進化穩(wěn)定策略在雙重對稱博弈中存在及證明

單長舟

(貴州大學理學院，貴州貴陽550025)

進化穩(wěn)定策略在雙重對稱博弈中存在及證明

單長舟

(貴州大學理學院，貴州貴陽550025)

通過對進化穩(wěn)定策略的刻畫來對雙重對稱博弈中進化穩(wěn)定策略存在進行等價證明，得出進化穩(wěn)定策略存在的兩個等價條件。

進化穩(wěn)定策略；雙重對稱博弈；進化博弈

1 引言

進化博弈理論，顧名思義，是由生物學中關于進化思想與博弈理論交叉而形成的一個新分支領域，首先出現(xiàn)在生物學中。19世紀70年代，生態(tài)學家Maynard Smith和Price提出了進化博弈理論的基本均衡概念——進化穩(wěn)定策略（ESS）。此后，生態(tài)學家Taylor和Jonker在考察生態(tài)演化現(xiàn)象時首次提出了進化博弈理論的基本動態(tài)概念——模仿者動態(tài)(Replicator Dynamics)。[1]至此，進化博弈理論有了明確的研究目標。至今關于進化博弈論及其應用的研究已有豐富的結果。[2，3]進化博弈假定給出博弈支付矩陣（Ak×kATk×k），用支付矩陣Ak×k描述進化博弈，從群體中隨機抽取2個個體進行博弈。純策略集合記為S={1,2,…n}，群體中采取的第i個純策略的比例xi表示第i個純策略的概率，記表示所有混合策略的集合。博弈方1采取策略x∈△，博弈方2采取策略y∈△，支付分別為xTAy，xTATx。當二者交換位置但策略不變時，二者的支付分別為：yTAx=xTATy，yTAx=xTAy，即博弈與位置沒有關系，用支付矩陣Ak×k就可描述進化博弈，當Ak×k=ATk×k時，博弈為雙重對稱博弈，也就是說隨機個體不僅位置對稱，而且收益一致，這對研究許多博弈的社會效率是非常重要的。本文研究雙重對稱博弈。

2 預備知識

定義2.1：x∈△是局部穩(wěn)定的，如果它有一個鄰域U使得對U中所有的y≠x，有

定義2.2：策略x∈△是局部嚴格有效的，如果它有鄰域U使得對U中所有策略y≠x，有

定理2.1：x∈△為一個進化穩(wěn)定策略(ESS)等價于存在x的鄰域U(x)，使得對任意x≠y∈U(x)，有xTAx＞yTAy。

定理2.2：當且僅當x是局部優(yōu)越的，x∈△ESS。

定理2.3:如果一個狀態(tài)是Lyapunov穩(wěn)定的，那么它是穩(wěn)態(tài)的。

定理2.4（自然選擇基本定理）:對任何雙重對稱性博弈而言，(x,x≥0)，當且僅當x∈△0時等號成立。[2]

3 主要結果

對任意的混合策略x∈△，令Qx?△表示賦予所有純策略正的概率的混合策略集合：

相對熵函數Hx：Qx→R，定義如下：

引理1:假設x∈△且y∈Qx，那么Hx(y)≥0，當且僅當y=x時等號成立。而且

定理3.1:對任何雙重對稱博弈，策略x∈△ESS當且僅當x∈△是局部嚴格有效的。

證明：假設矩陣AT=A，并令x∈△。對任何y≠x和，,

由于u是線性的，我們有由于u是對稱的，所以。

局部嚴格有效與x的局部優(yōu)越性有如下事實：當且僅當z≠x到x的距離在范圍內，y≠x到x的距離在范圍ε內。由定理2.2知，命題得證。

定理3.2:對任何雙重對稱博弈，策略x∈△ESS，等價于x∈△在復制子動態(tài)中是漸進穩(wěn)定的。證明：假設x∈△ESS，由定理2.2，存在x的鄰域U使得對所有在△∩U的y≠x，有：

我們已經指出，函數Hx的定義域QX是x的一個相對鄰域，因此根據引理1，Hx是鄰域V=Qx∩U上的復制子動態(tài)的嚴格局部Lyapunov函數。準確地說，Hx：V→R+是連續(xù)可微的，當且僅當y=x有Hx(y)=0且x(y)＜0,?y∈V。由定理2.3得知，策略x是漸進穩(wěn)定的。

由定理3.1知，現(xiàn)在只需由x∈△在復制子動態(tài)中是漸進穩(wěn)定的推出x∈△是局部嚴格有效的，進而得出策略x∈△ESS。如果x∈△是漸進穩(wěn)定的，那么它有每個鄰域U使得ξ(t,y)t→∞→x對U中所有的初始狀態(tài)都成立。由定理2.4，我們有u(y,y)＜u(x,x)對所有的y≠x都成立,進而此定理得證。

[1]Bomze，I.，and J.Weibull.Dose Neutral StabilityImply Lyapunov Satability[J].Games and Economic Behavior,1996,(11):173-192.

[2]WEIBULL J W．Evolutionary Gan1e Theory[M]．Hayward，USA：MIT Press，1995:45-110.

責任編輯：胡德明

Abstract:This paper proves the existence of evolutionary stable strategy in two-ford symmetrical games by the characterization of evolutionary stable strategy,and then obtains two equivalent conditions for the existence of evolutionary stable strategy.

Key words:evolutionary stable strategy;two-ford symmetrical game;evolutionary game

The Existence and Proof of Evolutionary Stable Strategy in Two-ford Symmetrical Games

Shan Changzhou
(College of Science,Guizhou University,Guiyang550025,China)

O225

A

1672-447X（2012）03-0006-002

2011-11-07

單長舟（1987-），安徽宿州人，貴州大學理學院碩士研究生，研究方向為非線性分析及應用。