含撓引力的球?qū)ΨQ真空解

馬孟森

（山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西大同037009）

含撓引力的球?qū)ΨQ真空解

馬孟森

（山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西大同037009）

用外爾方法計(jì)算了愛因斯坦-嘉當(dāng)理論的球?qū)ΨQ真空解。結(jié)果表明，在時(shí)空幾何對稱性足夠高的情況下，這個(gè)方法不僅能用于純度規(guī)引力理論（如：廣義相對論）的計(jì)算，而且可推廣到含撓引力理論中。

撓率；含撓引力；外爾方法

愛因斯坦（Albert Einstein）提出的廣義相對論是一個(gè)純度規(guī)理論，即只有度規(guī)作為動(dòng)力學(xué)變量來描述彎曲時(shí)空與物質(zhì)分布的關(guān)系。該理論基于無撓率和度規(guī)相容兩個(gè)條件，聯(lián)絡(luò)可以完全由度規(guī)來表示，所以此時(shí)聯(lián)絡(luò)并非獨(dú)立的動(dòng)力學(xué)變量。廣義相對論的真空解有很多，最著名的就是Schwarzschild解，據(jù)此可以驗(yàn)證廣義相對論在太陽系內(nèi)的正確性[1]。但是廣義相對論并不是一個(gè)完善的理論，其本身存在一些不可避免的問題。宇宙大爆炸奇點(diǎn)、黑洞奇點(diǎn)的存在以及構(gòu)造量子理論的困難都是廣義相對論當(dāng)中存在的大問題。自然地，為了解決或者緩解這些問題，我們要考慮修改廣義相對論。

事實(shí)上，自從廣義相對論橫空出世，推廣和修改該理論的工作就層出不窮，五花八門。這里我們最關(guān)心的是嘉當(dāng)（E.Cartan）在1922年指出的該理論數(shù)學(xué)上的一個(gè)推廣，即考慮不對稱的聯(lián)絡(luò) （仿射聯(lián)絡(luò)），引入時(shí)空撓率。嘉當(dāng)引入的撓率就是仿射聯(lián)絡(luò)的反對稱部分。此后，許多物理學(xué)家包括愛因斯坦本人都在試圖闡述這個(gè)推廣所包含的物理意義。這也導(dǎo)致之后一系列關(guān)于撓率是否存在，能否探測以及如何探測的相關(guān)問題的研究[2-8]。從數(shù)學(xué)上講，在微分幾何中時(shí)空撓率和曲率是兩個(gè)地位相當(dāng)?shù)牧?，兩者都具有相?yīng)的結(jié)構(gòu)方程、Bianchi恒等式。從物理上講，我們知道所有基本粒子可以根據(jù)龐加萊群的不可約幺正表示分類，每種粒子由一組參數(shù)（m，s）來表示，前者表示粒子質(zhì)量，后者表示粒子自旋。質(zhì)量與龐加萊群的平移部分相聯(lián)系，自旋與龐加萊群的旋轉(zhuǎn)部分聯(lián)系。按照Noether定理，物理系統(tǒng)的每個(gè)連續(xù)對稱性都對應(yīng)某種守恒量。從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度來說，平移不變性給出物質(zhì)的能動(dòng)張量，由旋轉(zhuǎn)不變性則得到物質(zhì)的自旋角動(dòng)量。物質(zhì)都是由基本粒子組成的，因此物質(zhì)的性質(zhì)應(yīng)該由基本粒子的性質(zhì)來刻畫。當(dāng)然，對于宏觀物體來說，自旋的貢獻(xiàn)相互抵消，導(dǎo)致物質(zhì)的能動(dòng)張量起主要貢獻(xiàn)。一旦涉及微觀物理領(lǐng)域，就需要考慮到物質(zhì)場的自旋效應(yīng)的貢獻(xiàn)，這時(shí)廣義相對論變的無能為力。因?yàn)閺V義相對論給出的場方程，左邊是描述時(shí)空幾何的量，而右邊只有物質(zhì)的能動(dòng)張量?？梢?，僅從形式上也可以看出愛因斯坦廣義相對論僅能用來描述宏觀物理現(xiàn)象。研究微觀物理現(xiàn)象時(shí)，物質(zhì)場的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)應(yīng)該是由物質(zhì)場能動(dòng)張量和自旋角動(dòng)量共同決定的。因此，引力場方程左邊僅僅考慮時(shí)空度規(guī)的幾何效應(yīng)已經(jīng)不夠了，時(shí)空撓率的幾何效應(yīng)自然需要考慮進(jìn)來。實(shí)際上，有質(zhì)量的自旋場，如狄拉克場，一定具有不對稱的能動(dòng)張量形式[9]，而愛因斯坦場方程左邊是對稱的，這也可以從某種程度上表明廣義相對論的不完備性。

