基于約束獨立成分分析的滾動軸承故障診斷

王志陽，陳 進，肖文斌，周 宇

(上海交通大學(xué) 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240)

獨立成分分析(ICA)是一種從多維統(tǒng)計數(shù)據(jù)中尋找隱含變量或成分的方法。區(qū)別于其它方法的本質(zhì)特征是這些成分既是統(tǒng)計獨立的又是非高斯的［1］。獨立成分分析(ICA)已廣泛應(yīng)用于通信工程［1-2］、語音處理［2-4］、生物工程［5-6］等許多領(lǐng)域，但在機械故障診斷中的應(yīng)用仍然面臨許多困難。目前的發(fā)展趨勢表明，ICA只有與被應(yīng)用對象相結(jié)合，才會有比較理想的效果。因為ICA僅利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計的獨立性進行分離，雖然適用性廣泛，但其缺點也較明顯。即ICA所利用的信息太過單一，是ICA具有幅值不定性和順序不定性的根本原因。而實際工程中所測得的數(shù)據(jù)除具有統(tǒng)計獨立性屬性外，還具有諸如時間結(jié)構(gòu)等其它工程屬性。獨立成分分析與機械故障診斷的關(guān)系也是如此。只有與機械故障診斷對象的先驗信息相結(jié)合，才能提高故障診斷的準(zhǔn)確性和成功率。另外，ICA的具體的應(yīng)用中，當(dāng)被應(yīng)用的對象確定后，其許多信息是已知的、可利用的。而約束獨立成分分析方法可以滿足這些要求。

如何從大量的數(shù)據(jù)中提取有用信息是機械故障診斷的顯著特點。約束獨立成分分析(cICA)將被研究對象的先驗信息融入ICA算法中，使算法在收斂的時候僅僅收斂于感興趣的故障信號，不僅可以提高故障診斷的針對性，且大大減少了計算量。因此約束獨立成分分析方法在機械故障診斷領(lǐng)域有巨大的應(yīng)用前景。

迄今為止，約束獨立成分分析方法在機械故障診斷中的應(yīng)用還相對較少。本文論述約束獨立成分分析方法的一般原理和方法，分析約束獨立成分分析方法在機械故障診斷中參考信號產(chǎn)生的原則和方法，并通過實驗驗證該方法在滾動軸承故障診斷中的適用性和有效性。

1 方法

1.1 獨立成分分析(ICA)

約束獨立成分分析(cICA)由獨立成分分析(ICA)發(fā)展而來。此處介紹ICA，再引出cICA的原理與方法。

基本的ICA模型為:假設(shè)k個可觀測的時間序列x(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xk(t)］由l個滿足獨立性的未知非高斯性源信號s(t)=［s1(t)，s2(t)，…，sl(t)］線性混合而成(l個信號源中至多有一個高斯性信號)，即:

則ICA方法在混合矩陣A和源信號向量s(t)均未知的條件下，求一個矩陣W，使得W對混合信號x(t)的線性變換:

對源信號s(t)或其某些分量的一個可靠估計。式中W稱為分離矩陣，C稱為全局矩陣或者混合-分離矩陣。

由中心極限定理知，獨立隨機變量之和的分布較任何一個原隨機變量更接近于高斯分布。因此，非高斯性是ICA估計的基礎(chǔ)。由信息理論，在所有方差相同的隨機變量中，高斯變量具有最大的熵，即，高斯變量是最隨機的。因此可用負(fù)熵度量非高斯性。負(fù)熵定義為:

負(fù)熵總是非負(fù)的，當(dāng)且僅當(dāng)y具有高斯分布時，負(fù)熵為零。對于可逆的線性變換，負(fù)熵也為不變量。最大化(3)式會產(chǎn)生一個獨立成分，即著名的One-Unit ICA算法［7］。采用負(fù)熵度量非高斯性所遇到的問題使其計算非常困難，按定義估計負(fù)熵需估計概率密度函數(shù)，常用某些近似方法［8］。此種方法是將高階矩陣近似地加以廣義化，即:

其中:ρ為正常數(shù)，v為零均值單位方差的高斯變量，G(·)為非二次函數(shù)。已經(jīng)證明下列形式是有用的:

式中:1≤a1≤2，常取作1。然后利用下面的定點迭代算法:

式中g(shù)是G的導(dǎo)數(shù)。α可用近似牛頓迭代方法搜索。

1.2 約束獨立成分分析(cICA)

