Minty型含參數(shù)擬變分錐的穩(wěn)定性

陳建弘，黃龍光

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建廈門361021)

Minty型含參數(shù)擬變分錐的穩(wěn)定性

陳建弘，黃龍光

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建廈門361021)

通過集值映射的各種上、下半連續(xù)性，研究一類參數(shù)擬變分錐的Minty型類似不等式的解集特征，給出其解集，近似解集的上、下半連續(xù)的充分性條件，進(jìn)而研究Minty型含參數(shù)擬變分錐的穩(wěn)定性，并通過建立近似解集的上半連續(xù)的充分條件給出擬變分錐優(yōu)化問題解的刻畫．

擬變分錐;穩(wěn)定性;連續(xù)性;閉性

0 引言

含參數(shù)變分不等式在優(yōu)化問題和經(jīng)濟(jì)均衡理論中有重要作用，為此，人們不遺余力地加深和拓展它的內(nèi)涵和外延:Minty［1］提出經(jīng)典Minty含參數(shù)不等式問題;Fan等［2］探討含參數(shù)廣義變分不等式的Stampacchia和Minty型的解集的穩(wěn)定性問題;Khanh等［3］研究解集、近似解集的半連續(xù)問題．雖然擬變分不等式很早就被提出，并在經(jīng)濟(jì)、工程等各方面都有廣泛應(yīng)用［4－5］，但是Minty型含參數(shù)擬變分不等式的解集穩(wěn)定性方面目前尚未進(jìn)行系統(tǒng)研究．文獻(xiàn)［6］僅探討數(shù)值函數(shù)的含參數(shù)擬變分不等式的穩(wěn)定性問題，本文主要在錐條件下研究Minty型含參數(shù)擬變分的解的穩(wěn)定性問題．

設(shè)E與A分別是賦范空間X與Y中的非空閉子集與非空閉凸子集，C是Y中的閉凸尖錐，K:E×Y→2Y與T:E×Y→2L(Y，Y)是集值映射．dom K={(x，y)∈E×Y:K(x，y)≠?}．本文研究下列問題:對(duì)x0∈E，找u0∈K(x0，u0)∩A ，使得(MVI(x0))〈t，u0－v〉∈－C ，?v∈K(x0，u0)，?t∈T(x0，v)．本文總設(shè)M(x0):={u∈K(x0，u0)∩A，〈t，u0－ v〉∈－ C，?v∈K(x0，u0)，?t∈T(x0，v)}≠ ? ．

1 解集的上半連續(xù)性

定義1［6－7］集值映射F在x0∈F是B－usc當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意開集N，滿足F(x0)?N，存在δ＞0，使得對(duì)任意的x∈B(x0，δ)，有F(x)?N;集值映射F在x0∈F是B－lsc當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意開集N，滿足F(x0)∩N≠?，存在δ＞0，使得對(duì)任意的x∈B(x0，δ)，有F(x)∩N≠?．

定理1 對(duì)于x0∈E，如果:ⅰ)K在{x0}×Y是閉的，并且是B－lsc;ⅱ)T在{x0}×Y是B－lsc;ⅲ)A是Y的緊子集，那么M在x0是B－usc［6］且是閉的，同時(shí)M(x0)是緊的．

證明 假設(shè)M在x0不是B－usc，則存在一開集V，滿足M(x0)?V，使得對(duì)任意的序列xn→x0，存在un∈M(xn)但un?V，對(duì)任意n．由于un∈K(xn，un)∩A，A是緊的，不失一般性，假設(shè)un→u0∈AV．由于K在{x0}×Y是閉映射，可得u0∈K(x0，u0)．由un∈M(xn)，有

