變量代換在求解一階微分方程中的應(yīng)用

李麗

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

變量代換在求解一階微分方程中的應(yīng)用

李麗

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

變量代換是一種重要數(shù)學(xué)變換，其主要目的是通過代換能使問題化繁為簡(jiǎn)，化難為易；將不能解決的問題轉(zhuǎn)化為能解決的問題。本文通過實(shí)例，探討了變量代換法在求解一階微分方程中的應(yīng)用。

變量代換；一階微分方程；齊次方程

所謂變量代換法，就是把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這也叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去解決。變量代換法是高等數(shù)學(xué)理論和方法的重要工具之一，在高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。如在代數(shù)中求極限、求導(dǎo)、求積分等，在微分方程中求齊次方程、歐拉方程、微分方程組等[1—5]。本文對(duì)變量代換在求解隱式微分方程與微分方程組中的應(yīng)用作了初步研究。

1 在解齊次方程中的應(yīng)用

即

將上式分離變量，即有兩邊積分，得到

此外，方程（1）還有解

tan u＝0，

即

sin u＝0。

如果在（2）中允許c＝0，則sin u＝0也就包括在（2）中，這就是說，方程（1）的通解為（2）。代回原來的變量，得到原方程的通解

2 在解一階微分方程中的應(yīng)用

2.1 在一階線性方程中的應(yīng)用

一階線性方程的形式

其中，p（x），q（x）為已知函數(shù)。該方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為

y＝ce-∫p（x）d x，

作代換

y＝c（x）e-∫p（x）d x，

以此作為原方程的解，代入原方程中得

從而解出c（x），進(jìn)而得出原方程的解。

的通解為y＝cex，可得齊次線性方程的通解

2.2 在一階隱式微分方程中的應(yīng)用

一階隱式微分方程的一般形式為

（3）是關(guān)于x，p的一階微分方程，但它的導(dǎo)數(shù)已解出，于是可解出方程的解。

兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得到

或

又由2p-x＝0解得

3 結(jié)束語

通過以上幾類微分方程的分析可以看出，變量代換作為一種基本技巧，是求解一階微分方程問題的重要方法。它可將復(fù)雜的數(shù)學(xué)形式及不可直接求解的形式通過變量替換進(jìn)行形式轉(zhuǎn)化，使問題變得簡(jiǎn)潔，且易于求解。

[1]王高雄，周之銘.常微分方程（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]劉顯鳳.變量代換在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].高校講壇，2006（15）：164-165.

[3]張東.變量代換法在求解微分方程問題中的應(yīng)用[J].遼寧交通高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2003，5（4）：54-55.

[4]許敏偉，吳炳華.變量代換在求解微分方程中的應(yīng)用[J].徐州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，23（3）：171-172.

[5]何彩香，張媛祥.換元思想在解高數(shù)題中的應(yīng)用[J].大理學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，3（3）：87-88.

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>

Variable Substitution in Some App lications of Higher M athematics

LILi
（School ofMathematics and Computer Science，ShanxiDatong University，Datong shanxi，037009）

Variable substitution is an important form of mathematical transformation，the purpose of which is to simplify problems.This paper，with examples，discusses the application of variable substitution in solving firstorder differential equations.

variable substitution；f irstorder differential equations；h omogeneous equation

O175.1

A

1674-0874（2012）04-0006-02

2012-05-25

李麗（1975-），女，山西左云人，助教，研究方向：計(jì)算機(jī)算法。