One-Unit ICA方法理論上收斂于負(fù)熵的最大值。因此提取的獨立成分是混合信號中非高斯性最大的那個。如果想提取某個特定的獨立成分，除非該成分恰好就是非高斯性最大的那個，否則one-unit ICA方法就會失效。如果在One-Unit ICA的收斂算法中加上一個約束條件，當(dāng)該約束條件包含了感興趣信號的特征時，算法就會收斂于需要的獨立成分［9］。假設(shè)該約束條件可以表示成參考信號r(t)。定義待提取的獨立成分y和參考信號r(t)的距離函數(shù)為 ε(y，r)。ε(y，r)可用均方誤差ε(y，r)=E{(y-r)2}度量，也可用相關(guān)函數(shù)ε(y，r)=-E{yr}度量。則有以下不等式:

其中:w*是欲抽取的獨立成分對應(yīng)的最優(yōu)解混向量，wi(i=1，2，…，l-1)是其它獨立成分對應(yīng)的解混向量。則下述的約束函數(shù)有且只有在y=w*Tx時為真:

式中:J(y)為式(4)中描述的one-unit對照函數(shù);g(y)是約束函數(shù);h(y)和h(r)是分別約束輸出的獨立成分y和參考信號具有單位方差。式(10)實際上是一個約束優(yōu)化問題，可通過拉格朗日乘數(shù)法求解。

1.3 參考信號的建立

約束獨立成分分析方法中的參考信號應(yīng)該滿足兩個要求:① 反映待提取信號的特征。該要求為獨立成分分析方法中參考信號存在的根本原因。即，參考信號要包含應(yīng)用對象的先驗信息。此處僅需要參考信號反映待提取信號的特征，非待提取信號本身。該特性對建立參考信號具有重要的指導(dǎo)意義。② 參考信號是非高斯性信號或者可以轉(zhuǎn)換為非高斯性信號。約束獨立成分算法以獨立成分分析算法為基礎(chǔ)。而獨立成分分析以數(shù)據(jù)的非高斯為基礎(chǔ)，對照函數(shù)非高斯性(負(fù)熵)最大化求解。約束條件(參考信號)的加入只是改變并且能夠改變算法的收斂方向。因此，約束條件要能夠轉(zhuǎn)化為以非高斯性(負(fù)熵)為因子(自變量)的等式或不等式影響算法的收斂。

在機械故障診斷領(lǐng)域，有些先驗知識為已知的，如齒輪的嚙合頻率，滾動軸承的特征頻率等。這些都可以作為約束獨立成分分析(cICA)的約束條件。約束獨立成分分析中的參考信號不必和感興趣的信號完全相同，也沒有必要完全相同，否則cICA方法就失去了意義。在機械故障診斷中，故障往往表現(xiàn)為一系列有規(guī)律的沖擊。比如，工況穩(wěn)定時滾動軸承的故障表現(xiàn)為頻率恒定的沖擊序列。因此可以把沖擊的周期作為約束條件，使cICA算法收斂于故障信號，即將感興趣信號對應(yīng)的參考信號處置為單位方波而其它的區(qū)域置為零。

可以看出，這種參考信號建立方法由于其包含了被提取信號的周期，滿足參考信號建立的第一個要求。又因為它是一列方波序列。該參考信號為非高斯性信號，滿足約束獨立成分分析對參考信號要求的第二個條件。這種建立參考信號的方法稱為脈沖法。此方法本質(zhì)上是一種時域形狀特征約束，已經(jīng)在醫(yī)學(xué)工程特別是腦電圖(ECG)、腦磁圖(EEG)中有比較成功的應(yīng)用［11-13］。James等［14］已經(jīng)指出:參考信號的形狀應(yīng)盡可能與被抽取信號一致，或者每個方波的初相位應(yīng)該與被抽取信號的初相位一致。例如，在機械故障診斷中，如果要設(shè)計一個方波脈沖序列作參考信號，欲抽取一個50 Hz的旋轉(zhuǎn)頻率，只需要在用相關(guān)函數(shù)度量的情況下，每(1/50)s/(1/2 000)s=40個抽樣點要有一個波峰相關(guān)(這里抽樣頻率假設(shè)為2 000 Hz)。至于cICA算法中的閾值參數(shù)選擇問題，已有比較詳盡的討論［11-15］，此處不再贅述。

2 計算機仿真及分析

計算機仿真的目的是用cICA方法從合成的混合信號中抽取出故障信號。圖1是源信號的時域波形。源信號s1是一個鋸齒波。源信號s2是一內(nèi)圈故障的滾動軸承信號，來自Randall［16］的故障軸承模型。它綜合考慮了滾動軸承的結(jié)構(gòu)形狀、公差、幅調(diào)、滑移和表面破壞的因素。該模型在文獻［16-18］中已成功應(yīng)用。s3是一個高斯白噪聲信號。隨機產(chǎn)生一個混合矩陣A，上述三個信號按式(1)混合。圖2為可觀測的3個混合信號的時域波形。