在引力理論中，研究求解問題最正規(guī)的方法是首先由作用量對度規(guī)變分得到場方程，再把待定的時(shí)空度規(guī)帶入場方程中，求解所得微分方程（組）即得到具體的時(shí)空度規(guī)形式。但是這個(gè)方法需要求解微分方程，而大部分引力理論的場方程都是很復(fù)雜的，所以用此方法求解往往工作量比較大。實(shí)際上，赫曼.外爾（H.Weyl）早在1951年在他的著作《space timematter》[10]中就提到可以先把待定的度規(guī)帶入作用量之中，然后對這個(gè)“變形的”的作用量變分，得到簡化了的微分方程并求解。盡管能大大簡化計(jì)算，但是這個(gè)方法并非對任何時(shí)空、任何理論都可行。1979年，美國數(shù)學(xué)家R.Palais證明當(dāng)時(shí)空滿足某些對稱性時(shí)（如：球?qū)ΨQ、軸對稱）外爾方法是成立的[11]。 最近S.Deser把這個(gè)方法應(yīng)用到幾種純度規(guī)引力當(dāng)中得到球?qū)ΨQ和軸對稱下的真空解[12-13]。

本文中我們先介紹如何用外爾方法求解廣義相對論球?qū)ΨQ真空解。在第二部分我們給出球?qū)ΨQ分布的撓率形式，并用外爾方法討論愛因斯坦-嘉當(dāng)理論的球?qū)ΨQ真空解。最后在結(jié)論中分析所得結(jié)果，并討論外爾方法在求解含撓引力理論的普適性。

1 用外爾方法計(jì)算廣義相對論真空解

取如下形式的球?qū)ΨQ度規(guī)

無撓情況下，愛因斯坦-希爾伯特作用量形式為：

由待定度規(guī)可得：

式中“′”表示對r的導(dǎo)數(shù)，可見括號(hào)內(nèi)后兩項(xiàng)均為全微分，其積分結(jié)果對最后的場方程沒有貢獻(xiàn)。

以上作用量對兩個(gè)獨(dú)立的度規(guī)分量（a，b）分別變分可得：

即

求解可得這就是通常的Schwarzschild時(shí)空度規(guī)?？梢娡鉅柗椒ㄔ陟o態(tài)球?qū)ΨQ時(shí)空下應(yīng)用于廣義相對論是可行的，而且相較于常規(guī)方法計(jì)算過程大大簡化了。

2 用外爾方法計(jì)算含撓引力理論的真空解

最初的含撓引力理論是愛因斯坦-嘉當(dāng)理論，該理論具有完全相同的愛因斯坦-希爾伯特作用量形式，區(qū)別僅在于此時(shí)的標(biāo)曲率是含撓率的。作用量對度規(guī)和聯(lián)絡(luò)分別變分，可得到兩個(gè)獨(dú)立的場方程：一個(gè)是推廣的愛因斯坦場方程，另一個(gè)是聯(lián)系物質(zhì)場自旋流與時(shí)空撓率的代數(shù)方程。

盡管一般情況下，自旋的引力效應(yīng)非常微弱，但正如T.Kibble所說，考慮到自旋效應(yīng)，引力場自身會(huì)在一定條件下表現(xiàn)出排斥效應(yīng)。由于這種排斥效應(yīng)，在一定條件下就會(huì)有避免廣義相對論中引力塌縮到奇點(diǎn)以及宇宙大爆炸奇點(diǎn)的可能性。從撓率滿足的代數(shù)方程可以看出，在愛因斯坦-嘉當(dāng)理論中，撓率的存在是依賴于物質(zhì)存在的，沒有物質(zhì)的地方就沒有撓率，此時(shí)的撓率是非動(dòng)力學(xué)的。因此，不像度規(guī)場可以在時(shí)空中傳播，形成引力波，撓率是不能在真空中傳播形成撓率波的。如果撓率真的是以這種理論形式存在的話，那么實(shí)驗(yàn)上幾乎不可能探測到撓率。因此，人們考慮推廣愛因斯坦-嘉當(dāng)理論及其作用量，并賦予引力以規(guī)范場的意義，構(gòu)造出多種引力規(guī)范理論。最主要的有洛倫茲規(guī)范引力、龐加萊規(guī)范引力和德西特規(guī)范引力。除洛倫茲規(guī)范引力作用量形式比較簡單，其他的規(guī)范引力理論都具有復(fù)雜的作用量，不僅含有標(biāo)曲率，還包括曲率平方項(xiàng)和撓率平方項(xiàng)。這種形式的作用量在可重整性和量子化上都更有優(yōu)勢，但顯然這種作用量的求解和理論分析也是比較復(fù)雜的。因?yàn)榇藭r(shí)作用量中包含了曲率平方項(xiàng)，撓率不必依賴物質(zhì)，而是可以獨(dú)立于物質(zhì)傳播的。

