應(yīng)用連續(xù)墨西哥帽小波變換對(duì)弱信號(hào)提取分析研究

薛澤春，李永剛，李連之，張憲璽，劉 穎

(1.山東省化學(xué)儲(chǔ)能與新型電池技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 聊城 252059;2.聊城大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院，山東 聊城 252059)

在進(jìn)行色譜分析或光譜分析過程中，信號(hào)強(qiáng)度較弱或噪聲信號(hào)較強(qiáng)，會(huì)造成信噪比較小，使有用信號(hào)不能完全充分反映試樣的信息，或分析樣品含量很低，信號(hào)較弱，而應(yīng)用小波變換，可發(fā)現(xiàn)合適信號(hào)［1］.目前，小波分析在故障診斷、圖像處理、語音識(shí)別、光譜分析［2］等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.在光譜分析中，由于小波分析具有優(yōu)良的多分辨率分析特性［3］，利用小波多尺度分析可把信號(hào)分解成高頻和低頻成分，實(shí)現(xiàn)去噪功能［4］.

小波變換主要是基于小波時(shí)頻局域化特性，頻率成分在時(shí)間軸上位置保持不變，頻率變換不影響信號(hào)的線性［2，5－6］，能夠同時(shí)展現(xiàn)信號(hào)時(shí)間－頻率性質(zhì).在獲取試樣信號(hào)過程中，噪聲信號(hào)一般頻率較高，而有用信號(hào)頻率較低，小波變換可以將信號(hào)按頻率分開.

1 小波變換原理

a用于控制伸縮，稱為尺度參數(shù)，b用于控制平移位置，稱為平移參數(shù)，φa，b(t)稱為小波函數(shù).小波變換為某信號(hào)f(t)∈R在小波域的投影，通常定義為f(t)和φa，b(t)的內(nèi)積，即:

小波變換由于a，b可變且具有時(shí)頻局部化特征，因此對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)顯示出了獨(dú)特的分析能力.在小波分析中，隨著尺度因子a的增大，小波φa，b(t)的窗口逐漸加寬，在時(shí)間軸上考慮范圍大，而在頻域上相當(dāng)于用低頻小波作概貌分析，對(duì)于較高頻率的噪聲信號(hào)濾波能力也隨之增強(qiáng)［10］.在低頻時(shí)，小波變換的時(shí)間分辨率較差，而頻率分辨率較高;在高頻時(shí)，小波變換的時(shí)間分辨率較高，而頻率分辨率較低.所以小波變換被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”［11－12］.

小波基的選取應(yīng)從一般原則和具體對(duì)象兩方面進(jìn)行考慮.一般原則包括正交性，緊支集，對(duì)稱性，平滑性.要完全滿足以上特性是十分困難的，小波的選取也沒有形成統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)［13］.可以采用嘗試的方法從多個(gè)小波基中選取合適的小波.

連續(xù)小波變換可以在較大的伸縮尺度上觀察信號(hào)的變化趨勢(shì)，變換系數(shù)用小波函數(shù)與信號(hào)相似性程度表示.系數(shù)大說明信號(hào)與小波函數(shù)相似程度大，選擇小波系數(shù)可以重現(xiàn)原信號(hào).在低尺度下，含有較多的噪聲信號(hào)，而在大尺度下基本上是要研究的信號(hào)，因此對(duì)小波系數(shù)累積求和，就可放大原信號(hào).

通過小波系數(shù)求和，就可以將噪聲中難以識(shí)別的信號(hào)強(qiáng)化，從而發(fā)現(xiàn)被原始信號(hào)掩蓋的信號(hào).

2 實(shí)驗(yàn)過程

2.1 模擬信號(hào)

分析信號(hào)多為高斯峰，應(yīng)用Matlab模擬一信號(hào)，并且為噪聲信號(hào)所淹沒，不能有效進(jìn)行定量定性分析.

取a=2，b=200，c=40，noise為噪聲，信號(hào)譜圖如圖1所示.信號(hào)被噪聲完全覆蓋，不能有效區(qū)別有效信號(hào)，也不能進(jìn)行定性、定量分析.

圖1 模擬信號(hào)

2.2 對(duì)信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波變換

用 mexh，db4，coif4，haar，meyr，morl小波分別對(duì)圖1信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波變換，并將變換系數(shù)求和，將弱信號(hào)放大，尋找最佳小波形式.

