基于調(diào)制隨機(jī)共振的微弱信號(hào)檢測研究

夏均忠，劉遠(yuǎn)宏，馬宗坡，冷永剛，安相璧

(1.軍事交通學(xué)院 汽車工程系，天津 300161;2.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)

隨機(jī)共振(Stochastic Resonance，SR)的概念是由Benzi等［1－2］在研究古氣象冰川演化問題時(shí)首次提出的。Fauve等［3］在Schmitt觸發(fā)器的實(shí)驗(yàn)中首次觀察到了SR現(xiàn)象，實(shí)驗(yàn)中觀察到了“共振”形狀的單峰曲線，增加輸入噪聲不僅不降低反而迅速增加輸出的信噪比。此后，McNamara等［4］在雙穩(wěn)態(tài)激光器中再次觀察到了SR現(xiàn)象，實(shí)驗(yàn)中，用聲頻信號(hào)調(diào)制激光模的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方向，噪聲的加入可以改變信號(hào)對(duì)系統(tǒng)的調(diào)制能力;固定信號(hào)強(qiáng)度，而使噪聲強(qiáng)度從小變大，可觀察到SR現(xiàn)象。這種由噪聲產(chǎn)生的積極效應(yīng)為強(qiáng)噪聲背景下微弱信號(hào)的檢測開創(chuàng)了新方法。

隨機(jī)共振是一種非線性現(xiàn)象，噪聲干擾下的信號(hào)作用于某一類非線性系統(tǒng)，信號(hào)和噪聲在非線性系統(tǒng)的協(xié)同作用下，會(huì)發(fā)生噪聲能量向信號(hào)能量的轉(zhuǎn)移，產(chǎn)生類似力學(xué)中人們熟知的共振輸出，從而提高信噪比達(dá)到識(shí)別弱信號(hào)的目的。傳統(tǒng)的時(shí)域、頻域或時(shí)頻分析方法在濾去噪聲的同時(shí)，信號(hào)也有所損失［5］;而隨機(jī)共振利用噪聲和信號(hào)的協(xié)同作用，當(dāng)噪聲強(qiáng)度從小到大逐漸增強(qiáng)時(shí)，輸出信噪比大幅度增強(qiáng)，且存在某一最佳輸入噪聲強(qiáng)度，使系統(tǒng)的輸出信噪比達(dá)到峰值。當(dāng)噪聲強(qiáng)度過高或過低時(shí)，輸出信噪比會(huì)顯著降低［6］。

由于隨機(jī)共振絕熱近似理論、本征值理論或線性響應(yīng)理論的研究對(duì)象必須是小參數(shù)對(duì)象，即輸入的信號(hào)幅度和頻率以及噪聲的強(qiáng)度都必須遠(yuǎn)小于1［7］。因此，當(dāng)輸入?yún)?shù)不為小參數(shù)(稱為大參數(shù))的時(shí)候，如強(qiáng)噪聲干擾的高頻工程信號(hào)等，在信號(hào)處理過程中，經(jīng)典隨機(jī)共振理論將失效而無法使用。如何應(yīng)用隨機(jī)共振理論或方法從強(qiáng)干擾噪聲中檢測出含有特征工況(如早期故障)的微弱信號(hào)?文獻(xiàn)［8－10］提出了二次采樣隨機(jī)共振(變尺度隨機(jī)共振)解決上述問題。本文深入研究非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振機(jī)理，提出調(diào)制隨機(jī)共振的方法解決上述問題。

1 雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振

實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振的三個(gè)基本要素為具有勢能壘的非線性系統(tǒng)，內(nèi)或外噪聲源和輸入信號(hào)。雙穩(wěn)系統(tǒng)是一種典型的非線性系統(tǒng)，在物理、化學(xué)等自然科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。具有雙勢阱性質(zhì)的朗之萬方程是描述雙穩(wěn)系統(tǒng)的典型模型［11］:

其中a、b為雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)，S(t)=Acos(2πf0t)為被測信號(hào)，A為信號(hào)幅值，f0為信號(hào)頻率。為白噪聲，D為噪聲強(qiáng)度，g(t)為均值為0，方差為1的白噪聲。Γ(t)滿足統(tǒng)計(jì)平均〈Γ(t)〉 =0，〈Γ(t)Γ(tτ)〉=2Dδ(τ)。雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振模型如圖1所示，x(t)為系統(tǒng)輸出信號(hào)，非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)用其勢函數(shù)表示。勢函數(shù)曲線如圖2所示。

圖1 雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振模型Fig.1 The model of stochastic resonance of bistable system

