAε。其中，EA為奧氏體的彈性模量。

(2)完全相變的情況(σ＞σAfS)。完全加/卸載時，正/逆相變均完全進行，SMA的應力應變關系沿odabb″cdo路線變化，可分段表示為:

a、b、c、d 各點的應力和應變分別為:

其中，Ms為正相變開始溫度，As、Af分別為逆相變開始和結束溫度，CM、CA分別為正相變和逆相變時應力和溫度的等效轉換系數(shù)，σcsr、σcfr分別為相變開始和結束應力極限，εL為最大可恢復應變，σSfA為逆相變終了臨界應力，T為溫度。

(3)不完全相變的情況(σAsS＜σ＜σAfS)。不完全加載/完全卸載時，SMA的應力應變關系沿odab'c'do變化;若卸載尚未完成即重新加載，則應力應變關系沿odab'c'd'a'變化?？梢跃C合起來表示為:

正相變:

逆相變:

各段的彈性模量可根據兩端點的應力和應變得出。另外，εb'為SMA發(fā)生不完全正相變時卸載開始點的應變，而εd'為SMA發(fā)生不完全逆相變時加載開始點的應變，一般為已知值，故各量可求。

2 SMA的阻尼特性

圖2 SMA超彈性應力應變曲線示意圖Fig.2 Sketch of super-elasticity of SMA

不同循環(huán)條件下SMA材料整體剛度的變化可用其等效割線剛度來表示:其中，F(xiàn)max、Fmin、Δmax、Δmin分別為每個振動循環(huán)中的最大輸出力、最小輸出力、最大位移和最小位移。

3 數(shù)值仿真

為便于比較，采用文獻［9］中所列數(shù)據(表1)計算SMA(NiTi合金)的各個特性參數(shù)，并設SMA絲橫截面直徑為1.0 mm，有效長度為100 mm。

表1 SMA材料屬性Tab.1 Material properties of SMA

3.1 應變幅值對SMA特性參數(shù)的影響

考慮不完全加載/完全卸載與完全加/卸載的情況。SMA應力應變曲線以及特性參數(shù)隨應變幅值的變化如圖3所示(最大遲滯環(huán)對應于完全加/卸載)。

可見，隨著應變幅值的增加，應力應變曲線的加載屈服平臺幾乎不變(由于考慮了馬氏體體積分數(shù)的影響，不同應變幅值下平臺的斜率略有不同)，而卸載屈服平臺斜率減小，平臺略有下沉。另一方面，應變幅值增加使遲滯環(huán)寬度增大，因此遲滯環(huán)包圍的面積近似線性增大，這意味著每個振動循環(huán)所耗散的能量隨應變幅值的增加幾乎線性增加。需要注意的是，盡管耗能基本上線性增加，但損耗因子的變化并不是線性的:在應變幅值較小時損耗因子增加很快，當應變?yōu)?%時，損耗因子即可達到0.1;然而，應變達到一定值后損耗因子幾乎不再增加，這與加載過程中出現(xiàn)的硬化現(xiàn)象密切相關［10］。等效剛度有類似的變化規(guī)律:先迅速減小而后緩慢變化。

3.2 溫度對SMA特性參數(shù)的影響

根據前面給出的表達式可知，各點的應力與溫度密切相關，因此溫度對SMA力學性能應該也有影響。圖4給出了完全加/卸載條件下，SMA應力應變曲線以及特性參數(shù)隨溫度的變化情況。

可見，溫度對加/卸載屈服平臺的斜率沒有影響，其影響主要體現(xiàn)在屈服平臺的高度上。隨著溫度的升高，四個相變臨界應力都增加，屈服平臺上移，只是程度有所差異——加載屈服平臺抬高幅度較小，而卸載屈服平臺抬高幅度較大。這樣，隨著溫度的升高，遲滯環(huán)所包圍的面積逐漸減小，即每個振動循環(huán)所耗散的能量隨溫度升高而降低。另一方面，曲線上移意味著最大應變能增大，因此損耗因子隨溫度升高而減小。溫度對等效剛度的影響不大——盡管隨溫度升高等效剛度幾乎線性增加，但幅度變化較小，遠不如等效剛度隨應變幅值的變化那么劇烈。