3 結(jié)果與討論

3.1 合適小波函數(shù)的選擇

用 mexh，db4，coif4，haar，meyr，morl小波對(duì)圖1信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波變換，并將變換系數(shù)求和，放大信號(hào)如圖2所示.

從圖2 可以看出，a，b，c，f在時(shí)間為 200 處出現(xiàn)強(qiáng)峰，此處正好是模擬信號(hào)的峰位置，因此mexh，db4，coif4，morl能夠反映出信號(hào)位置，但是b，c，f雜峰比較多，不如 a平滑;d，e在時(shí)間為200處沒有出現(xiàn)信號(hào)峰，不能反映模擬信號(hào)的位置.綜上所述，最好選擇墨西哥帽小波進(jìn)行小波變換.

圖2 連續(xù)小波變換后小波系數(shù)求和(a ～ f小波函數(shù)分別為 mexh，db4，coif4，haar，meyr，morl)

3.2 連續(xù)小波變換找出有效信號(hào)

將模擬信號(hào)用墨西哥帽小波進(jìn)行小波變換，尺度a取值為1∶96.如圖3所示，在低尺度，也就是頻率較高的信號(hào)，是噪聲信號(hào)的小波變換系數(shù);在大尺度，是頻率較低的信號(hào)，是有效信號(hào)的小波變換系數(shù).所以通過小波變換可以將混合信號(hào)按頻率分開.

圖3 模擬信號(hào)連續(xù)墨西哥帽小波變換圖

在圖3中，顏色的深淺代表小波系數(shù)的大小，顏色越深小波系數(shù)越大.從圖3可以看出，信號(hào)在時(shí)間為200的點(diǎn)處，各尺度的小波系數(shù)最大，此處也正好是信號(hào)的位置，說明通過小波變換可以找到信號(hào)峰的位置.

3.3 弱信號(hào)的放大

除去高頻的噪聲信號(hào)將小波變換系數(shù)加和，就可以將原來的弱信號(hào)放大，而峰位值不變.圖4為不同尺度條件下求和后作圖.

圖4 模擬信號(hào)連續(xù)墨西哥帽小波變換系數(shù)求和a～i分別為1～96、10～96、20～96、30～96、40～96、50～96、60～96、70～96、80～96小波系數(shù)之和)

從圖4可以看出，利用小波變換后系數(shù)求和可以放大原信號(hào)，但是求和范圍不同，所得圖形不一樣.范圍較小時(shí)，信號(hào)平滑性較差，不符合高斯線性關(guān)系;范圍較大時(shí)，信號(hào)夾雜很多噪聲信號(hào)，原因是連續(xù)小波變換會(huì)造成冗余信號(hào).因此，通過觀察最好從c、d、e中選擇，這里我們選擇d來進(jìn)行定量計(jì)算.

3.4 信號(hào)定量分析

將模擬信號(hào)按比例增大，然后用連續(xù)墨西哥帽小波變換，求其變換系數(shù)，加和以放大信號(hào)，研究其線性關(guān)系.

a=2，a=3，a=4，a=6，b=200，c=40分別作圖如圖5所示.

圖5 a=2，a=3，a=4，a=6 時(shí)模擬信號(hào)

在圖5中，有效信號(hào)被噪聲信號(hào)覆蓋，難于定量分析，將其用連續(xù)墨西哥帽小波變換，求其30～96層小波變換系數(shù)之和，并對(duì)時(shí)間作圖，如圖6所示.

圖6 模擬信號(hào)小波系數(shù)之和與時(shí)間關(guān)系圖

在原始模擬信號(hào)中不能觀察到的信號(hào)通過小波變換被放大，峰位值不變，并且能夠進(jìn)行定性定量分析.

圖7 信號(hào)強(qiáng)度與a值線性關(guān)系曲線

4 結(jié)語

弱信號(hào)分析是分析化學(xué)的一個(gè)重要方向.將信號(hào)通過連續(xù)墨西哥帽小波變換，頻率高的噪聲信號(hào)在尺度因子較小的位置，頻率較低的信號(hào)在尺度因子較大的位置.通過連續(xù)墨西哥帽小波變換能同時(shí)展現(xiàn)信號(hào)的時(shí)－頻信息的特點(diǎn)，從而能夠找出有用信號(hào)，將埋藏在噪聲信號(hào)中的有用信號(hào)小波變換系數(shù)加和，可以將弱信號(hào)放大，信號(hào)強(qiáng)度不同，小波變換系數(shù)加和也不同，并且具有良好的線性關(guān)系，能夠作為定性定量分析的依據(jù).

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