(1)A=0，Γ(t)=0時(shí)，給定初值 x0＞0或 x0＜0，當(dāng)t→∞時(shí)，x(t)將無限逼近勢阱;同時(shí)兩勢阱被一高度為ΔV=a2/4b的勢壘隔開。勢壘高度描述了從某一勢阱躍遷到另一勢阱所需克服的勢差。而當(dāng)x0=0時(shí)，系統(tǒng)輸出x(t)=0。

圖2 雙穩(wěn)系統(tǒng)勢函數(shù)曲線圖Fig.2 The curve of potential function of bistable system

(2)A=0，Γ(t)≠0時(shí)，x(t)在兩勢阱間按 Kramers躍遷率rk進(jìn)行躍遷切換［12］。rk取決于噪聲分布與強(qiáng)度D，計(jì)算式為:

其中S1(f)是由輸入信號(hào)引起的，它與輸入信號(hào)同頻;S2(f)是由噪聲引起的，它具有洛倫茲分布形式，即噪聲能量集中在低頻區(qū)［13］。發(fā)生隨機(jī)共振時(shí)，信號(hào)頻率處的譜峰處于噪聲能量集中的低頻區(qū)域，可以認(rèn)為慢變的弱周期信號(hào)在噪聲能量的驅(qū)動(dòng)下，能夠在兩勢阱之間以信號(hào)頻率做大幅度的來回躍遷運(yùn)動(dòng)，從而使系統(tǒng)輸出具有最佳信噪比，系統(tǒng)輸出功率譜在信號(hào)頻率f0處，會(huì)出現(xiàn)一峰值。

2 調(diào)制隨機(jī)共振

由上述可知，隨機(jī)共振理論成立的假設(shè)條件是要求輸入信號(hào)幅值、頻率以及噪聲強(qiáng)度必須限制在小參數(shù)范圍內(nèi)?，F(xiàn)研究對(duì)象為被噪聲湮沒的信號(hào)即微弱信號(hào)，如旋轉(zhuǎn)機(jī)械的早期故障信號(hào)。這類信號(hào)的特點(diǎn)是其具有較低的信噪比，常要求能夠在線、實(shí)時(shí)地提取故障特征信息。為了利用隨機(jī)共振實(shí)現(xiàn)微弱信號(hào)檢測，引入調(diào)制隨機(jī)共振。

其基本思想將被測信號(hào)用載波信號(hào)進(jìn)行調(diào)制后作為雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸入，調(diào)制后的低頻信號(hào)部分滿足小參數(shù)的隨機(jī)共振條件要求，因而能產(chǎn)生隨機(jī)共振。然后對(duì)系統(tǒng)輸出信號(hào)進(jìn)行解調(diào)處理，得到被測信號(hào)。調(diào)制隨機(jī)共振信號(hào)檢測原理如圖3所示，其中振蕩器是調(diào)制載波源，其輸出是頻率為fc可變的載波信號(hào):

輸入信號(hào)S(t)和高斯白噪聲Γ(t)被載波信號(hào)Vc(t)調(diào)制后的輸出信號(hào)Vm(t)為:

由文獻(xiàn)［14］可知，調(diào)制白噪聲Γ(t)cos(2πfct)仍為高斯白噪聲。令輸入信號(hào)S(t)經(jīng)調(diào)制后信號(hào)為Sm(t)，利用三角函數(shù)公式可得到:

記 Δf=f0－ fc，∑f=f0+fc，調(diào)節(jié) fc的大小改變 Δf，從而產(chǎn)生易在雙穩(wěn)系統(tǒng)中形成隨機(jī)共振的低頻信號(hào)Sm1(t)。

圖3 調(diào)制隨機(jī)共振信號(hào)檢測原理Fig.3 The signal detection method of modulated stochastic resonance

3 數(shù)值仿真分析

公式(1)中的各參數(shù)分別取值a=b=1，信號(hào)幅值A(chǔ)=0.3、頻率 f0=0.01 Hz，D=0.6。采用四階龍格—庫塔方法進(jìn)行數(shù)值求解，計(jì)算步長h=1/fs。采樣頻率fs=5 Hz時(shí)，h=0.2。雙穩(wěn)系統(tǒng)輸入與輸出信號(hào)的時(shí)域波形與功率譜如圖4所示。利用Welch功率譜估計(jì)方法計(jì)算功率譜［15］。輸出信號(hào)功率譜中信號(hào)頻率f0=0.01 Hz處出現(xiàn)了峰值，且譜峰值遠(yuǎn)大于輸入信號(hào)功率譜，即產(chǎn)生了隨機(jī)共振。

圖4 f0=0.01 Hz，fs=5 Hz時(shí)，系統(tǒng)輸入與輸出信號(hào)的時(shí)域波形與功率譜Fig.4 The bistable system input and output signals in time domain waveforms and power spectrum at f0=0.01 Hz，fs=5 Hz

