線性插值方法在PT勵磁特性曲線求取中的應(yīng)用

杜正旺

(勝利油田電力管理總公司，山東東營257000)

0 引言

對非線性鐵磁諧振現(xiàn)象無論是理論分析還是仿真研究，都需要較為精確的PT(電壓互感器)勵磁特性曲線，鐵芯材料的非線性特性是影響其運行性能的關(guān)鍵因素［1］.常規(guī)PT勵磁特性曲線是經(jīng)過試驗后得到有效值的伏安特性曲線，而分析鐵磁諧振現(xiàn)象則需要電壓互感器的瞬時值的勵磁特性曲線(以下簡稱勵磁特性曲線).目前，勵磁特性曲線的求取方法基本分為兩大類：一類是采用實測的方法可以直接求取結(jié)果，但對設(shè)備要求較高，而且測量方法復雜，一般很少采用;另一類是用間接擬合的方法，將電壓互感器的瞬時值勵磁特性曲線假設(shè)為某種模型，然后將之轉(zhuǎn)化為電壓電流有效值的關(guān)系，利用測量得到的伏安特性值進行參數(shù)的擬合［2－4］.

PT勵磁特性曲線模型通常假設(shè)為四種類型：一是分段線性化的模型;二是有理多項式的模型;三是雙曲函數(shù)的模型;四是綜合分段模型.分段線性化模型［5－6］擬合得到的特性曲線不夠平滑，當分段較多時，不利于計算和分析.有理多項式模型［7］的缺陷是當樣本點不足時曲線的擬合精度不高，特別是深度飽和區(qū)誤差較大，而且當模型的階數(shù)較大時，曲線有可能不單調(diào).雙曲函數(shù)模型［8］在擬合過程中不容易收斂，而且線性部分的特性也不理想.若采用三段擬合的方法，即第一段(線性區(qū)段)為有理多項式，第二段為雙曲函數(shù)，第三段為直線.該方法在一定程度上提高了PT勵磁特性曲線的擬合精度，當樣本點不足時，其線性部分的擬合效果可能出現(xiàn)不理想的情況，而且將勵磁特性分為復雜的三段函數(shù)，使得非線性鐵磁諧振的定量分析相對比較復雜.

筆者求取PT勵磁特性曲線時，在深度飽和區(qū)之前采用有理多項式模型，在深度飽和區(qū)采用線性模型.為了解決多項式擬合模型在擬合過程中數(shù)據(jù)不足和深度飽和區(qū)之前不精確問題，筆者首先對測量的伏安特性數(shù)據(jù)在線性部分進行插值，然后再結(jié)合最小二乘法和牛頓迭代法對PT勵磁特性曲線模型進行擬合.

1 基本原理

1.1 勵磁特性曲線擬合的基本思想

PT的電流i和φ磁鏈之間是非線性關(guān)系，根據(jù)電流和磁鏈的函數(shù)關(guān)系是奇函數(shù)的特點，采用下述多項式擬合其勵磁特性曲線［5］，即曲線模型為

根據(jù)所測伏安特性數(shù)據(jù)Uk和Ik，k=1，…，M，M為測量的伏安特性數(shù)據(jù)點數(shù).利用最小二乘法對參數(shù)(a1，…，a2N+1)進行估計，構(gòu)造目標函數(shù)(即總體方差)：

1.2 牛頓迭代法求解非線性代數(shù)方程

由前面推導知：方程(4)是一個非線性方程，采用牛頓迭代法進行求解.假設(shè)第k次求解的參數(shù)為Ak，與真實值之間的差(即修正值)為ΔAk，將F(Ak，U)用一階泰勒級數(shù)展開：

將式(5)代入方程(4)中就得到修正方程：

牛頓法進行最小二乘擬合步驟如下所示.

