K30試驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線擬合分析方法

陳 輝，顏勝才，孟軍濤，李晉平，胡在良

(中國(guó)鐵道科學(xué)研究院鐵道建筑研究所，北京 100081)

K30平板荷載試驗(yàn)是在直徑為30 cm的平板上施加荷載，檢測(cè)反映路基強(qiáng)度與變形參數(shù)等承載力指標(biāo)的試驗(yàn)方法。德國(guó)、日本等國(guó)家制定了相應(yīng)的平板荷載試驗(yàn)規(guī)程和標(biāo)準(zhǔn)。我國(guó)在大秦重載鐵路建設(shè)中，開(kāi)始以K30平板荷載試驗(yàn)檢測(cè)地基系數(shù)K30值作為路基施工質(zhì)量監(jiān)控指標(biāo)，之后在廣深準(zhǔn)高速鐵路中得到應(yīng)用，并在新建鐵路和高速鐵路上得以推廣。在秦沈客運(yùn)專(zhuān)線路基的設(shè)計(jì)和施工中，首次采用壓實(shí)系數(shù)(或孔隙率)和地基系數(shù)K30值作為雙控指標(biāo)來(lái)評(píng)定路基施工質(zhì)量，根據(jù)路基填筑部位、填料的不同，其壓實(shí)標(biāo)準(zhǔn)——壓實(shí)系數(shù)(或孔隙率)和地基系數(shù)K30值應(yīng)滿足相應(yīng)的規(guī)定。因此，K30平板荷載試驗(yàn)已成為路基填筑質(zhì)量控制的主要檢測(cè)手段。

目前，K30平板荷載試驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理主要采用手工繪制荷載與下沉量的關(guān)系曲線，然后從荷載與下沉量關(guān)系曲線上找出下沉量基準(zhǔn)值對(duì)應(yīng)的荷載強(qiáng)度，來(lái)計(jì)算地基系數(shù)K30值。這種方法計(jì)算出來(lái)的K30值具有一定的主觀性，不同的人員對(duì)于同一組數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果會(huì)有所不同，甚至同一人員不同時(shí)間對(duì)同一組數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果也可能不同。因此，為保證地基系數(shù)K30值的計(jì)算結(jié)果科學(xué)準(zhǔn)確，研究K30值的計(jì)算方法具有現(xiàn)實(shí)意義。

1 荷載—沉降量擬合曲線方程的假定與計(jì)算

1.1 方程的假定

將試驗(yàn)測(cè)出的若干組荷載和下沉量數(shù)據(jù)，采用二次多項(xiàng)式擬合，假設(shè)荷載—下沉量二次曲線方程為

式中，σ為荷載板下的應(yīng)力，MPa;S為荷載板中心的下沉量，mm;a1和a2為系數(shù)。

該曲線方程的頂點(diǎn)式可寫(xiě)為

其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-0.5a1/a2，-0.25/a2)。

以上擬合方法基于兩點(diǎn)假設(shè)：①該曲線方程必須經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且a2＞0，所以假設(shè)該方程沒(méi)有常數(shù)項(xiàng);②假設(shè)原點(diǎn)之后(理解為σ＞0)的曲線沒(méi)有負(fù)值S出現(xiàn)為正常曲線，反之為異常曲線。當(dāng)σ1=-0.5a1/a2≤0，即a1≥0時(shí)，為正常曲線;當(dāng)σ2=-0.5a1/a2＞0，即a1＜0時(shí)，原點(diǎn)之后有一段負(fù)值S出現(xiàn)，所以為異常曲線。對(duì)于異常曲線，建議把所計(jì)算出來(lái)的地基系數(shù)K30值作為參考值，因?yàn)檫@樣擬合出來(lái)的曲線也比較好。

如圖1所示，曲線1(-0.5a1/a2＜0)和曲線2(-0.5a1/a2=0)為正常曲線;曲線3(-0.5a1/a2＞0)為異常曲線。

圖1 正常曲線和異常曲線示意(a2＞0)

當(dāng)a2=0且a1≠0時(shí)，曲線方程變?yōu)镾=a1σ，即為一條通過(guò)原點(diǎn)的直線方程，屬于直線擬合，當(dāng)a1＞0時(shí)，直線為通過(guò)原點(diǎn)的正比直線，為正常曲線;當(dāng)a1＜0時(shí)，直線為通過(guò)原點(diǎn)的反比直線，為異常曲線。

當(dāng)a2＜0時(shí)，不符合地基系數(shù)K30檢測(cè)試驗(yàn)規(guī)律，在此不作討論。

1.2 方程系數(shù)的計(jì)算

根據(jù)實(shí)測(cè)值確定關(guān)系式(1)，實(shí)際上就是確定(1)式中的系數(shù)a1和a2。系數(shù)a1和a2的確定要符合該系數(shù)能使曲線對(duì)各級(jí)實(shí)測(cè)值的偏差最小的原則。

即：

由式(3)和式(4)可求出系數(shù)a1和a2。

1.3 地基系數(shù)K30試驗(yàn)結(jié)果的計(jì)算

根據(jù)每級(jí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)繪出荷載強(qiáng)度與下沉量關(guān)系曲線，從曲線上找出下沉量基準(zhǔn)值對(duì)應(yīng)的荷載強(qiáng)度，并按下式計(jì)算地基系數(shù)K30值。