信號(hào)頻率f0=50 Hz，采樣頻率fs=2 500 Hz，其他參數(shù)保持不變。未經(jīng)載波信號(hào)調(diào)制時(shí)，該較高頻率信號(hào)輸入雙穩(wěn)系統(tǒng)，其輸出信號(hào)的時(shí)域波形與功率譜如圖5所示。系統(tǒng)輸出功率譜信號(hào)頻率f0=50 Hz處的譜值較小，幾乎被噪聲淹沒。而采用載波信號(hào)調(diào)制后，系統(tǒng)輸出信號(hào)的時(shí)域波形與功率譜如圖6所示，其中調(diào)制頻率fc=49.99 Hz，fs=5 Hz。調(diào)制后雙穩(wěn)系統(tǒng)輸入信號(hào)包括頻率f0－fc=Δf=0.01 Hz和f0+fc=∑f=99.99 Hz，輸出信號(hào)的功率譜低頻段0.01 Hz(對(duì)應(yīng)的信號(hào)頻率f0=fc+Δf=50 Hz)處出現(xiàn)了譜峰，且譜峰值遠(yuǎn)大于信號(hào)未經(jīng)調(diào)制時(shí)的系統(tǒng)輸出功率譜50 Hz(信號(hào)頻率)處的譜值。輸出信號(hào)的功率譜高頻段99.99 Hz(圖中未表示)處不會(huì)出現(xiàn)譜峰，原因是調(diào)制后的雙穩(wěn)系統(tǒng)輸入信號(hào)頻率99.99 Hz不符合隨機(jī)共振發(fā)生的條件。因此，應(yīng)用調(diào)制隨機(jī)共振能夠有效檢測噪聲干擾下具有較高頻率的微弱特征信號(hào)。

4 工程應(yīng)用

4.1 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置由驅(qū)動(dòng)電機(jī)、壓電式加速度傳感器、聯(lián)軸器、軸編碼器、扭矩傳感器和負(fù)載等組成，如圖7所示。

圖7 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.7 The schematic diagram of experimental device

被測軸承為驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸出軸的支撐軸承，型號(hào)為SKF 6205，其尺寸參數(shù)見表1。應(yīng)用振動(dòng)分析法，通過布置在軸承座徑向載荷方向上的壓電式加速度傳感器拾取軸承的振動(dòng)信號(hào)，該信號(hào)經(jīng)過電荷放大器、抗混濾波器、數(shù)據(jù)采集卡，到達(dá)計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)總線，完成數(shù)據(jù)采集。驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速由軸編碼器測取，負(fù)載大小由扭矩傳感器獲取。

表1 SKF 6205軸承尺寸參數(shù)Tab.1 The SKF 6205 bearing parameters

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)采用內(nèi)圈出現(xiàn)點(diǎn)蝕故障軸承。轉(zhuǎn)速N為1 772 r/min，滾動(dòng)軸承內(nèi)圈點(diǎn)蝕故障特征頻率［16］為:

式中:f0為內(nèi)圈點(diǎn)蝕故障的特征頻率，α為接觸角。

采樣頻率為12 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為2 048，振動(dòng)信號(hào)局部時(shí)域波形和功率譜如圖8所示，其故障特征信息較弱。

圖8 振動(dòng)加速度信號(hào)Fig.8 The vibration acceleration signal

雙穩(wěn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)取值分別為 a=0.01、b=1，采用調(diào)制頻率fc=159.94 Hz的載波信號(hào)對(duì)采集的軸承內(nèi)圈點(diǎn)蝕故障特征信號(hào)進(jìn)行調(diào)制。載波調(diào)制后，信號(hào)中含有頻率成分f0－fc=Δf=0.02 Hz和f0+fc=∑f=319.90 Hz，輸入雙穩(wěn)系統(tǒng)，其輸出信號(hào)功率譜如圖9(b)所示。圖中頻率0.02 Hz處出現(xiàn)了譜峰，且譜峰值較大，說明發(fā)生了隨機(jī)共振現(xiàn)象。頻率0.02 Hz對(duì)應(yīng)調(diào)制前內(nèi)圈點(diǎn)蝕故障的特征頻率f0=fc－Δf=159.94+0.02=159.96 Hz，故障特征信號(hào)得到有效識(shí)別。輸出信號(hào)功率譜319.90 Hz(圖中未表示)處不會(huì)出現(xiàn)共振譜峰，因?yàn)樵撔盘?hào)頻率不滿足隨機(jī)共振發(fā)生的條件。

