三維空間中曲面與曲線的對稱

張慧芬，王蘭卿

（山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同 037009）

三維空間中曲面與曲線的對稱

張慧芬，王蘭卿

（山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同 037009）

給出了求曲面和曲線的對稱曲面和對稱曲線的方法，并舉例說明該方法的使用。

曲面；曲線；對稱

在高等數學教學中，空間解析幾何一章中引入空間直角坐標系后，涉及到了點分別關于點、坐標軸以及坐標平面的對稱，這些在課后習題中都有提到，這里不再贅述。但是在空間幾何學中關于曲線與曲面的對稱曲線和對稱曲面的研究，常見特殊情況，本文試著給出幾個結論，希望在空間曲線和曲面的對稱問題上有所幫助。

1 空間曲面

1.1 關于點對稱

定理1空間曲面F（x，y，z）＝0關于定點P0（x0，y0，z0）的對稱曲面方程是

F（2x0-x，2y0-y，2z0-z）＝0。

所以

x1＝2x0-x，y1＝2y0-y，z1＝2z0-z。

又點P1（x1，y1，z1）在曲面F（x，y，z）＝0上，有

F（x1，y1，z1）＝0，

故所求對稱曲面的方程是

F（2x0-x，2y0-y，2z0-z）＝0。

1.2 關于直線對稱

證明 設曲面F（x，y，z）＝0上任一點P1（x1，y1，z1）關于定直線l的對稱點是P（x，y，z），且P1P交直線l于P（x，y，z），且P（x，y，z）是—P→P的中點，則：

由（1）（2）整理，化簡得

而F（x1，y1，z1）＝0，

故所求對稱曲面的方程是

1.3 關于平面對稱

定理3空間曲面F（x，y，z）＝0關于平面Ax +By+Cz+D＝0的對稱曲面方程是

證明 設曲面F（x，y，z）＝0上任一點P1（x1，y1，z1）關于平面π

Ax+By+Cz+D＝0的對稱點是P（x，y，z），且P1P交平面π于P0（x0，

又P0（x0，y0，z0）在平面π上，有

Ax0+By0+Cz0+D＝0

將（4）代入（3），化簡得

而F（x1，y1，z1）＝0，

故所求對稱曲面的方程是

特殊情形 空間曲面F（x，y，z）＝0關于原點的對稱曲面是F（-x，-y，-z）＝0；關于坐標軸x，y，z軸的對稱曲面是

F（x，-y，-z）＝0，F（-x，y，-z）＝0，

F（-x，-y，z）＝0；關于坐標平面xoy，yoz，zox的對稱曲面是F（x，y，-z）＝0，F（-x，y，z）＝0，F（x，-y，z）＝0。

2 空間曲線

由上述定理1，2，3可類似得到下面結論，不再證明。

特殊情形 空間曲線 關于坐標軸x，y，z軸的對稱曲線是

關于坐標平面xoy，yoz，zox的對稱曲線分別是

3 應用舉例

解 由定理1，3可知

所求對稱橢球面方程分別是

例1 求橢球面

分別關于定點（0，-1，0）與平面x-y+1＝0的對稱曲線方程。

解 由定理4、6得對稱曲線分別是

與

[1]呂林根，許子道.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]同濟大學數學系.高等數學（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]馮愛萍.曲面與曲線分別關于點、平面的對稱曲面和對稱曲線[J].科學技術與工程，2007，7（18）：4701-4703.

[4]鄭明華.解析幾何中有關對稱問題的處理[J].數學教學，2006（9）：24-25.

[5]馮愛萍.曲面、曲線關于直線的對稱曲面、對稱曲線[J].科學技術與工程，2008，8（17）：4961-4963.

[2]方麗箐.空間中關于平面的對稱問題[J].廣西民族學院學報，2002，8（4）：15-17.

〔責任編輯 高?！?/p>

Symmetry of Curved Surface and Curve in Three-Dimensional Space

ZHANG Hui-fen，WANG Lan-qing
（School ofMathematics and Computer Sciences，ShanxiDatong Universty，Datong Shanxi，037009）

This paper gives themethod to find out symmetrical curved surface，symmetrical curve of curved surface and curve，and then illustrate s the use of themethod.

curved surface；curve；symmetry

O182.2

A

1674-0874（2012）04-0001-03

2012-03-26

張慧芬（1974-），女，山西應縣人，碩士，講師，研究方向：微分方程。