基于增量諧波平衡法的復(fù)合行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)

劉振皓，巫世晶，王曉筍，潛 波

(1.武漢大學(xué) 動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院，武漢 430072;2.中國(guó)北方東西研究所，車輛傳動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100072)

復(fù)合行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)可以承受大的載荷與傳動(dòng)比，因而在機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用，其性能的好壞對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)具有重要影響。Kahraman［1］分析了Ravigneaux式復(fù)合行星輪系可能的10種運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)形式，并對(duì)每一種結(jié)構(gòu)分別建立了純扭轉(zhuǎn)線性動(dòng)力學(xué)模型，分析了系統(tǒng)的固有特性。Dhoubib［2］建立了 Ravigneaux式復(fù)合行星輪系的平移—扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型，研究了系統(tǒng)固有特性。Kiracofe、Guo和潛波［3－5］也均建立了某類復(fù)合行星輪系的純扭轉(zhuǎn)模型，研究了系統(tǒng)的固有特性。在利用解析法研究系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性方面，目前只有 Al-shyyab［6］應(yīng)用諧波平衡法(HBMHarmonic balance method)研究了辛普森(Simpson)式復(fù)合行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)模型的非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)，得到了各級(jí)嚙合副的動(dòng)態(tài)嚙合力。

Lau［7］在1981年提出了增量諧波平衡法(IHBMIncremental jarmonic balance method)，對(duì)于一般的非線性系統(tǒng)利用該方法可以求取任意階近似解。此后，Lau［8］研究了具有分段線性剛度的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，得到了該問題的解的一般形式。楊紹普、申永軍［9－10］利用IHBM法研究了一類考慮時(shí)變嚙合剛度和間隙的直齒輪副的非線性動(dòng)力學(xué)，建立了這類模型的解的統(tǒng)一形式，同時(shí)研究了系統(tǒng)的分岔特性以及阻尼比、外激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)幅頻曲線的影響。目前，還沒有學(xué)者將IHBM法應(yīng)用于拉威娜(Ravigneaux)式復(fù)合行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的研究。因此，本文利用IHBM法研究了Ravigneaux式復(fù)合行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性，得到了系統(tǒng)的基頻穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。同時(shí)分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)特性的影響，從而為控制系統(tǒng)的振動(dòng)與噪聲，實(shí)現(xiàn)復(fù)合行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。

1 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

圖1為Ravigneaux式復(fù)合行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型。假設(shè)同類行星輪的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相同，且在行星架上均勻分布;同類別的嚙合剛度、齒側(cè)間隙與綜合嚙合誤差也均相同。

圖1 復(fù)合行星齒輪系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)模型Fig.1 Pure torsional model of compound planetary gear sets

圖 1 中，下標(biāo) s1、s2、r、an、bn分別表示小太陽(yáng)輪、大太陽(yáng)輪、齒圈、第n個(gè)a類行星輪、第n個(gè)b類行星輪。下標(biāo) s1an、s2bn、rbn、anbn分別為小太陽(yáng)輪 s1與行星輪an、大太陽(yáng)輪s2與行星輪bn、齒圈與行星輪bn、行星輪an與行星輪 bn的嚙合齒輪副。定義 i=s1、s2、r、an、bn;n=1，2，…，N;N 為行星輪組數(shù);j=s1an、s2bn、rbn、anbn。kj表示嚙合副j的嚙合剛度，up為中心構(gòu)件切向線位移(p=c，r，s1，s2)，uknc為行星輪相對(duì)行星架的切向線位移(k=a，b)，定義如下:

式中 rp為中心構(gòu)件基圓半徑(p=r，s1，s2);rk、θkn分別為行星輪基圓半徑與絕對(duì)角位移(k=a，b);θp為中心構(gòu)件的角位移(p=c，r，s1，s2)。

嚙合副的相對(duì)位移定義如下式所示:

式中，ej為嚙合副綜合嚙合誤差。根據(jù)拉格朗日方程，系統(tǒng)原始運(yùn)動(dòng)微分方程組如式(3)所示:

式中，kj(t)為時(shí)變嚙合剛度;Ii為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(i=c，r，s1，s2，a，b);Ti為中心構(gòu)件傳遞的扭矩(i=c，r，s1，s2);Ice=Ic+N·Ia+N·Ib;=ri/rs1(i= r，s2，a，b)。f(δj)為齒側(cè)間隙非線性函數(shù)，定義為:

