S＝1鐵磁模型中阻挫和各向異性引起的量子相變

李俊英，彭曉亮，潘麗華，劉擁軍

（揚州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇揚州225002）

S＝1鐵磁模型中阻挫和各向異性引起的量子相變

李俊英，彭曉亮，潘麗華，劉擁軍＊

（揚州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇揚州225002）

利用密度矩陣重整化群（density matrix renormalization group，DMRG）方法研究近鄰作用為鐵磁耦合、次近鄰為反鐵磁耦合的一維S＝1的各向異性海森堡自旋模型.計算了該系統(tǒng)的基態(tài)能、z軸自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)和面內(nèi)自旋關(guān)聯(lián)函數(shù).結(jié)果表明：各向異性值Δ和阻挫α的相互作用使得系統(tǒng)基態(tài)發(fā)生相變；在低阻挫區(qū)域，Δ＞1時系統(tǒng)為鐵磁相，0＜Δ＜1時基態(tài)處于自旋液體相；在阻挫較大的區(qū)域，自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)隨距離的增大呈現(xiàn)指數(shù)函數(shù)形式衰減，且具有周期振蕩特征，與自旋S＝1／2的結(jié)果形成鮮明的對比.

密度矩陣重整化群；阻挫；各向異性；鐵磁海森堡模型；自旋關(guān)聯(lián)

近20年來，一維或準一維自旋系統(tǒng)基態(tài)的性質(zhì)一直吸引著人們的關(guān)注.在此類系統(tǒng)中，量子漲落和阻挫等因素的相互作用使得系統(tǒng)呈現(xiàn)出豐富、復(fù)雜且無經(jīng)典對應(yīng)的量子態(tài).按照HALDANE猜想［1］，在一維均勻的反鐵磁系統(tǒng)中，自旋S為整數(shù)的系統(tǒng)是有能隙的，自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)隨著距離的增大以指數(shù)函數(shù)形式衰減.反之，當自旋S為半整數(shù)時，系統(tǒng)是沒有能隙的，自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)隨著距離的增大以冪次函數(shù)形式衰減.此外，n條一維反鐵磁S＝1／2自旋鏈平行排列且相互耦合組成n條鏈的梯子模型［2－3］.n為奇數(shù)的梯子系統(tǒng)與S＝1／2單鏈系統(tǒng)的性質(zhì)類似：無能隙且自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)隨著距離的增大以冪次函數(shù)形式衰減；而n為偶數(shù)的梯子體系是有能隙的，自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)隨著距離的增大以指數(shù)函數(shù)形式衰減.近年來，Rb2Cu2Mo3，NaCu2，LiCuV等一些新材料的出現(xiàn)又掀起一股研究熱潮.這些材料中都包含邊共享的CuO2鏈，自旋局域于銅離子處位置，且最近鄰自旋間鐵磁相互作用、次近鄰自旋間存在一定的反鐵磁相互作用.另外，實驗顯示LiCuVO4相互作用存在一定的各向異性［7－8］；所以，最近鄰鐵磁耦合、次近鄰反鐵磁耦合（簡稱鐵磁－反鐵磁）的各向異性（Jx＝Jy≠Jz，XXZ）量子自旋鏈開始被人們關(guān)注.已有研究者［9－15］報道了自旋S＝1／2的鐵磁－反鐵磁XXZ自旋鏈的基態(tài)相圖.經(jīng)典理論說明除鐵磁相外，還會出現(xiàn)反鐵磁奈爾相和螺旋無共度相.最近，PLEKHANOV等［15］將相圖空間細劃成鐵磁相、兩個自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)隨距離的增大呈冪次函數(shù)形式衰減、無能隙的自旋液體相和兩個自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)隨距離的增大呈指數(shù)函數(shù)形式衰減、有能隙的相.在本文中，筆者將利用DMRG方法進一步探討一維S＝1的鐵磁－反鐵磁各向異性海森堡自旋模型的基態(tài)相圖.

1 研究模型和方法

本文研究的模型如圖1（a）所示，模型的哈密頓量為

其中si表示在格點i處的自旋算符；N為系統(tǒng)的格點數(shù)；J1＜0為近鄰鐵磁關(guān)聯(lián)強度，J2＞0為次近鄰反鐵磁關(guān)聯(lián)強度；Δ＞0表示近鄰各向異性強度.本文取J1＝－1.0，并定義α＝｜J2／J1｜為阻挫強度.這種一維鐵磁－反鐵磁模型可以等效為鏈間鐵磁關(guān)聯(lián)、鏈上反鐵磁關(guān)聯(lián)的兩條鏈的梯子模型［圖1（b）］.