將采集的軸承內(nèi)圈點(diǎn)蝕故障特征信號(hào)直接輸入具有上述結(jié)構(gòu)參數(shù)的雙穩(wěn)系統(tǒng)，其輸出信號(hào)功率譜如圖9(a)所示。軸承內(nèi)圈點(diǎn)蝕故障特征頻率f0=159.96處，譜峰值很小，不能有效辨別。

圖9 輸出信號(hào)的功率譜Fig.9 Output signal power spectrum

5 結(jié)論

將隨機(jī)共振理論應(yīng)用到工程實(shí)際信號(hào)處理過程中時(shí)，常因待處理的信號(hào)不符合隨機(jī)共振發(fā)生的條件而受到限制。論文在研究典型非線性系統(tǒng)－雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振發(fā)生機(jī)理和條件要求的基礎(chǔ)上，引入頻率調(diào)制技術(shù)將系統(tǒng)輸入端的信號(hào)用載波信號(hào)調(diào)制，將調(diào)制后的信號(hào)作用于雙穩(wěn)系統(tǒng)。調(diào)制后系統(tǒng)輸入信號(hào)同時(shí)含有低頻和高頻成分，低頻信號(hào)滿足隨機(jī)共振發(fā)生的條件要求，經(jīng)雙穩(wěn)系統(tǒng)可以產(chǎn)生隨機(jī)共振，即調(diào)制隨機(jī)共振。數(shù)值仿真分析表明產(chǎn)生調(diào)制隨機(jī)共振時(shí)，系統(tǒng)輸出功率譜中對(duì)應(yīng)信號(hào)頻率處出現(xiàn)較大的譜峰，且譜峰值更突出、明顯而易于捕捉。驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸出端支撐軸承點(diǎn)蝕故障特征頻率的檢測進(jìn)一步驗(yàn)證了調(diào)制隨機(jī)共振在微弱周期信號(hào)檢測中的有效性。

［1］ Benzi R，Sutera A，Vulpiana A.The mechanism of stochastic resonance［J］.J.Phys.A，1981，14:453－457.

［2］ Benzi R，Parisi G，Sutera A，et al.Stochastic resonance in climatic change［J］.Tellus，1982，34(1):10－16.

［3］ Fauve S，Heslot F.Stochastic resonance in a bistable system［J］.Phys.Lett.A，1983，97(1－2):5－7.

［4］ McNamara B， Wiesenfeld K， RoyR. Observation of stochastic resonance in a ring laser［J］.Phys.Rev.Lett，1988，1(4):3－4.

［5］ 夏均忠，劉遠(yuǎn)宏，冷永剛，等.微弱信號(hào)檢測的研究現(xiàn)狀分析［J］.噪聲與振動(dòng)控制，2011，31(3):156－161.

［6］ McNamara B，Wiesenfeld K.Theory of stochastic resonance［J］.Phys.Rev.A，1989，39(9):4854－4869.

［7］ 張 瑩.隨機(jī)共振信號(hào)恢復(fù)機(jī)理與方法研究［D］.天津:天津大學(xué)，2010.

［8］ 冷永剛，王太勇.二次采樣用于隨機(jī)共振從強(qiáng)噪聲中提取弱信號(hào)的數(shù)值研究［J］.物理學(xué)報(bào)，2003，52(10):2432－2437.

［9］ 冷永剛，王太勇，秦旭達(dá)，等.二次采樣隨機(jī)共振頻譜研究與應(yīng)用初探［J］.物理學(xué)報(bào)，2004，53(3):717－723.

［10］ 夏均忠，劉遠(yuǎn)宏，梅檢民，等.雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振效應(yīng)的數(shù)值分析［J］.噪聲與振動(dòng)控制，2011，31(4):21－25.

［11］ 朱光起，丁 珂，張 宇，等.基于隨機(jī)共振進(jìn)行弱信號(hào)探測的實(shí)驗(yàn)研究［J］.物理學(xué)報(bào)，2010，59(5):3001－3006.

［12］ 冷永剛.基于Kameras逃逸速率的調(diào)參隨機(jī)共振機(jī)理［J］.物理學(xué)報(bào)，2009，58(8):5196－5200.

［13］ 李 強(qiáng).機(jī)械設(shè)備早期故障預(yù)示中的微弱信號(hào)檢測技術(shù)研究［D］.天津:天津大學(xué)，2008.

［14］ 林 敏，黃詠梅.調(diào)制與解調(diào)用于隨機(jī)共振的微弱周期信號(hào)檢測［J］.物理學(xué)報(bào)，2006，55(7):3277－3282.

［15］ 耿美霞，楊慶節(jié).利用Welch功率譜估計(jì)方法求埋深的參數(shù)選擇［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(地球科學(xué)版)，2010，40(增刊):13－16.

［16］ Randall R B，Antoni J.Rolling element bearing diagnostics A tutorial［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2011，25(2):485－520.