式中，K30為由直徑30 cm的荷載板測(cè)得的地基系數(shù)，MPa/m;σs為荷載強(qiáng)度與下沉量關(guān)系曲線上下沉量為1.25mm對(duì)應(yīng)的荷載強(qiáng)度，MPa;Ss為下沉量基準(zhǔn)值，為1.25mm。

2 應(yīng)用實(shí)例與分析

2.1 正常曲線擬合實(shí)例

第一組鐵路路基檢測(cè)下沉量數(shù)據(jù)：0.10mm，0.21 mm，0.45mm，0.73 mm，1.00mm。所對(duì)應(yīng)的荷載值分別為：40 kPa，80 kPa，120 kPa，160 kPa，200 kPa。用上述方法擬合求得的方程系數(shù)a1=0.001 6，a2=1.729 4×10-5，-a1/(2a2)=-46.84，地基系數(shù) K30值是226.1/1.25=180.9 MPa/m。其擬合曲線如圖2所示。

圖2 正常擬合曲線(讀數(shù)：226.1 kPa，1.25mm)

2.2 不正常曲線擬合實(shí)例

第二組鐵路路基檢測(cè)下沉量數(shù)據(jù)：0.03 mm，0.11 mm，0.25mm，0.83 mm，1.10mm。所對(duì)應(yīng)的荷載值分別為：40 kPa，80 kPa，120 kPa，160 kPa，200 kPa。用上述方法擬合求得的方程系數(shù) a1=-0.001 3，a2=3.552 0 ×10-5，-0.5a1/a2=18.99，地基系數(shù) K30參考值是207.5/1.25=166 MPa/m。其擬合曲線如圖3所示。

圖3 異常擬合曲線(讀數(shù)：207.5 kPa，1.25mm)

2.3 直線擬合實(shí)例

第三組鐵路路基檢測(cè)下沉量數(shù)據(jù)：0.2 mm，0.38 mm，0.58 mm，0.77 mm，1.02 mm。所對(duì)應(yīng)的荷載值分別為：40 kPa，80 kPa，120 kPa，160 kPa，200 kPa。用上述直線方法擬合求得的方程系數(shù)a1=0.004 9，a2=0，地基系數(shù)K30值是252.8/1.25=202.2 MPa/m。其擬合直線如圖4所示。

圖4 直線擬合(讀數(shù)：252.8 kPa，1.25mm)

2.4 曲線擬合和直線擬合對(duì)比評(píng)價(jià)

下面用均方誤差來(lái)評(píng)價(jià)擬合數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性、可靠性，均方誤差定義為各擬合值與實(shí)測(cè)值誤差的平方和的平均值的平方根，又稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)誤差。

設(shè) n 個(gè)擬合值與實(shí)測(cè)值的誤差為 ε1，ε2，…，εn，則這組擬合值與實(shí)測(cè)值的均方誤差δ為

式中，Si是實(shí)測(cè)的下沉量，S擬合i是擬合后對(duì)應(yīng)的下沉量。

需要注意的是，均方誤差只是對(duì)一組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)擬合值準(zhǔn)確性、可靠性的估計(jì)。均方誤差越小，擬合值的準(zhǔn)確性、可靠性越大一些，反之，擬合值就不大準(zhǔn)確、可靠。

為顯示可比性，必須對(duì)同一組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。對(duì)第一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，擬合直線如圖5所示。經(jīng)過(guò)計(jì)算，地基系數(shù)K30為280.9/1.25=224.7 MPa/m，曲線擬合時(shí)的均方誤差為0.020 3 mm，直線擬合時(shí)的均方誤差為0.096 8 mm。

圖5 直線擬合(讀數(shù)：280.9 kPa，1.25mm)

對(duì)第三組數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，擬合曲線如圖6所示，地基系數(shù) K30值是242.4/1.25=193.9 MPa/m。經(jīng)過(guò)計(jì)算，曲線擬合時(shí)的均方誤差為0.012 4 mm，直線擬合時(shí)的均方誤差為0.019 2 mm。

圖6 正常擬合曲線(讀數(shù)：242.4 kPa，1.25mm)

比較可知，曲線擬合時(shí)的均方誤差比較小，擬合得較好。對(duì)于接近線性的實(shí)測(cè)K30試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，直線擬合時(shí)的均方誤差與曲線擬合時(shí)的均方誤差差別不大，兩種方法都可以選用;對(duì)于非線性的實(shí)測(cè)K30試驗(yàn)數(shù)據(jù)，直線擬合時(shí)的均方誤差與曲線擬合時(shí)的均方誤差差別較大，宜選用曲線擬合計(jì)算。與直線擬合對(duì)比，曲線擬合誤差小，計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確可靠，對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算的地基系數(shù)K30偏小，曲線擬合評(píng)價(jià)結(jié)果偏于嚴(yán)格，能更好地控制路基工程質(zhì)量。

3 結(jié)語(yǔ)

二次多項(xiàng)式曲線擬合法可用于對(duì)地基系數(shù)K30試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理，通過(guò)擬合得出的地基系數(shù)K30值誤差較小。

通過(guò)工程實(shí)例分析了曲線擬合和直線擬合的準(zhǔn)確性和可靠性。對(duì)于接近線性的實(shí)測(cè)K30試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，曲線擬合法和直線擬合法都可以選用;對(duì)于非線性的實(shí)測(cè)K30試驗(yàn)數(shù)據(jù)，宜選用曲線擬合計(jì)算。

實(shí)際檢測(cè)應(yīng)用驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性與可靠性，在鐵路路基工程中檢測(cè)地基系數(shù)指標(biāo)時(shí)可以參考應(yīng)用。

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