在模型（1）中，若J2＝0，即只有近鄰相互作用，則為簡單的鐵磁鏈.［16］值得注意的是，各向同性的鐵磁基態(tài)是（N＋1）重簡并，而加入異軸各向異性后，鐵磁基態(tài)只有兩重簡并，格點處所有的自旋全部朝上（spins up）或朝下（spins down），因此可以認為是異軸各向異性解除部分簡并.若不考慮近鄰各向異性，即Δ＝1，則模型退化為各向同性的鐵磁－反鐵磁海森堡鏈.該系統(tǒng)在臨界點Jc＝1／4處存在一階相變：當0＜J＜Jc時，基態(tài)為鐵磁態(tài)（ferromagnetic state）；當J＞Jc時，基態(tài)為自旋單態(tài)（singlet incommensurate state）.

圖1 模型（1）的結(jié)構(gòu)圖（a）和等價的兩條鏈的zigzag梯子結(jié)構(gòu)（b）Fig.1 （a）One dimensional chain of the model（1），（b）mapping on a two－leg zigzag ladder

通過密度矩陣重整化群的數(shù)值方法［17］，開放邊界條件，保留的密度矩陣塊的最小維度M＝200，同時截斷誤差達到10－7，增大保留的態(tài)數(shù)可以提高計算的精度.本文主要通過分析各個參數(shù)條件下基態(tài)能及z軸自旋－自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)和面內(nèi)自旋－自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)隨格點間距的衰減行為，得到一個完整的基態(tài)能相圖.相距為r的兩格點的自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)的定義為：z軸關(guān)聯(lián)函數(shù)（也稱對角關(guān)聯(lián)函數(shù)）〉和面內(nèi)自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)（也稱非對角關(guān)聯(lián)函數(shù)）.為了減小邊界效應(yīng)，在計算兩個格點間的關(guān)聯(lián)函數(shù)時，一般盡可能對稱地從鏈的中間格點取值.

圖2 S＝1的各向異性的鐵磁－反鐵磁海森堡模型在（α，Δ）空間的相圖Fig.2 Quantum phase diagram of the anisotropic ferromagnetic－antiferromagnetic spin－1Heisenberg chain in the（α，Δ）plane

2 量子相圖

系統(tǒng)基態(tài)相圖如圖2所示.由圖2可見：①在低阻挫區(qū)域，Δ＞1時系統(tǒng)為鐵磁相（ferro）；0＜Δ＜1時基態(tài)處于自旋液體相（spin－fluid）；因此，在低阻挫區(qū)域，系統(tǒng)行為與S＝1／2各向異性鐵磁－反鐵磁模型相似；②但在阻挫較大的區(qū)域，系統(tǒng)基態(tài)與對應(yīng)的S＝1／2的基態(tài)相圖有很大區(qū)別，不再存在關(guān)聯(lián)函數(shù)隨距離的增大呈冪次函數(shù)形式衰減的自旋液體相區(qū)域；基態(tài)自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)隨距離的增大呈指數(shù)函數(shù)形式衰減特征，且存在周期振蕩行為；③相圖中取阻挫區(qū)間為0＜α＜1，如果反鐵磁阻挫更大，則系統(tǒng)等效于兩個鐵磁耦合的反鐵磁自旋鏈，其行為類似于一維是S＝1的海森堡自旋鏈.Δ＞1時，隨著阻挫的增強，基態(tài)從鐵磁相轉(zhuǎn)變到E－II相，基態(tài)能在臨界點的一階導(dǎo)數(shù)有奇點，該過程為一級相變；0＜Δ＜1時，隨著阻挫的增強，基態(tài)從自旋液體相轉(zhuǎn)變?yōu)镾－E相，基態(tài)能在臨界點的二階導(dǎo)數(shù)有奇點，該過程為二級相變.

2.1 自旋液體相

自旋液體相也稱XXZ相，因為此相的性質(zhì)類似于反鐵磁XXZ模型基態(tài)能的性質(zhì)，其關(guān)聯(lián)函數(shù)典型的行為如圖3所示.由圖3可見，自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)呈冪次函數(shù)形式衰減規(guī)律，其中在xy平面處于不同位置格點處自旋的排列呈反鐵磁排列，面內(nèi)自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)滿足～（－1，z軸關(guān)聯(lián)函數(shù)的自旋在z方向呈鐵磁排列，滿足.