其中，bj為齒側(cè)間隙的一半。

為對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組進(jìn)行無(wú)量綱化處理，定義時(shí)間標(biāo)稱尺度ωeh，令:

式中:ks1am為太陽(yáng)輪與行星輪an的平均嚙合剛度。

引入位移標(biāo)稱尺度bc與無(wú)量綱的時(shí)間，定義其他無(wú)量綱物理量如下:

式中，ω為系統(tǒng)激勵(lì)頻率;Ω為無(wú)量綱激勵(lì)頻率。系統(tǒng)無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)微分方程組為:

式中，pi=Ti/ri(i=c，r，s1，s2);Mi=Ii/r2i(i=r，s1，s2，a，b);Mc=Ice/r2s1;ki=kit/r2i(i=r，s1，s2);kc=kct/r2s1。無(wú)量綱齒側(cè)間隙非線性函數(shù)定義為:

2 增量諧波平衡法求解

時(shí)變嚙合剛度與無(wú)量綱綜合嚙合誤差可寫為:

式中，kjm為平均嚙合剛度;εl為剛度波動(dòng)系數(shù);為無(wú)量綱平均嚙合誤差;ρ為綜合嚙合誤差波動(dòng)系數(shù);l為展開諧波次數(shù);L為最高諧波次數(shù)。引入新的時(shí)間變量τ=Ωt。式(7)可寫為:式中“·”表示對(duì)τ求導(dǎo)數(shù)。方程組的解可寫為:

齒側(cè)間隙非線性函數(shù)可用一階泰勒公式展開:

定義 u=［uc，ur，us1，us2，ua1c，ub1c，…，uaNc，ubNc］T，Δu= ［Δuc，Δur，Δus1，Δus2，Δua1c，Δub1c，…，ΔuaNc，ΔubNc］T。其中 ui= ［α0i，α1i，β1i，α2i，β2i，…，αiL，βiL］T，Δui=［Δα0i，Δα1i，Δβ1i，Δα2i，Δβ2i，…，ΔαiL，ΔβiL］T。運(yùn)用Galerkin過程，將式(14)左右兩端同時(shí)乘以1、cos(lτ)、sin(lτ)(l=1，2，…，L)，并在［0，2π］內(nèi)積分，得到關(guān)于Δu的(2L+1)(2N+4)元線性方程組。本文取L=1，以3組行星輪為例，得到的線性方程組未知數(shù)的個(gè)數(shù)為30。

本文應(yīng)用Maple 11.0進(jìn)行求解，諧波平衡過程中遇到的非線性函數(shù)積分可用軟件內(nèi)部的rightsum()函數(shù)計(jì)算近似值，其原理是用一些矩形塊的面積代替積分值，矩形的個(gè)數(shù)越多，計(jì)算結(jié)果越精確，本文取矩形個(gè)數(shù)為100個(gè)。迭代求解時(shí)，首先給u一組初值，進(jìn)而確定上述積分值。從線性方程組中解出Δu，判斷式(16)的終止迭代條件:

式中，Δu為向量Δu中的元素，σ為預(yù)先設(shè)定的小正數(shù)。若不滿足條件，便以u(píng)+Δu代替原來(lái)的u，從而重新計(jì)算積分值，獲得一組新的線性方程組，進(jìn)而解出一組新的Δu，再次判斷條件，如此循環(huán)。直至滿足終止條件便停止迭代，并最終以u(píng)作為微分方程組的解。其中，求解線性方程組采用Gauss消去法。

3 系統(tǒng)非線性頻域動(dòng)態(tài)特性

Ravigneaux式復(fù)合行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的基本參數(shù)與計(jì)算參數(shù)分別如表1、表2所示。扭矩從太陽(yáng)輪s1輸入，太陽(yáng)輪 s2輸出，齒圈 r固定，輸入扭矩 Ts1=150 N·m，負(fù)載扭矩Ts2=275 N·m。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，本文僅將諧波次數(shù)展開為1次，所得到的結(jié)果是系統(tǒng)的基頻穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

