琚宏昌,陳玲玲,張 璇
(廣西工學院鹿山學院土木工程系,廣西柳州545616)
可以采用多種不同的方法對復合材料體彈性常數(shù)進行預測.國內(nèi)外學者提出了多種基于平均意義上的細觀力學方法來預測復合材料有效性能,較為成熟的方法有:Eshelby等效夾雜理論、稀疏分布模型、Mori-Tanaka方法、自洽方法、微分法、廣義自洽法等,這些方法可以大致分為兩類,即混合方法[1]和微觀力學方法[2-8].
筆者基于細微觀力學的觀點及Eshelby等效夾雜理論,提出了一種復合材料總體有效彈性常數(shù)進行估計的綜合方法,以有效彈性常數(shù)Voigt估計和Reuss估計分別作為均勻化對比材料,可以得到比Hashin-Shtrikman上下限更緊的新上下限.
設一含有n個夾雜的復合材料體,n個夾雜的彈性剛度張量分別為 L1,L2,…,Ln,基體的彈性剛度張量為L0,n個夾雜所占的體積分數(shù)分別為 c1,c2,…,cn,基體的體積分數(shù)為 c0.顆粒復合材料體積分數(shù)存在下列關系:
Voigt估計采用并聯(lián)模型.假定在載荷作用下,各組成部分(n個夾雜及基體)的變形相同,都等于復合體的平均應變,即 εr=,(r=1,2,…,n),復合材料體的平均應力為
各組成部分的彈性本構(gòu)關系為
將方程(3)代入方程(2),得到
式中:L為復合材料體的平均彈性剛度張量,其表達式為
上式表示復合材料體的平均彈性剛度張量是其各組成部分彈性剛度張量按體積的加權(quán)平均.
Reuss估計采用串聯(lián)模型.假定在載荷作用下,各組成部分(n個夾雜及基體)的應力相同,都等于復合體的平均應力,即σr=,(r=1,2,…,n),顆粒復合材料體的平均應變?yōu)?/p>
各組成部分的彈性本構(gòu)關系為
將式(7)代入式(6),得到
上式表示復合材料體的平均彈性柔度張量是其各組成部分彈性柔度按體積的加權(quán)平均.
最近三十多年,提出了大量的微結(jié)構(gòu)模型來預測材料的總體彈性常數(shù),而這些不均勻多相異質(zhì)材料依賴于材料的微結(jié)構(gòu).所有這些模型均基于Eshelby等效夾雜(EEI)方法.這些方法包括由Wakashima and Tsukamoto[5]基于修正的 EEI方法并結(jié)合 Mori-Tanaka方法[6]的估計,由Ravichandran[7]提出的單位胞元近似數(shù)值方法及Voronoi胞有限元方法(VCFEM)[8]等等.
與其它有效彈性常數(shù)估計方法不同,L可以通過以下的方法—綜合法來求解.文獻[1]存在下列關系:
基于 Eshelby 等效夾雜理論[9],和亦可用均勻?qū)Ρ炔牧?HCM)的形式表示出來,這種對比材料具有與多相材料相同的微幾何特點,但其材料彈性常數(shù)為Lc,即在HCM中,具有
式(11)可以更進一步表示為
εr'是指r相中相應于的擾動應變,修正的特征應變?yōu)?/p>
通過Eshelby張量Sr,兩個量遵從下列關系:
因此,方程(12)可以重新表示為
其中,
為約束剛度張量.
進一步,式(16)可以重新表示為
由此得到:
應用MTE(Mori-Tanaka estimate)方法,可分別導出n+1相復合材料體的總體體積模量和剪切模量為
在文獻[10]的方程(3.51)~ (3.54)中令K*=0,可以得到估計值的下限RB:
相比之下,令K*→∞,注意到得到估計值的最高上限VB:
關于剪切模量G的上下限公式類似于體積模量K上下限公式.
文獻[10]給出了多種不同均質(zhì)各向同性彈性材料相HSB的原始形式.如果第0相有著最小的彈性模量,第n相有著最大的彈性模量,體積模量下限和上限表示式為
式(25)和(26)是當HCM分別取復合材料體中最軟和最硬相材料時體積模量的特殊情況.很明顯,Hashin and Shtrikman[10]分別將復合材料體的最軟和最硬相材料當作HCM,因此,HSB提供了比VB,RB更加緊密的上下限.
剪切模量HSB上下限與體積模量HSB上下限類同.
由前面分析得知RE和VE分別是比較粗糙的上下限.不過,與空洞(RB中)和剛性夾雜(VB中),或最軟相(HSB下界)和最硬相(HSB上界)相比,RE和VE仍然是很好的近似估計.據(jù)此,分別將RE和VE作為HCM,可以得到新的上下界,即
其中GR和GV分別是由Reuss估計和Voigt估計得到的剪切模量.
方程(27)和(28)是新的上下限,事實上,它們也是兩種估計.由于RE和VE(VE不小于RE)總是大于最軟的成分,而小于最硬的成分,根據(jù)方程(21)和(22),新上下限總是比HSB上下限更加緊密.
剪切模量的上下限與體積模量上下限類同.
文獻[11]采用平均直徑大約為850 μm的砂子制成的飽和砂漿混凝土試件,進行了各種砂子顆粒體積分數(shù)含量的試驗.為了便于比較,本實例采用該文獻的實驗數(shù)據(jù).水泥漿基體彈性常數(shù)為:K0=22.51 GPa,G0=11.80 GPa;砂粒骨料彈性常數(shù)為:K1=44.0 GPa;G1=37.0 GPa.為了比較HSB上下限和新上下限,將上述彈性常數(shù)值代入方程(25)、(26)、(27)、(28),得到總體體積模量和總體剪切模量分別隨砂粒骨料體積分數(shù)變化的曲線,如圖1、圖2所示.由圖可見,新上下限位于HSB上下限的范圍內(nèi),說明新上下限是比HSB上下限更緊的界限.實驗數(shù)據(jù)落在HSB的范圍內(nèi),但不完全位于新上下限范圍內(nèi),這可能由試驗條件及混凝土試驗的離散特性造成的.
圖1 體積模量估計值的比較Fig.1 Comparison of estimated bulk modulus
圖2 剪切模量估計值的比較Fig.2 Comparison of estimated shear modulus
基于細微觀力學的觀點及Eshelby等效夾雜理論,提出了一種復合材料彈性常數(shù)的綜合估計方法.以有效彈性常數(shù)常規(guī)估計—Voigt估計、Reuss估計值分別作為均勻化對比材料,得到了比Hashin-Shtrikman上下限更緊的新上下限.實驗數(shù)據(jù)證明,筆者提出的理論和采用的方法是正確的.
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