2.2 S－E相

如圖4所示，S－E相與自旋液體相及E－I相連接，其關(guān)聯(lián)函數(shù)的特征為：z軸關(guān)聯(lián)函數(shù)隨距離的增大呈現(xiàn)指數(shù)函數(shù)形式衰減，但面內(nèi)關(guān)聯(lián)函數(shù)隨距離的增大呈現(xiàn)一定的準長程序.當異性強度Δ＜1時，隨著阻挫的增強，系統(tǒng)依次經(jīng)歷自旋液體相→S－E相、S－E相→E－I相的轉(zhuǎn)變.

2.3 E－I相和E－II相

在E－I相和E－II相中，軸關(guān)聯(lián)函數(shù)和面內(nèi)關(guān)聯(lián)函數(shù)隨距離的增大均呈指數(shù)函數(shù)形式衰減；但是，自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)在隨距離增大而呈現(xiàn)指數(shù)函數(shù)形式衰減的過程中，還出現(xiàn)了周期性的振蕩行為，其中E－I相僅面內(nèi)關(guān)聯(lián)函數(shù)具有振蕩行為（圖5），而E－II相中軸關(guān)聯(lián)函數(shù)和面內(nèi)關(guān)聯(lián)函數(shù)都具有振蕩行為（圖6），且隨著參數(shù)的變化振蕩的周期也發(fā)生變化.

圖3 Δ＝0.2，α＝0.1時自旋液體相的z軸關(guān)聯(lián)函數(shù)和面內(nèi)關(guān)聯(lián)函數(shù)Fig.3 z－Axis and in－plane correlations in the spin－fluid phase atΔ＝0.2，α＝0.1

圖4 Δ＝0.4，α＝0.5時S－E相的z軸關(guān)聯(lián)函數(shù)和面內(nèi)關(guān)聯(lián)函數(shù)Fig.4 z－Axis and in－plane correlations in the S－E phase atΔ＝0.4，α＝0.5

圖5 Δ＝0.2，α＝0.8時E－I相的z軸關(guān)聯(lián)函數(shù)和面內(nèi)關(guān)聯(lián)函數(shù)Fig.5 z－Axis and in－plane correlations in the E－I phase atΔ＝0.2，α＝0.8

圖6 Δ＝0.9，α＝0.6時E－II相的z軸關(guān)聯(lián)函數(shù)和面內(nèi)關(guān)聯(lián)函數(shù)Fig.6 Correlation in z－axis and in－plane correlations in the E－II phase atΔ＝0.9，α＝0.6

E－I和E－II相中關(guān)聯(lián)函數(shù)出現(xiàn)周期性振蕩行為的原因，可以歸結(jié)為鐵磁關(guān)聯(lián)和反鐵磁關(guān)聯(lián)之間競爭的結(jié)果.如果阻挫足夠大，則模型（1）可等價為：兩條S＝1的反鐵磁海森堡自旋鏈鏈間自旋存在鐵磁性耦合，此時自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)呈現(xiàn)指數(shù)函數(shù)形式衰減，與一維S＝1反鐵磁海森堡自旋鏈的關(guān)聯(lián)函數(shù)衰減行為類似，沒有振蕩特征.另外，該區(qū)域自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)的行為也與經(jīng)典理論中討論的螺旋無共度相吻合：自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)傅里葉變換得到的靜態(tài)結(jié)構(gòu)因子S（k）出現(xiàn)兩個峰，而一維反鐵磁海森堡模型的靜態(tài)結(jié)構(gòu)因子僅有k＝π的峰.

［1］ HALDANE F D M.Nonlinear field theory of large－spin Heisenberg antiferromagnets：semiclassically quantized solitons of the one－dimensional easy－axis Neel state［J］.Phys Rev Lett，1983，50（15）：1153－1156.

［2］ DAGOTTO E，RICE T M.Surprises on the way from 1Dto 2Dquantum magnets：the novel ladder materials［J］.Science，1996，271（52497）：618－623.

［3］ 陸文彬，潘麗華，劉擁軍.1／5摻雜反鐵磁海森堡自旋鏈的基態(tài)［J］.揚州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，12（4）：26－30.