實際工作中滾動軸承型號與轉(zhuǎn)速是已知的，因此其特征頻率可通過公式計算或查表法獲得［19］?，F(xiàn)產(chǎn)生一方波序列，使其周期等于模擬故障軸承的特征頻率，并以此為參考信號。用均方誤差作為參考信號和提取信號的相似性測度。圖3(a)為一個周期等于滾動軸承內(nèi)圈通過周期的方波序列，并以此為參考信號，圖3(b)為對應(yīng)的提取信號y的時域波形。

為更清楚地分析已提取出的信號，對抽取出的信號做包絡(luò)譜分析。圖4為圖3(b)中信號y的包絡(luò)頻譜圖，從圖4看出，在118.3 Hz處的兩邊等間距(16.67 Hz)地分布著100 Hz與135 Hz。這是內(nèi)圈故障頻率被轉(zhuǎn)頻調(diào)制的典型特征。因此，利用cICA方法正確地提取出了故障信號。

圖5是混合信號x1(相當(dāng)于一路傳感器信號，這里假設(shè)為傳感器1)和提取信號的包絡(luò)頻譜比較圖。從圖5中看出，提取信號的包絡(luò)頻譜僅包含了故障信號的信息，而傳感器1的包絡(luò)頻譜圖中故障信號的頻譜不明顯，并且包含了其它一些頻率成分。這表明，約束獨立成分分析由于僅僅提取了感興趣的故障信號，因此它的包絡(luò)頻譜比傳感器信號的包絡(luò)頻譜更加“干凈”和清楚。

如果用不正確的參考信號作為約束條件。例如使參考信號的頻率f=0.3fp(fp是滾動軸承的內(nèi)圈通過頻率)。圖6是利用cICA方法的抽取結(jié)果。結(jié)果顯示:此時沒有抽取出正確的故障信號。反復(fù)的實驗表明，只有正確的參考信號才能提取出感興趣的故障信號，不正確的參考信號無法提取出故障信號。

圖6 不正確的參考信號和提取信號y的時域波形以及y的包絡(luò)頻譜Fig.6 Time waveforms of the improper reference signal and the extracted signal y，and the corresponding envelope-spectrum graph of the extracted signal y

3 滾動軸承實驗及分析

實驗數(shù)據(jù)來自上海交通大學(xué)機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室。滾動軸承振動測試臺和傳感器布置如圖7所示。該試驗臺由交流電機驅(qū)動，通過聯(lián)軸器帶動轉(zhuǎn)子運轉(zhuǎn)。在測試過程中，滾動軸承的外圈固定在實驗臺架上，內(nèi)圈隨工作軸同步轉(zhuǎn)動。試驗軸承型號為GB6203，內(nèi)圈用電火花加工方法加工一弧長×長×寬=0.5×0.5×4(單位:mm)的故障。軸承試件如圖8所示。工作軸的轉(zhuǎn)速為720 r/min，經(jīng)查表計算，軸承的內(nèi)圈特征頻率為59.4 Hz。四個傳聲器的位置如圖8所示。信號采集系統(tǒng)用丹麥 B.K公司的 PULSE 6530C，采樣頻率為66 kHz。

四個傳聲器測得的聲信號為可觀測的混合信號。假設(shè)在故障診斷中希望從傳感器信號中判斷滾動軸承是否發(fā)生故障。為使用約束獨立成分分析方法，與前面仿真相同，一個頻率等于滾動軸承內(nèi)圈通過頻率(fip=59.4 Hz)的方波序列作為參考信號，算法的輸出結(jié)果示于圖9中。從抽取信號y的包絡(luò)頻譜可以看出，內(nèi)圈故障頻率(60.01 Hz)被轉(zhuǎn)頻(12.06 Hz)所調(diào)制。這表明，故障信號被正確地提取出來了。

如果約束條件使用了不正確的參考信號，例如，使參考信號的周期等于滾動軸承內(nèi)圈故障周期的0.15倍。則可得cICA算法的輸出如圖10所示。從圖10的包絡(luò)頻譜圖中看出，此時軸承的內(nèi)圈故障信號并沒有被提取出來。這表明，不正確的參考信號無法提取出正確的故障信號。這是因為約束條件(參考信號)中沒有包含感興趣信號的特征所致。

4 結(jié)論

本文研究了約束獨立成分分析方法及其在滾動軸承故障診斷中的應(yīng)用。綜上所述，結(jié)論如下:

(1)約束獨立成分分析中的參考信號只需要反映被提取信號的特征即可，不必要與被提取信號完全相同。

(2)只有正確的參考信號(反映故障信號的特征)才能提取出需要的故障信號;反之則不能。

(3)仿真表明，高斯性噪音信號在約束獨立成分分析中不影響故障信號的提取。

(4)通過約束獨立成分分析方法提取出的信號包絡(luò)頻譜比傳感器信號的包絡(luò)頻譜更加“干凈”和清楚。

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