下證u0∈M(x0)．反之，若u0?M(x0)，那么存在v0∈K(x0，u0)，t0∈T(x0，v0)，使得

由K 在 (x0，u0)是 B －lsc，v0∈ K(x0，u0)，(xn，un)→(x0，u0)，存在 vn∈K(xn，un)使得 vn→v0．類似地，由 T在 {x0}×Y是B －lsc，t0∈K(x0，v0)，(xn，vn)→(x0，v0)，存在 tn∈T(xn，vn)使得 tn→t0．在式 (1)中取v=vn，t=tn，且令n→∞，取極限有

與式 (2)矛盾．因此，u0∈M(x0)?V，與un→u0∈AV矛盾，故M在x0是B－usc的．

為了證明M(x0)是緊的，先證明M(x0)是閉集．若M(x0)不是閉集，則存在un∈M(x0)，使得un→u0，u0?M(x0)．由于K在{x0}×Y是閉映射，因此 u0∈ K(x0，u0)．同樣，由于u0?M(x0)，存在v0∈K(x0，u0)，t0∈T(x0，v0)，使得式 (2)成立．另外，類似上面的證明又可得式(3)成立，同樣與式 (2)矛盾．此外，由于M(x0)?A，A是緊的，可推得M(x0)是緊的．由文獻(xiàn)［8］可推得M在x0是閉的．

下面結(jié)論表明用序列方式取代K，T在{x0}×Y是B－lsc，定理1仍然成立．

定理2 對(duì)于x0∈E，如果:ⅰ)K在{x0}×Y是閉的;ⅱ)A是Y的緊子集;ⅲ)?u0∈K(x0，u0)∩ A，?(xn，un)→(x0，u0)，

可推得存在一正整數(shù)n，使得〈t，un－v〉?－C，對(duì)某v∈K(xn，un)，t∈T(xn，v)，那么M在x0是B－usc且是閉的，同時(shí)M(x0)是緊的．

證明 假設(shè)M在x0不是B－usc，則存在一開集V，滿足M(x0)?V，使得對(duì)任意的序列xn→x0，存在un∈M(xn)但un?V，對(duì)任意n．由于un∈K(xn，un)∩A，A是緊的，不失一般性，假設(shè)un→u0∈AV．由于K在{x0}×Y是閉映射，可得u0∈K(x0，u0)．由un∈M(xn)有

可得u0∈M(x0)．反之，若u0?M(x0)，那么〈t0，u0－v0〉?－C，對(duì)v0∈K(x0，u0)，t0∈T(x0，v0)．由于(xn，un)→(x0，u0)，由條件ⅲ)的假設(shè)，則存在 n使得〈t，un－v〉?－C，對(duì) v∈ K(xn，un)，?t∈T(xn，v)，這與式 (5)矛盾．因此，u0∈M(x0)，與un?V(n任意)矛盾．M(x0)是緊的，M在x0是閉的證明與定理1證明類似．

注1 容易看出，定理1中K，T是B－lsc，可以推出定理3ⅲ)．事實(shí)上定理3ⅲ)是更一般的條件，通常用來取代映射K和T的連續(xù)假設(shè)．這表明如果式 (4)對(duì)v0∈K(x0，u0)，t0∈T(x0，v0)成立，那么對(duì)v∈K(xn，un)，t∈T(xn，v)至少有一系列(xn，un)→(x0，u0)使式 (4)也成立．

關(guān)于近似解集，有與定理1、定理2類似的以下兩個(gè)定理．

定理3 對(duì)x0∈E，如果滿足定理1的條件，那么對(duì)任意在x0是B－usc且閉的，同時(shí)對(duì)任意是緊的．

定理4 對(duì)x0∈E，如果滿足定理2ⅰ)、ⅱ)的條件，如果?u0∈K(x0，u0)∩A，?(xn，un)→，對(duì) v0∈K(x0，u0)，t0∈T(x0，v0)，存在一正整數(shù)n，使得〈t，un－對(duì) v∈ K(xn，un)，t∈ T(xn，v)，那么在 x0是 B －usc且閉的，同時(shí)是緊的．