［4］ HASE M，KUROE H，OZAWA K，et al.Magnetic properties of Rb2Cu2Mo3O12including a one－dimensional spin－1／2Heisenberg system with ferromagnetic first－nearest－neighbor and antiferromagnetic second－nearestneighbor exchange interactions［J］.Phys Rev B，2004，70（10）：104426：1－6.

［5］ DRECHSLER S L，RICHTER J，GIPPIUS A A，et al.Helical ground state and weak ferromagnetism in the edge－shared chain cuprate NaCu2O2［J］.Europhys Lett，2006，73（1）：83－89.

［6］ ENDERLE M，MUKHERJEE C，F(xiàn)AK B，et al.Quantum helimagnetism of the frustrated spin－1／2chain LiCuVO4［J］.Europhys Lett，2005，70（2）：237－243.

［7］ KRUG VON NIDDA H A，SVISTOV L E，EREMIN M V，et al.Anisotropic exchange in LiCuVO4probed by ESR［J］.Phys Rev B，2002，65（13）：134445：1－7.

［8］ VASI’EV A N，PONONARENKO L A，MANAKA H，et al.Magnetic and resonant properties of quasi－onedimensional antiferromagnet LiCuVO4［J］.Phys Rev B，2001，64（2）：024419：1－5.

［9］ DMITRIEV D V，KRIVNOV V Ya.Multimagnon bound states in an easy－axis frustrated ferromagnetic spin chain［J］.Phys Rev B，2009，79（5）：054421：1－10.

［10］ DMITRIEV D V，KRIVNOV V Ya.Weakly anisotropic frustrated zigzag spin chain［J］.Phys Rev B，2008，77（2）：024401：1－8.

［11］ HIKIHARA T，KABURAGI M，KAWAMURA H.Ground state phase diagrams of frustrated spin－S XXZ chains：chiral ordered phases［J］.Phys Rev B，2001，63（17）：174430：1－11.

［12］ SOMMA R D，ALIGIA A A.Phase diagram of the XXZ chain with next－nearest－neighbor interactions［J］.Phys Rev B，2001，64（2）：024410：1－4.

［13］ HEIDRICH－MEISNER F，MCCULLOCHI P，KOLEZHUK A K.Phase diagram of an anisotropic frustrated ferromagnetic spin－1／2chain in a magnetic field：a density matrix renormalization group study［J］.Phys Rev B，2009，80（14）：144417：1－9.

［14］ SOHEILIAN F，SOLTANI M R.Ground state phase diagram of the 1DXXZ model in a transverse magneticfield［J］.Indian J Phys，2010，84（3）：257－264.

［15］ PLEKHANOV E，AVELLA A，MANCINI F.The phase diagram of the extended anisotropic ferromagneticantiferromagnetic Heisenberg chain［J］.Eur Phys J B，2010，77（3）：381－392.

［16］ CLOIZEAUX J D，GAUDIN M.Anisotropic linear magnetic chain［J］.J Math Phys，1996，7（8）：1384－1400.

［17］ WHITE S R.Density－matrix algorithms for quantum renormalization groups［J］.Phys Rev B，1993，48（14）：10345－10356.

Abstract：By using the density matrix renormalization group（DMRG）method，the author investigates the diagram of the one－dimensional frustrated anisotropic ferromagnetic S＝1Heisenberg spin model，in which the nearest neighboring interactions are anisotropic ferromagnetic and the next nearest neighboring exchanges are considerable anti－ferromagnetic.The ground state energy and both the in－plane and out－of－plane spin correlation functions are calculated.Apart from the ferromagnetic phase and the spin－fluid phase in the small frustration region，but in the large frustration region，it is identified that spin correlations decay with a short－range exponential law and an oscillating behavior.The result is different from the previous result for S＝1／2.

Keywords：density matrix renormalization group；frustration；anisotropy；Heisengberg model；spin correlation function

（責(zé)任編輯 時 光）

Quantum phase transition caused by the frustration and anisotropic effect in the S＝1ferromagnetic model

LI Jun－ying，PENG Xiao－liang，PAN Li－h(huán)ua，LIU Yong－jun＊（Sch of Phys Sci ＆Tech，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China）

O 413.1

A

1007－824X（2012）02－0029－05

2012－02－22

江蘇省科技支撐計劃（工業(yè)）項目（BE2009106）

＊聯(lián)系人，E－mail：yjliu＠yzu.edu.cn