第一步：輸入測量的伏安特性值(Uk，Ik);

第二步：將需要估計的參數(shù)賦初值A(chǔ)0;

隨著我國礦山開采機械化水平的提高，大型礦井和千萬噸級別高產(chǎn)高效工作面的增加，礦井建設(shè)和礦井開拓接續(xù)問題凸顯[1-3]。“十二五”期間，國家“863 計劃”重點項目“煤炭智能化掘采技術(shù)與裝備”的“礦山豎井掘進機研制” 課題，已開發(fā)出具有安全防護的豎井綜合鑿井裝備——MSJ5.8/1.6D型礦山豎井掘進機。MSJ5.8/1.6D型礦山豎井掘進機是一種涉及多學科的技術(shù)密集型施工設(shè)備，主要應(yīng)用于豎井井筒建設(shè)，能夠?qū)崿F(xiàn)快速機械破巖、支護，是大型現(xiàn)代化礦井建設(shè)機械化的發(fā)展方向，具有廣闊的應(yīng)用前景[4-8]。

第三步：分別用伏安特性值求出向量Y，F(xiàn)和H0，利用式(6)求出修正量ΔA0;

第四步：進行修正：Ak+1=Ak+ΔAk.

如果修正量小于設(shè)定的誤差，則修正后輸出結(jié)果，否則修正后，返回第三步，重復進行計算，直到修正量(誤差)滿足事先設(shè)定的值為止.牛頓法進行參數(shù)擬合的計算流程如圖1所示.

1.3 線性插值法

通過上面的數(shù)學模型推斷及計算流程判斷，用多項式模型來擬合磁鏈 －電流特性的缺陷在于三個方面，其一是樣本點數(shù)限制擬合的階數(shù);其二線性部分和深度飽和之前的飽和區(qū)的擬合精度不太精確，這不符合PT勵磁特性的特點;其三深度飽和區(qū)用多項式模型擬合精度不高，這也不符合PT勵磁特性的特點.我們希望在整體誤差不增大的前提下，減少線性部分和PT深度飽和區(qū)之前的誤差.

圖1 擬合勵磁曲線的流程Fig.1 The Process of fitting excitation characteristic curves

顯然，多項式的階數(shù)越高，擬合精度越高，而多項式的階數(shù)越多，所需要估計的參數(shù)就越多，假設(shè)擬合的階數(shù)為2N+1，則未知的參數(shù)個數(shù)就是N個，而測量的伏安特性的樣本點M必須遠大于N才能有效地消除測量誤差的影響.因此，當階數(shù)提高后，測量伏安特性的樣本點個數(shù)是相對不足的.

其次，用最小二乘法進行擬合，因為目標函數(shù)是方差之和，則估計出來的參數(shù)使整體誤差達到最小的參數(shù).計算出來的誤差可能較大，會產(chǎn)生不符合PT實際勵磁特性的情況，我們需要對深度飽和區(qū)之前的飽和區(qū)和線性區(qū)的誤差進行控制，調(diào)整誤差分布，使得深度飽和區(qū)之前的飽和區(qū)和線性區(qū)的誤差較小.為此，可以通過增加線性區(qū)數(shù)據(jù)權(quán)重的方法，達到控制誤差目的.

線性插值方法就是在伏安特性的線性區(qū)域采用線性插值的方法，增加線性區(qū)域樣本點的個數(shù)，從而增加線性區(qū)數(shù)據(jù)的樣本權(quán)重，從而達到減少線性區(qū)和深度飽和區(qū)之前區(qū)域的誤差目的.

在線性區(qū)，由伏安特性取電流［I1，I2，…，IK］，相應(yīng)的電壓為［U1，U2，…，UK］，運用線性插值，可以得到一組新的數(shù)據(jù)：

把上述數(shù)據(jù)增加到原來的數(shù)據(jù)中，這樣插值之后，每插值一次，線性區(qū)的伏安特性數(shù)據(jù)點數(shù)就增加了K－1個，插值的次數(shù)越多，線性區(qū)的伏安特性數(shù)據(jù)就越多，最小二乘擬合時，線性區(qū)域的誤差就越小.同時，由于最小二乘擬合是整體方差和最小，因此相應(yīng)的非線性部分的誤差可能會增加，但筆者在深度飽和區(qū)采用線性模型，這樣深度飽和區(qū)的誤差并沒有增大(后面的仿真表明，非線性部分誤差并沒有增加，但總體誤差下降了)，這樣就達到了提高整體擬合精度的目的.