2 解集的下半連續(xù)性

下面通過適當(dāng)?shù)臈l件討論解集的下半連續(xù)性及建立涉及映射K和T的序列條件．

定理5對(duì)于x0∈E，如果:ⅰ)在x0是B－lsc，K(x0，u0)∩A ，?(xn，un)→(x0，u0)，〈t，u0－ v〉∈－ C ，?v∈K(x0，u0)，?t∈T(x0，v)，可推得存在一正整數(shù)n，使得〈t，un－v〉∈－C，?v∈K(xn，un)，?t∈T(xn，v)，那么M在x0是B－lsc．

證明 假設(shè)M在x0不是B－lsc，則存在E中一序列{xn}，xn→x0，u0∈M(x0)，使得對(duì)任意序列由于在x0是，則存在一序列un→u0．由上面的假設(shè)，不失一般性，如果，那么

由于 un∈M(x0)，使得〈t，u0－ v〉∈－ C ，?v∈ K(x0，u0)，?t∈ T(x0，v)．由于 (xn，un)→ (x0，u0)，由條件ⅱ)的假設(shè)，存在 n，使得〈t，un－ v〉∈－ C，?v∈ K(xn，un)，?t∈ T(xn，v)，這與式(6)矛盾．

下面給出映射－T的廣義單調(diào)可建立解集的下半連續(xù)性的條件．

定義2 F是集值映射，ⅰ)稱F在X上是偽單調(diào)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何x，x0∈X，〈ξ，x－x0〉∈C，ξ∈F(x0)? ＜η，x－x0＞∈C，?η∈F(x);ⅱ)稱F在X上是擬單調(diào)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何x，x0∈X，x≠x0，〈ξ，x－x0〉?－C，ξ∈F(x0)?〈η，x－x0〉∈C，?η∈F(x)．

定理6 對(duì)于x0∈E，假設(shè)定理1的條件成立，且:ⅰ)對(duì)任意的u0∈M(x0)，〈t，u0－v〉?C．?v∈M(x0){u0}，t∈T(x0，v);ⅱ) －T在{x0}×Y是擬單調(diào)的，則M在x0是B－lsc．

證明 假設(shè)M在x0不是B－lsc，則存在E中一序列{xn}，xn→x0，u0∈M(x0)，使得對(duì)任意序列un∈M(xn)，unu0．由于un∈A，A是Y的緊子集，不失一般性，假設(shè)un→u'∈A．由定理2可得u'∈ M(x0)．由上面的假設(shè)有 u0≠u'．由 u0，u'∈M(x0)和條件ⅰ)得:〈t'，u0－u'〉?－C，t'∈－ T(x0，u')，〈t0，u0－ u'〉? C，t0∈－T(x0，u0)，這與 －T是擬單調(diào)矛盾．

定理7 對(duì)于x0∈E，假設(shè)定理1的條件成立，且:ⅰ)對(duì)任意的u0∈M(x0)，〈t，u0－v〉∈－C．?v∈M(x0)，t∈T(x0，v);ⅱ) －T在{x0}×Y是偽單調(diào)的;ⅲ)〈t，u－v〉=0，?t∈T(x0，u)∪T(x0，v)?u=v，則 M 在 x0是 B －lsc．

證明 由定理6的前半部分證明有u0≠u'．由u0，u'∈M(x0)和條件ⅰ)得

由于－T是偽單調(diào)的，由式 (7)和式 (8)分別得〈t0，u0－u'〉∈C和〈t0，u'－u0〉=0．由條件ⅲ)有u0=u'，導(dǎo)致矛盾．

3 具擬變分錐條件的優(yōu)化問題解的穩(wěn)定性

觀察上面的近似解集的穩(wěn)定性，可提供一個(gè)條件確保上半連續(xù)．

定理8 如果定理1的條件成立，并且:ⅰ)E是Rn的有界子集;ⅱ)f是下半連續(xù)，那么?δ≥0，Ωδ在=0時(shí)是 B －usc的．

證明 令δ∈C是固定的．假設(shè)Ωδ在=0時(shí)不是B－usc的，則存在一開集V，滿足Ωδ(0)?V，使得對(duì)任意的序列，存在但，對(duì)任意 n．由可得對(duì)