4 應用

將SMA絲作為阻尼元件，與彈簧并聯(lián)，組成如圖5所示的單自由度振動系統(tǒng)，研究SMA對系統(tǒng)振動響應特性的影響規(guī)律。

圖5 簡諧激勵下的彈簧－SMA－質量系統(tǒng)Fig.5 Spring-SMA-mass system under harmonic excitation

考慮簡諧激勵情況，并假設位移響應是與激勵具有相同頻率的簡諧振動，即:

由于SMA本構關系的非線性，SMA絲的恢復力也是非線性的。如果精確表示，則圖示振動系統(tǒng)為一非線性動力學模型，求解將非常困難。利用上述分段線性模型，把SMA的非線性恢復力進行線性化處理，寫成復剛度的形式，則有:

把式(1)代入式(2)，可得穩(wěn)態(tài)位移響應:

其中，K=k+Ke為系統(tǒng)的總剛度。

考慮到相位差，則位移響應的幅值為:

由于η、Ke都是的函數(shù)(當振幅不同時，應變不同，η、Ke也不同)，因此用式(4)直接求解比較困難，此處只給出ω的解與的大致關系，如圖6所示。具有最大值，且此值與SMA的損耗因子和等效割線剛度均有關。此時

圖6 方程解的分布示意圖Fig.6 Solution of Eq.(4)

當恰好為系統(tǒng)的固有頻率，故系統(tǒng)處于共振狀態(tài)。

對于穩(wěn)態(tài)強迫振動，隔振效果可用傳遞率T－隔振前后同一物理量(力、位移、速度、加速度等)之比來表示，傳遞率越小，隔振效果越好?？紤]彈性力與阻尼力之間的相位差，可得傳遞到基礎的最大力幅值與激勵力幅值的比值，即共振時的力傳遞率:

對于給定的振幅(應變)，利用前面的分析，可以得到相應的等效剛度和損耗因子，代入(5)式即得此時的傳遞率。圖7給出了不同振幅時的力傳遞率。

圖7 不同振幅下的傳遞率Fig.7 Transmissibility of different strain amplitude

盡管振幅增大使損耗因子變大，但等效割線剛度降低得更多，從而使系統(tǒng)的傳遞率減小，隔振效果較好。另一方面，與SMA并聯(lián)的彈簧剛度(圖7所注)對傳遞率也有影響——系統(tǒng)的傳遞率隨彈簧剛度的增大而增大，該結論與文獻［11］的實驗結果是一致的。

5 結論

考慮相變過程中馬氏體體積分數(shù)的影響，對SMA本構關系進行簡化，建立了SMA超彈性分段線性本構模型。以此為基礎，定義了單位循環(huán)耗能、等效剛度、損耗因子等特性參數(shù)。通過數(shù)值計算研究了特性參數(shù)隨應變幅值、溫度等的變化規(guī)律。最后把SMA應用于常見的單自由度隔振模型，分析了影響其隔振性能的因素，結論如下:

(1)應變幅值和溫度都會影響SMA的耗能能力，進而影響其阻尼特性，但總體看來，應變幅值的影響要大于溫度的影響，應變幅值是影響SMA耗能能力的主要因素。為更好地發(fā)揮SMA的阻尼特性，實際應用時也要注意選擇其使用溫度。

(2)當SMA與彈簧并聯(lián)用于系統(tǒng)隔振時，彈簧剛度會對SMA的作用效果產生影響，彈簧剛度越小，隔振效果越好。具體原因以及是否存在最佳組合尚需作進一步分析。

(3)振幅對傳遞率有較大影響，振幅越大，傳遞率越小，即隔振效果越好。因此，SMA比較適用于低頻大振幅情況下的隔振設計。

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