表1 系統(tǒng)基本參數(shù)Tab.1 Fundmental parameters of the system

表2 計(jì)算參數(shù)Tab.2 Parameters of calculation

令表2中打“*”號(hào)的量值在各個(gè)嚙合線上均相等，省略了下標(biāo)j。IHBM法計(jì)算出的頻響曲線如圖2、圖3所示。Us2b1與Uc分別表示太陽(yáng)輪s2與行星輪b1之間的相對(duì)位移、行星架c的無(wú)量綱響應(yīng)幅值。為了對(duì)比分析，圖中同時(shí)給出了無(wú)齒側(cè)間隙、無(wú)剛度波動(dòng)的線性系統(tǒng)的頻響曲線。

由圖3至圖4可知:

(1)對(duì)于線性系統(tǒng)，在(0，2)范圍內(nèi)，當(dāng)無(wú)量綱激勵(lì)頻率 Ω =0.36、0.58、1.06、1.48 時(shí)會(huì)激發(fā)系統(tǒng)的共振。作者已驗(yàn)證，此四階頻率與系統(tǒng)第2、3、6、9階固有頻率較為接近(無(wú)量綱頻率分別為 0.42、0.65、1.05、1.50)，而此四階固有頻率恰好為除去第1階與第10階固有頻率外的全部單根。

(2)當(dāng)考慮齒側(cè)間隙與時(shí)變嚙合剛度時(shí)，復(fù)合行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性表現(xiàn)出明顯的非線性特點(diǎn)，而這種非線性特征在低頻處表現(xiàn)得更為突出。在無(wú)量綱激勵(lì)頻率Ω=0.3處，頻響曲線表現(xiàn)出幅值不連續(xù)與多值解的特征，系統(tǒng)出現(xiàn)了無(wú)沖擊與單邊沖擊的不同振動(dòng)狀態(tài);在無(wú)量綱激勵(lì)頻率 Ω=0.5、0.9、1.27處，頻率—振幅響應(yīng)曲線出現(xiàn)了幅值不連續(xù)的特征。

(3)由于多自由度之間的耦合，當(dāng)系統(tǒng)中某一個(gè)(幾個(gè))零部件的振動(dòng)幅值發(fā)生跳躍時(shí)，非間隙構(gòu)件(行星架)也會(huì)產(chǎn)生非線性振動(dòng)，其頻響曲線也發(fā)生了幅值不連續(xù)的現(xiàn)象。

4 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)特性的影響

4.1 時(shí)變嚙合剛度的影響

如前所述，時(shí)變嚙合剛度是以簡(jiǎn)諧函數(shù)的形式處理的。不同參數(shù)的齒輪副的嚙合剛度的平均分量與波動(dòng)分量所占的比例是不同的。在其他參數(shù)不變的情況下，將表2中的剛度波動(dòng)系數(shù)ε1分別取為0、0.25與0.5，對(duì)太陽(yáng)輪s2與行星輪b1的相對(duì)位移頻響特性進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果如圖4所示。

圖4 時(shí)變嚙合剛度對(duì)Us2b1的影響Fig.4 The influence of time-varying mesh stiffness on Us2b1

由圖4可知:

(1)無(wú)論剛度是否波動(dòng)，在復(fù)合行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)共振頻率附近均出現(xiàn)了幅值不連續(xù)與多值現(xiàn)象，說明嚙合剛度不能改變系統(tǒng)的沖擊特性。

(2)當(dāng)參數(shù)改變到一定程度時(shí)，頻響曲線在某些共振頻率處的幅值會(huì)削弱甚至消失。當(dāng)ε1=0.25時(shí)，在曲線中僅有3階頻率會(huì)激發(fā)系統(tǒng)的共振。由此說明，由于多自由度之間的耦合，構(gòu)件的振動(dòng)彼此之間既能相互增強(qiáng)，也會(huì)使之相互削弱。

(3)隨著ε1的增加，能夠激發(fā)較大振動(dòng)的共振頻率向低頻方向移動(dòng)，發(fā)生幅值跳躍所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)變頻率逐漸降低。

圖5 輸出扭矩對(duì)Uc的影響Fig.5 Influence of load torque on Uc

圖6 (a) 齒側(cè)間隙對(duì)Us2b1的影響(Ts2=370 N·m)Fig.6(a)Influence of backlash on Us2b1(Ts2=370 N·m)

圖6 (b) 齒側(cè)間隙對(duì)Us2b1的影響(Ts2=1 700 N·m)Fig.6(b)Influence of backlash on Us2b1(Ts2=1 700 N·m)