這里我們研究最簡單的含撓引力理論-愛因斯坦-嘉當(dāng)理論[14]，其作用量可記為

其中F表示含撓的曲率標(biāo)量，其定義與無撓的曲率標(biāo)量定義類似，只是此時(shí)的曲率張量應(yīng)記為：

此時(shí)我們?nèi)匀挥懻撿o態(tài)球?qū)ΨQ時(shí)空，但為了計(jì)算方便，線元形式與上一部分略有不同：

因?yàn)榇藭r(shí)理論含有撓率，而撓率跟時(shí)空度規(guī)是獨(dú)立的，所以還需要單獨(dú)給定撓率的形式。我們?nèi)【哂蠴（3）-球?qū)ΨQ的撓率形式：

這里我們采用微分形式語言，撓率可表示為2-形式：

其中

類似的，可算出拉氏密度

對兩個(gè)獨(dú)立的度規(guī)分量（a，b）以及4個(gè)獨(dú)立的撓率分量（f，h，g，k）分別應(yīng)用歐拉方程，得到這與常規(guī)方法研究所得的愛因斯坦-嘉當(dāng)理論的結(jié)果是一致的，即真空情況下愛因斯坦-嘉當(dāng)理論與廣義相對論是等價(jià)的。

用外爾方法還可以研究一種有意思的拉氏量，其中包含撓率平方項(xiàng)：

我們?nèi)「?）（8）式相同的度規(guī)和撓率形式，代入以上作用量，得：

括號(hào)中的“…”表示與（10）式中相同的度規(guī)導(dǎo)數(shù)相關(guān)項(xiàng)，這部分的變分方程同樣會(huì)給出Schwarzschild度規(guī)。我們最關(guān)心撓率項(xiàng)，對（f，h，g，k）分別變分得到：

化簡結(jié)果得：

求解以上兩式，只有當(dāng)χ＝1/4，-1/2時(shí)才有自洽的結(jié)果，分別對應(yīng)

可見，此時(shí)我們不能得到撓率的具體結(jié)果，只能得到獨(dú)立分量之間滿足的關(guān)系，即只要（8）式中給定的撓率滿足（14）式的形式，無論撓率取何值，都能給出Schwarzschild度規(guī)。

3 結(jié)論

盡管許多實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)表明廣義相對論是正確的，但是廣義相對論并不是一個(gè)完善的理論，其本身還是存在不少問題。不少物理學(xué)家考慮引入時(shí)空撓率來修改廣義相對論。但是含撓理論的場方程一般比較復(fù)雜，求解過程更是繁瑣。

本文研究了外爾方法求解含撓引力理論真空解問題。結(jié)果表明這種方法不僅適用于純度規(guī)引力理論，對含撓引力同樣適用，計(jì)算過程大大簡化。 盡管我們只研究了愛因斯坦-嘉當(dāng)理論，但是這個(gè)方法應(yīng)該可以用來求解更復(fù)雜的含撓引力理論。

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〔責(zé)任編輯 李?！?/p>

Spherically Smmetric Vacuum Solutions for Theories of Gravity w ith Torsion

MA Meng-sen
（School of Physical Science and Electronics，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009）

With the Weylmethod the static，spherically symmetric vacuum solutions are obtained in the general relativity and Einstein-Cartan theory.It is shown that Weylmethod can be employed in any theories with or without torsion on the condition of spacetime with high symmetry.

torsion；theories of gravity with torsion；Weylmethod

O174.5

A

1674-0874（2012）04-0018-04

2012-04-20

山西大同大學(xué)博士科研啟動(dòng)項(xiàng)目[2011-B-03]；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目[11075098，11175109]

馬孟森（1984-），男，河北滄州人，博士，講師，研究方向：引力理論、黑洞物理、宇宙學(xué)。