非線性帶涂層球形復(fù)合介質(zhì)有效的交流電響應(yīng)

郝艷花

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

非線性帶涂層球形復(fù)合介質(zhì)有效的交流電響應(yīng)

郝艷花

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

利用攝動方法研究了在外加交流電場E＝E1sinωt+E3sin 3ωt+E5sin 5ωt的作用下非線性帶涂層球形復(fù)合介質(zhì)的交流電響應(yīng)。結(jié)果表明，這種介質(zhì)滿足的電流密度J和電場強度E之間滿足的關(guān)系為：Jα＝σαE+ χα|E|2E。

非線性復(fù)合介質(zhì)；攝動方法；交流電場；有效的交流電響應(yīng)

的激發(fā)下，Chen[6]和Wei[7]利用攝動方法分別研究了非線性Kerr型復(fù)合介質(zhì)的有效性響應(yīng)，同時給出了基頻和三階諧波頻率情形下的有效非線性響應(yīng)之間的關(guān)系；最近，Wei[8]在電流密度和電場強度滿足一定關(guān)系時，還推了非線性復(fù)合介質(zhì)的高階有效性響應(yīng)。Hao和Chen[9]利用攝動方法研究了兩種非線性Kerr型帶涂層球形及圓柱形復(fù)合介質(zhì)在外部交流電場

Eα＝E1sinωt+E3sin 3ωt

作用下的有效性響應(yīng)問題等等。對不同的外加電場，有效性響應(yīng)也不同。在實際問題中，球形和圓柱形顆粒雜質(zhì)無規(guī)則地嵌入基質(zhì)所形成的復(fù)合介質(zhì)材料最為常見，所以研究這種非線性復(fù)合介質(zhì)在外加電場作用下的有效性響應(yīng)有非常重要的意義。

本文主要研究一種非線性帶涂層球形復(fù)合介質(zhì)的電勢分布，假設(shè)電流密度J和電場強度E之間滿足的關(guān)系為：

其中，下標(biāo)α＝i，c，h分別表示對應(yīng)于雜質(zhì)顆粒內(nèi)部、涂層和基質(zhì)的物理量，ΩiΩc和Ωh分別表示雜質(zhì)顆粒內(nèi)部，涂層和基質(zhì)所占空間區(qū)域σα和χα分別是線性和非線性介電常數(shù)且與外加電電場無關(guān)。我們考慮低頻過程，因而電流密度J和電場強度E分別滿足控制方程：▽·J＝0和▽×E＝0。

其邊界條件為電勢和電流密度在內(nèi)外兩種雜質(zhì)界面及外層雜質(zhì)和基質(zhì)界面上是連續(xù)的。

1 交流電的攝動方法

將x點的電勢作攝動展開，其形式為：

再利用電場強度和電勢的關(guān)系Eα＝-▽Φα（x，t），將方程（2）和（3）代入到方程（1）中，則可以得到電流密度J在雜質(zhì)和基質(zhì)區(qū)域的攝動展開式為：1，2，3，…）的函數(shù)。

電勢和電流密度的邊界條件分別為：

這里?Ωi和?Ωc表示內(nèi)外兩層雜質(zhì)界面和外層雜質(zhì)與基質(zhì)界面。

無窮遠處的電勢滿足如下關(guān)系：

2 有效的交流電響應(yīng)

下面將利用文獻[26，27]所提出的方法來研究低雜質(zhì)濃度下非線性球形涂層復(fù)合介質(zhì)有效的交流電響應(yīng)。將文獻[26]研究復(fù)合介質(zhì)有效的直流電響應(yīng)方法推廣，可得：

于是，將方程（12）（13）代入方程（11），即得非線性基波和三次諧波頻率下復(fù)合介質(zhì)的有效性響應(yīng)為：

這里，fi，fc分別是雜質(zhì)核和涂層所占有的體積百分比，并且有a3/b3＝fi/（fi+fc），則

這里，

3 小結(jié)

本文利用攝動方法研究了非線性帶涂層球形復(fù)合介質(zhì)在外部交流電電場作用下的有效性響應(yīng)問題，給出了低雜質(zhì)濃度下非線性復(fù)合介質(zhì)的有效性響應(yīng)，通過比較，可以得到如下關(guān)系：

這些關(guān)系可以用來在已知基波頻率下非線性復(fù)合介質(zhì)的有效性響應(yīng)條件下估計三次及五次諧波頻率下非線性復(fù)合介質(zhì)的有效性響應(yīng)。

[1]Wei E B，Tian JW，Song JB.A theory of nonlinear AC response in coated composites[J].Chin Phys，2004，13（3）：388-392.

[2]Levy O，Bergman D J，Stroud D G.Harmonic generation，induced nonlinearity，and optical bistability in nonlinear composites[J].Phys Rev E，1995，52：3184-3194.

[3]Hui PM，Cheung P.Second and third harmonic generations in random composites of nonlinear dielectrics[J].Phys B，2000，279：45-47.

[4]Gu G Q，Hui PM，Yu k w.A theory of nonlinear AC response in nonlinear composites[J].Phys B，2000，279：62-65.

[5]Wei E B，Song JB，Gu G Q.Effective response of a non-linear composite in external AC electric field[J].Phys B，2002，324：322-328.

[6]Chen X G，Wei E B，Song JB.Effective AC response of nonlinear spherical coated composites[J].Theor Phys，2004，41（5）：771-774.

[7]Wei E B，Yang ZD，Gu G Q.Effective ac response in weakly nonlinear composites[J].Appl.Phys.2004，37（4）：107-111.

[8]Wei E B，Song JB，Tian JW.Higher order response of nonlinear composites in external ac electric field [J].Phys Lett A，2003，309：160-164.

[9]Hao Yan-Hua，Chen Xiao-Gang，Hou Rui，et al.Effective ACResponse of Nonlinear Spherical Coated Composites[J].Chinese Physics B，2010，19（6）：067202-1-067202-6.

[10]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M]，北京：高等教育出版社，1988：273-362.

〔責(zé)任編輯 李?！?/p>

Effective AC Response of Nonlinear Spherical Coated Com posites

HAO Yan-hua
（School ofMathematics and Computer Science，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009）

In this paper，the effective response in the coated nonlinear spherical composite is investigated under the action of an external AC electric field E＝E1sinωt+E3sin 3ωt+E5sin 5ωt by using the perturbation method.The constitutive relations between current density J and electric field E in the inclusion and host regions have the following forms：Jα＝σαE+χα|E|2E.

nonlinear composites；the perturbationmethod；AC electric field；effective nonlinear response

O174.5

A

1674-0874（2012）04-0024-04

2012-04-10

山西大同大學(xué)科研基金項目[2011K6]

郝艷花（1973-），女，山西大同人，碩士，講師，研究方向：計算數(shù)學(xué)。