4.2 負(fù)載扭矩的影響

取剛度波動(dòng)系數(shù)ε1=0.25，扭矩仍從太陽(yáng)輪s1輸入，太陽(yáng)輪s2輸出，輸入扭矩Ts1=750 N·m輸出扭矩Ts2分別取為370 N·m、1700 N·m與3200 N·m，對(duì)行星架c的頻響特性進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果如圖5所示。

從圖中可以看出，當(dāng)負(fù)載扭矩由370 N·m增加到1 700 N·m時(shí)，系統(tǒng)的頻響曲線幅值不連續(xù)的現(xiàn)象已經(jīng)消失，曲線呈現(xiàn)線性系統(tǒng)的特征，系統(tǒng)不存在沖擊現(xiàn)象;而扭矩繼續(xù)增加到3 200 N·m時(shí)，系統(tǒng)的頻響曲線的性質(zhì)與扭矩為1 700 N·m的頻響曲線無(wú)明顯差異?？梢姰?dāng)負(fù)載扭矩增加到一定程度時(shí)，系統(tǒng)的沖擊特性將不再發(fā)生明顯變化。另一方面，當(dāng)負(fù)載扭矩增加時(shí)，系統(tǒng)低頻響應(yīng)幅值有所增加，而高頻響應(yīng)幅值有所減少。

4.3 齒側(cè)間隙的影響

取剛度波動(dòng)系數(shù) ε1=0.25，輸入扭矩 Ts1=750 N·m。在輸出扭矩Ts2分別為370 N·m、1 700 N·m的情況下分別計(jì)算齒側(cè)間隙=3.1 時(shí) Us2b1的頻響特性，并與=1.5的曲線做了比較，結(jié)果如圖6所示。

從圖6(a)中可以看出，當(dāng)負(fù)載扭矩較小時(shí)，增大齒側(cè)間隙可以使系統(tǒng)表現(xiàn)出更為明顯的非線性振動(dòng)的特征，系統(tǒng)出現(xiàn)了更為復(fù)雜的沖擊現(xiàn)象。在圖6(b)中，負(fù)載扭矩足夠大，除了引發(fā)共振的第3階頻率外，等于1.5與3.1的兩條頻響曲線的性質(zhì)基本相同。這說明系統(tǒng)在重載環(huán)境時(shí)，齒側(cè)間隙對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響很小。

結(jié)合4.2節(jié)可以看出，在系統(tǒng)處于輕載環(huán)境時(shí)，齒側(cè)間隙是影響系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的主要因素;而當(dāng)系統(tǒng)處于重載環(huán)境時(shí)，載荷對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性的影響則成為了主要因素。

5 結(jié)論

本文應(yīng)用增量諧波平衡法研究了Ravigneaux式復(fù)合行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性，求解了系統(tǒng)的基頻穩(wěn)態(tài)響應(yīng)得出以下結(jié)論:

(1)齒輪間隙的存在使得復(fù)合行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的頻響曲線，出現(xiàn)了幅值跳躍與多值解等典型非線性特征。

(2)多自由度之間的耦合使得系統(tǒng)非間隙構(gòu)件(行星架)也會(huì)產(chǎn)生非線性振動(dòng)。耦合作用也能使得構(gòu)件的振動(dòng)彼此之間既能相互增強(qiáng)，也能相互削弱。

(3)剛度波動(dòng)不能改變系統(tǒng)的沖擊特性。隨著剛度波動(dòng)程度的提高，共振頻率向低頻方向移動(dòng)，發(fā)生幅值跳躍所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)變頻率逐漸降低。

(4)當(dāng)負(fù)載扭矩增加到一定程度時(shí)，系統(tǒng)的沖擊特性將不再發(fā)生明顯變化。當(dāng)系統(tǒng)處于輕載環(huán)境時(shí)，齒側(cè)間隙是影響系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的主要因素;而當(dāng)系統(tǒng)處于重載環(huán)境時(shí)，載荷對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性的影響則成為了主要因素。

(5)IHBM法可得到系統(tǒng)任意精度的近似解，但對(duì)于復(fù)合行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，若要進(jìn)一步提高精度，則需求解的未知數(shù)個(gè)數(shù)將會(huì)成倍增加，求解會(huì)變得更加困難［12］。而工程上往往更關(guān)心基頻穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，因此，利用IHBM法求解復(fù)合行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的基頻穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以滿足工程需要，為深入研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。

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