2 實際算例仿真驗證

以文獻［8］提供的6 kV電壓互感器的伏安特性為例，數(shù)據(jù)如表1所示，表中數(shù)據(jù)為標幺值，電壓和電流的基準分別為

表1 高壓側(cè)測量的6 kV PT伏安特性數(shù)據(jù)Tab.1 The Voltage-Current characteristic of VT

首先確定有理多項式模型的階數(shù)，為了擬合較為精確的模型，筆者在深度飽和區(qū)之前采用7次多項式，在深度飽和區(qū)采用線性模型，則其PT勵磁特性曲線模型為

首先將插值前后的數(shù)據(jù)分別運用最小二乘法進行擬合，然后把擬合的曲線和實際的數(shù)據(jù)點比較，最后分析插值次數(shù)與總體誤差的關(guān)系.

2.1 線性插值前后的擬合效果和誤差對比

對于上述PT，在標幺值參數(shù)下：①當I＜2時，PT工作在線性區(qū)(I段);②當2＜I＜6時，PT工作在深度飽和區(qū)之前的未完全飽和區(qū)(II段);③當I＞6時，PT工作在深度飽和區(qū)(III段).

當PT的線性區(qū)數(shù)據(jù)進行線性插值時，就是對I段數(shù)據(jù)進行插值，也就是對表1中的前8組數(shù)據(jù)進行插值.插值前后的擬合曲線與原始數(shù)據(jù)的勵磁特性曲線對比如圖2所示，其對應(yīng)的誤差曲線如圖3所示.

圖3中所示的曲線1(對應(yīng)圖2中的曲線2)為運用表1中的數(shù)據(jù)運用1.1節(jié)和1.2節(jié)方法進行擬合的曲線;圖3中曲線2(對應(yīng)圖2中的曲線3)為對表1的前8組數(shù)據(jù)插值11次后再結(jié)合表中的其他數(shù)據(jù)并運用1.1節(jié)和1.2節(jié)方法進行擬合的曲線.從圖3中誤差曲線的對比情況可以看出：插值前后的I段和II段數(shù)據(jù)得到更好的擬合，深度飽和區(qū)完全可以用一段直線來代替.

2.2 插值的次數(shù)與整體誤差的關(guān)系

經(jīng)過前面的分析，大家可能會存在是不是插值的次數(shù)越多越好的疑問.經(jīng)過應(yīng)用MATLAB仿真軟件進行多次仿真，得出的結(jié)論是：插值的次數(shù)與擬合效果不成正比，其中在進行9次插值時，整體的最大相對誤差最小，進行11次插值后，線性部分的最大相對誤差最小，具體的情況如圖4所示.

圖4 插值次數(shù)與最大誤差關(guān)系圖Fig.4 The relationship between interpolation times and maximum fitting error

如圖4所示，插值以后，勵磁特性曲線的深度飽和區(qū)以前的整體誤差有了明顯的減小，但是在插值過程中，由于插值誤差的存在，插值次數(shù)越多，插值誤差也積累，于是出現(xiàn)了誤差曲線達到最低點后又上升的現(xiàn)象.

3 結(jié)論

筆者在伏安特性曲線測量的范圍內(nèi)，采用有理多項式模型，在深度飽和范圍外采用直線模型，對PT勵磁特性曲線模型進行擬合.在擬合過程中引用數(shù)學領(lǐng)域的線性插值法進行插值，彌補了測量伏安特性數(shù)據(jù)樣本點不足的缺陷，并且仿真驗證給出了插值次數(shù)并不是越多，擬合效果越好的結(jié)論.最后，筆者通過應(yīng)用MATLAB仿真軟件，仿真驗證比較了線性插值前后勵磁特性曲線誤差情況，為更好地分析鐵磁諧振發(fā)生提供了重要的前提條件.

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