由定理1條件ⅰ)，不失一般性，假設(shè)(xn，un)→(x0，u0)，類似于定理1的證明有u0∈M(x0)．由f是下半連續(xù)和式 (9)，有．再由u0∈M(x0)可得(x0，u0)∈Ωδ(0)?V，與對(duì)任意n，(xn，un)?V矛盾．

推論1 如果定理1的條件ⅰ)、條件ⅱ)滿足，并且:ⅰ)存在d∈int C，δ≥0，使得Ωδ(d)有界;ⅱ)f是下半連續(xù)的，那么?δ≤δ'，Ωδ在時(shí)是B－usc的．

證明 假設(shè)Ωδ在不是B－usc的，對(duì)δ≤δ'，則存在一開集V，滿足Ωδ(0)?V使得對(duì)任意的序列，存在但 (xn，un)?V ，對(duì)任意 n．由于對(duì)，存在一正整數(shù)m，使得不失一般性，假設(shè)(xn，un)→(x0，u0)．由，對(duì)，有．再類似定理8的證明可知定理9成立．

定理9 如果定理2的條件成立，并且:ⅰ)E是Rn的有界子集;ⅱ)f是下半連續(xù)，那么?δ≥0，Ωδ在時(shí)是 B －usc的．

注2 由于Ωδ在時(shí)是B－usc的，不論是定理8還是推論1的條件，Ωδ在時(shí)是B－連續(xù)［6］的．

［1］ MINTY G J．On the generalization of a direct method of the calculus of variation ［J］．Bull Am Math Soc，1967，73:315-321．

［2］ FAN J H，ZHONG R Y．Stability analysis for variational inequality in reflexive Banach space ［J］．Nonlinear Anal，2008，69(8):2566-2574．

［3］KHANH P Q，LUU L M．Lower semicontinuity and upper semicontinuity of the solution sets and approximate solution sets of parametric multivalued quasivariational inequalities［J］．J Optim Theory Appl，2007，133(3):329-339．

［4］ CHAN D，PANG J S．The generalized quasivariational inequality problem ［J］．Math Oper Res，1982，7:211-222．

［5］ YAO J C．The generalized quasivariational inequality problem with applications ［J］．J Math Anal Appl，1991，158:139-160．

［6］ LALITHA C S，GUNEET BHATIA．Stability of parametric quasivariational inequality of the Minty Type ［J］．J Optim Theory Appl，2011，148(2):281-300．

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［8］ AUBIN J P，EKELAND I．Applied nonlinear analysis［M］．Dover:Mineola，2006．

(責(zé)任編輯 馬建華 英文審校 黃振坤)

Stability of Parametric Quasivariational Cone of the Minty Type

CHEN Jian-hong，HUANG Long-guang
(School of Science，Jimei University，Xiamen 361021，China)

Stability of a parametric quasivariational cone of the Minty type was studied in various sufficient conditions characterizing upper and lower semicontinuity of the solution sets as well as the approximate solution sets，which were similar to the solution sets of inequality．Sufficient conditions ensuring upper semicontinuity of the approximate solution sets of an optimization problem with quasivariational cone constraints were also presented．

quasivariational cone;stability;semicontinuity;closedness

O 174.13

A

1007－7405(2012)04－0301－04

2011－12－28

2012－03－21

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (11074099)

陳建弘 (1983—)，女，碩士生，從事應(yīng)用泛函分析研究．通訊作者:黃龍光 (1961—)，男，教授，從事應(yīng)用泛函分析研究，E-mail:hlgsj@163.com．